（应用数学专业论文）两类具有时滞的捕食被捕食模型的动力学分析.pdf

摘要 本文主要研究了两类具有时滞的捕食一被捕食模型，一个是具有连续时滞的非自治三 种群相互作用的捕食一被捕食模型，另一个是具有阶段结构的非自治捕食一被捕食模型 二个模型从不同的生态学角度进行分析，运用有关的数学方法得到了这些模型的定性性质 和周期解的形态 首先重点介绍了生物数学学科的研究背景及发展状况，阐述了本文所研究模型的来源 和研究情况，给出了本文所需的相关理论和预备知识 接着研究了一个具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食一被捕食模型主要讨 论了系统的永久持续生存性，周期解的存在性和全局渐近稳定性本章首先借助于重合度 理论中的连续性定理，讨论了系统周期解的存在性，得出了保证周期解存在的充分条件， 然后构造合适的l y a p u n o v 泛函，利用b a r b a l a t 引理证明了系统周期解的全局渐近稳定 性，接着利用比较原理得出系统永久持续生存的充分条件 最后考虑了一个具有阶段结构的非自治捕食一被捕食模型，模型中食饵种群分幼年 和成年两个阶段，由于幼年食饵和成年食饵的生活习性和生活环境不同，引来不同的捕食 者本章首先根据系统的初始条件，得到该系统的正向不变集，然后借助于两条引理和比 较原理，得出了系统永久持续生存的充分必要条件，接着利用已知文献的结论，得出了系 统在永久持续生存条件下的周期解的存在情况 关键词：l y a p u n o v 泛函，时滞，周期解，阶段结构，重合度 i i a bs t r a c t t h ed y n a m i ca n a l y s i so ft w op r e d a t o r p r e ym o d e l sw i t ht i m ed e l a y sh a sb e e ni n v e s - t i g a t e di nt h i sp a p e r t h ef i r s tm o d e li san o n a u t o n o m o u st h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e y s y s t e mw i t hi n f i n i td e l a y s ，t h es e c o n dm o d e li san o n a u t o n o m o u sp r e d a t o r p r e ys y s t e m w i t hs t a g es t r u c t u r ef o rp r e y w ea n a l y z et h em e t h o d sf r o md i f f e r e n te c o l o g i c a lp e r s p e c - t i v e sa n dd e r i v et h eq u a l i t ya n dr e l a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sp e r s o n a l i t i e so ft h e s em o d e l sb y u s i n gs o m em a t h e m a t i c a lm e t h o d s f i r s t l y , w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no ft h i sf i e l d ， a l s o ，w eg i v es o m et h e o r e t i c a lt o o l sa n dp r e l i m i n a r i e ss e r v i n gt h ed i s c u s s i o ni nt h et h e s i s s e c o n d l y , w es t u d yt h ee x i s t e n c e ，g l o b a ls t a b i l i t ya n dp e r m a n e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n so fan o n a u t o n o m o u st h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hi n f i n i td e l a y s b y u s i n gt h ec o n t i n u o u st h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r e o b t a i n e d b yu s i n gc o m p a r i s o nt h e o r e mw ed e r i v e dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o na b o u tt h e p e r m a n e n c eo ft h es y s t e m f i n a l l y , an o n a u t o n o m o u sp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r ef o rp r e yi si n v e s - t i g a t e d a st h ej u v e n i l ea n da d u l tp r e yh a v ed i f f e r e n th a b i t sa n dl i v i n ge n v i r o n m e n t ，l e a d t od i f f e r e n tp r e d a t o r s b a s e do nt h ec o m p a r i s o nt h e o r e ma n dc o n c l u s i o n so ft h el i t e r a t u r e ， s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h ep e r m a n e n c ea n de x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n so ft h em o d e l i i i k e y w o r d s ：l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，t i m ed e l a y , p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，s t a g es t r u c - t u r e ，c o i n c i d e n c ed e g r e e 摘要 a b s t r a c t 第一章绪论 目录 i i i i 1 1 1 学科简介 1 1 2 研究背景及现状 2 1 3 预备知识 5 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食一被捕食模型分析 7 2 1 模型的建立与描述 7 2 2 周期解的存在性 9 2 3 周期解的全局渐近稳定性。 1 8 2 4 永久持续生存分析。 2 3 第三章具有阶段结构的非自治捕食- 被捕食模型分析 2 9 3 1 模型的建立与描述 2 9 3 2 主要定义和引理 3 2 3 3 永久持续生存分析和周期解的存在性 3 3 第四章结论 参考文献 致谢 4 1 4 3 4 7 v 攻读学位期间的科研成果 独创性声明和论文使用授权说明 4 9 5 1 第一章绪论 第一章绪论 本章主要对生物数学这门学科做了简单的介绍，其中谈及了它的研究对象、历史背景 和发展方向，还阐述了本文所需模型的研究情况、相关理论和预备知识 1 1 学科简介 生物数学是2 0 世纪产生的一门介于生物学与数学之间的新兴边缘学科它是以数学 方法去研究和解决生物学中的问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究生物数 学的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、 数量生理学和生物力学等；从研究使用的数学方法划分，又可分为生物统计学、生物信息 论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支这些分支与前者不同，它们没有明确的 生物学研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论【1 生物数学是在生物学的不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科其一般 方法是建立被研究对象的数学模型并对其进行定性和定量研究，主要应用的数学方法有： 微分方程、概率论和数理统计、抽象代数、拓扑学、突变理论等，电子计算机的发展使生物 数学的研究又有了新的突破生物数学具有丰富的数学理论基础，包括集合论、概率论、 统计数学、对策论、微积分、微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数 学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等 2 】 生物数学产生和发展的历史，要追溯到1 9 世界末2 0 世纪初，最早是统计数学在生 物学中的应用1 9 0 1 年英国著名p e a r s o n 创办了生物统计学杂志( b i o m e t r i k a ) ，它标 志着生物数学发展的起点随后，d a w t h o m p s o n 的论生长与形式可以看作生物 数学萌芽阶段的代表作在这本书书里提出了许多古典的生物数学问题，直到今天仍然引 1 两类具有时滞的捕食一被捕食模型的动力学分析 起某些学者的关注到了2 0 世纪2 0 年代以后，生物物理学的发展促进了数学向生物学 进一步渗透人们开始应用各种数学工具，建立起各种各样的数学模型来模拟各种生命过 程数学物理方法把许多微分方程模型带进生物学领域，生物数学的发展进入第二阶段 这一阶段的特征是生物物理带动生物数学发展学术带头人首推生物物理学家拉舍夫斯基 ( n r a s h e v s k y ) 和生态学家洛特卡( a j l o t k a ) 当时，著名数学家l o t k a 和v o l t e r r a 几乎 是同时分别把动力学的方法用在分子化学反应系统和海洋渔业生态系统，动力学方法第一 次在研究生命科学中得到应用l o t k a 的专著物理生物学原理( e l e m e n t so fp h y s i c a l b i o l o g y ) 是数学生态学早期的经典著作到了2 0 世纪4 0 年代末电子计算的发明和普及应 用，让生物数学的发展进入了又一个新的时期使一些生物数学问题的求解成为可能，以 此为后盾的生物数学得到飞速发展到了7 0 年代末，生物数学以一门独立的学科立于科 学之林鉴于这一学科的发展，1 9 7 4 年联合国科教文组织在编制学科目录时，第一次把 生物数学作为- - f l 独立的学科纳入生命科学类，与生物物理和生物化学鼎足而立【1 】 总之，当今的生物数学仍处于探索和发展阶段，它的许多方法和理论还很不完善，虽 然它的应用取得某些成功，但仍是低水平的、粗略的许多更复杂的生物学问题至今未能 找到相应的研究方法因此，生物数学还要从生物学的需要和特点出发，采用新方法和新 手段来研究实际问题随着人类对认识的不断提高，相信这一门学科必定在生物大世纪中 大展宏图 1 2 研究背景及现状 种群动力学是生物数学中生态学的一个重要分支，由于自然界中生态关系的复杂性， 数学的方法和结果被越来越多地应用于生态学，而种群动力学也是迄今数学在生态学中应 用最为广泛，发展最为系统成熟的分支由于捕食被捕食相互作用关系是生物种群之间 2 第一章绪论 篡；：篡川啪 m 1 ， 焉篡：二麓等) m 2 ， 两类具有时滞的捕食一被捕食模型的动力学分析 阶段结构自然界中，种群的增长都有一个成长发育过程，对于每个不同的阶段，种 群都会表现出不同的状态和特征例如种群的生育能力、捕食能力和竞争能力等，它们都 不同程度地影响着种群的数量另外成年种群与幼年种群之间的相互作用也影响着种群数 量的变化为了更精确的反映这一自然现象，在种群动力学中引入阶段结构进行研究更具 有实际意义例如文献 8 , 9 研究了一个具有时滞的阶段结构的单种群模型，模型中的种 群分幼年和成年两个阶段由于从幼年到成年有一段时间间隔，所以产生了时滞众所周 知，时滞可以对生态系统的性质产生很大的影响在文献 8 , 9 】中，仅用一常数时滞来描 述该模型为： r 规= n z m ) 一r 孔 ) 一。e 一竹z m 一7 - ) ( 1 3 ) l 圣m = a e 一竹z m ( 亡一7 ) 一p z 象( t ) 其中兢( t ) 为t 时刻幼年种群的密度，x m ( ) 为t 时刻成年种群的密度该种群的出生率 为a 0 ，幼年种群的死亡率为r 0 ，p 0 表示成年种群的死亡率的二次项系数，7 - 表 示从幼年到成年的时间间隔a e - r r x m ( t 一7 - ) 表示t 一7 时刻出生且在t 时刻仍存活的食 饵种群从幼年到成年阶段转化的种群数量 后来，随着人们对此类模型的深入研究，具有阶段结构的生物学模型成为了种群动力 学中的重要研究领域，得出了大量关于阶段结构的捕食一被捕食模型、竞争模型和合作模 型等如文献 1 0 一1 2 】下面介绍文献 1 0 中的模型： ( 1 - 4 ) 其中食饵种群分幼年和成年两个阶段，幼年种群在t 时刻的密度为z ( ) ，成年种群在t 时 刻的密度为z 2 ( t ) ，本系统不考虑捕食者种群的年龄结构且在t 时刻的密度为可( ) 因为自 4 啦讣 力 幽础叫蹀 一e 磋 ) 钯 蚴 1 z 一 | 幽 一 丽 d 盟眦 一 现 业刊 ) r “一0 釜一 2 一 竹一u z 竹一墙 呦 一 焉 = = 一 厂 严 一 第一章绪论 然界中的许多动物在幼年时期都隐藏在山洞里，靠他们的父母捕捉食物抚养他们长大，所 以捕食者捕食幼年食饵可以忽略不计 1 3 预备知识 定义1 3 1 【1 3 1 ( 动力系统) 考虑微分方程 鲁= 即) ( 1 - 5 ) 其中f ( x ) ( c ) ( g 形，冗) ，令，( p ，t ) 表示方程( 1 4 ) 的当t = 0 时过点p 的解如方 程( 1 4 ) 中的f ( z ) 在g r n 上连续，且满足解的唯一性条件，又设每个解的存在区间 为( 一o o ，+ 。o ) ，( p t ) g 亦可表示为，( ，t ) ：g g ，t r ，则变换f 具有下列性质： 1 厂( p 0 ) = p ； 2 厂( p ，t ) 对p ，t 一并连续； 3 ，( 厂( p t 1 ) ，t 2 ) = ，( 尸it l + t 2 ) 变换的全体 ，( ，t ) i 0 0 - 3+ 2 e 2 8 5 。 则系统( 2 3 ) 至少存在一个正的u 周期解 证明：根据系统( 2 - 3 ) 得 当f 几6 1 4 - m 2 b 3 + = 几一十 m 2 a 3 k 耳( 丑。e 】2 。b 2 4 巧一b 2 圭f 礼娑a 2 等o l 3 e d 上3 1 ( 亡) = 1 ( o ) e 印 后 6 1 ( s ) 一n 1 ( s ) 1 ( s ) 一再2 1 m ( a 。) n 1 ( a ) j 一0 。k 1 ( p ) 2 ( s + o ) d o d s ， 2 ( 亡) = 2 ( o ) e 印 后 一b 2 ( s ) 一n 2 ( s ) 2 ( s ) + q 3 ( s ) n 28 ) 1 + m 2 增s ) ，0 ( p ) 3 ( s + p ) d 刎d s ) ， ，- - 0 0 3 ( 亡) = 3 ( o ) e x p f ： - b s ( s ) 一。3 ( s ) 3 ( s ) + 裂筹】d s ) 由此可见，当t 0 时，满足系统( 2 3 ) 初始条件的解全为正数 做以下变换 1 0 u 1 ( 亡) = 抚 1 ( ) ，u 2 ( t ) = l n n 2 ( t ) ，u 3 ( t ) = f 礼 3 ( 吼 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食被捕食模型分析 则系统( 2 - 3 ) 化为 吐1 ( ) u 2 ( t ) “3 ( ) 定义 且 = 6 1 ( 亡) 一n 1 ( ) e t ( t ) 一i a l ( t ) e l 一( of o k 1 ( s ) e u ：( t + s ) d s = 一6 2 ( ) 一口2 ( ) e u 。( t + i a + s m ( t ) ，e e 2 ： 。1 ， ( t 。- 一n ，。 ( 0 。) r i a s ( t ) e 2 一( o f o k 2 ( se u s ( t + s ) d s ( 2 - 4 ) = 一b s ( t ) 一n 3 ( ) e t s ( t ) + i a ；4 m ( t ) 。e 。2 。u 。2 ：( ( t 。- 一 r 吃2 ( ( t 。) ) ) f x = y = u ( 亡) = ( u 1 ( t ) ，u 2 ( ) ，u 3 ( ) ) t c ( n ，r s ) ：札 ( + u ) = u t ( 亡) ，i = 1 ，2 ，3 ) ， u ( t ) i i = ( t ) ，乱2 ( ) ，u 3 ( ) ) t i l 2 蚓m 。a 川xi u ( 亡) i + 黝i u 2 ( 亡) i + 黝l u 3 ( 2 ) i ， 这里代表欧几里德范数x 和y 都是巴拿赫空间 我们让 u 心x 6 1 ( 艺) 一。1 ( 亡) e u ，( t ) 一i c q ( t ) e 1 l ( of o _ 。k 1 ( s ) e u 。( 蚪s ) d s 一6 2 ( 亡) 一n 2 ( ) e u 。( t ) + i a + s m ( t ) 。e 。2 。u 。l ，( ( t 。- 一7 ，l ，( ( t 。) ) ) y i c e s ( ，t 。) 。e 2 一( t ) f o 如( s e 3 ( 件s ) d s d u ( t ) 出 一b 3 ( t ) 一。3 ( ) e u s ( t ) + 筹骞揣 p u = ：if l u ( t ) d t , uex ； 驴三u 比) d t , y ey 则有k e r l = r 3 ，i m l = fy ( t ) d t = o ) 为y 中的闭子集且 d i m k e r l = c o d i m i m l = 3 z l ( t ) z 2 ( t ) z 3 ( t ) 因此，l 是一个零指标的f r e d h o l m 映射容易看出，p 和q 都是连续映射且满足 i m p = k e r l k e r q = i m l = i m ( i q ) 1 1 两类具有时滞的捕食一被捕食模型的动力学分析 因此l 的逆映射：i m l _ d o t a lnk e r p 存在，且 于是 q n x = = 驯= 0 2 删s 一：1 o o 删s 妣 _ 1 uf o b 1 ( ) 一。1 ( ) e u ，( t ) 一而o t l ( t ) e u l 一( t ) f o _ 。k 1 ( s ) e t z ( m ) d s d t 告眉【一b 2 ( ) 一。2 ( 亡) e t 。( t ) + 詈琶等薯揣一i a 3 ( t ) e 2 一( of o _ 。k 2 ( s ) e “s ( 件s ) d s 出 ( ，一q ) n x = 石1 朋一b 3 ( 亡) 一n 3 ( t ) e t m + 篇客揣冲 竞z l ( s ) d s 竞z 2 ( s ) d s 瓷z 3 ( s ) d s ( 者一互1 ) 眉z l ( s ) d s ( 考一互1 ) z 2 ( s ) d s ( 孝一互1 ) z 3 ( 8 ) d 8 显然，q n 和乙( j q ) n 都是连续的设q 是x 中的有界集，显然q ( q ) 有界应 用a r z e l a - a s c o l i 定理可得出( ，一q ) ( q ) 是紧的因此， n 对任何开有界集qcx 巨 紧的 引理2 2 1 ，我们需要寻找一个适合的开有界集q 对应于算子方程l x = ) ，我们得出 入 6 1 ( ) 一口1 ( ) e u ，( t ) 一i a + l m ( t ，) 2 e ： 近l ( o 确j i , 一o k 1 ( se - 2 ( 蚪s ) d s a _ 6 2 ( 芒) 一口2 ( t ) e u 2 ( 句+ 毒警箬揣一i ( 1 3 ( t 一) e u 2 ( 0 f o 如( se u 3 ( t + s ) d s 入 一6 3 ( ) 一。3 ( t ) e t 。( t + i o + 1 4 m ( t ) ：e 。2 。u 。2 。( ( t 。- 一r ，2 。( ( t 啪) ) j ( 2 - 5 ) 设( 让1 ( 亡) ，u 2 ( t ) ，u 3 ( ) ) t x 是系统( 2 - 5 ) 对应于某个入( 0 ，1 ) 取的解在区间 0 ，u 】上 1 2 d 岔 d d d d 、lj，、i，、， s s s 魂 勿 勿 后后 1 一u l 一 一 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食一被捕食模型分析 对( 2 - 5 ) 进行积分，得 l片 口1 ( t ) e u ( t ) + 丽a l ( t ) e l ( 0 _ o o oh ( s ) e u 2 ( t + 8 ) d s 】出= 眉6 1 ( t ) d t = 云1 u 朋篇篇】班= 刖n 2 ( 亡) e t ：( t ) + 雨。t z ( t ) 。e u 2 ( t ) f 2 0 。忌2 ( s ) e t s ( m ) d s + b 2 ( t ) d t ( 2 - 6 ) i 朋篇端池= 片唧) + n 3 ( ) e t s 悼 有( 2 - 5 ) 和( 2 6 ) ，我们得到 0 0 1 ) l d t = i o o u1 6 1 训矽，一器s ) e 2 , 2 ( t + s ) d s 小2 入卜 ( t ) l d t o u ) + n ( 缈1 ( t ) + = 2 小出 = 2 b l o v ， 型拿羔厂。严(毗s】出1+ m l e 2 u l ( 们j o o “1 、。7 。 1 瑚h 2 ( t ) e u 2 ( t ) - - - 篙髫淼一器。k 2 矽她删d s i z u 6 2 ( 亡) + 口2 ( t ) e 地。，+ f 等篙筠+ 丽a 3 ( t ) e 2 ( t ) = 2 z u 篙筹篇班 云2 ( 1 + m i e 2 凰) m ，5 2 e 2 风令a 2 m - 云2 ， 同理可推出 嵩 驴嘛 为了使上式有意义，只要满足 由以上结论得出 再( 五硒2 e 2 h 4 5 2 和再a m 4 e 。2 。h ：5 丐 b 3 层p - 7 啪m a x 叫l u l ( 亡) i m n z ( i b i i ，i b 4 1 ) 圭尬， t 1 0 ，m a 叫x u 2 ( 亡) l m 。z ( i b 2 1 ，i b s i ) 圭， 啡m a x 卅l u 3 ( 。) i m n z ( i b 3 1 ，i b 6 1 ) 圭m 3 显然 矗，m 2 ，m 3 的值与入无关记m = m 1 - - i - m 2 + m 3 - i - m o ，m o 取充分大且使得代数 方程组 h云)i-ctl：eul：-量aleut+u2=0 o 的任一解( u l ，7 2 ， 3 ) 满足 1 6 ( u l ，i t 2 ，u 3 ) l i = i t t i l + i u 2 l + l i t 3 i m o 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食一被捕食模型分析 我们取 q = u ( 亡) = ( u 1 ( 亡) ，u 2 ( 亡) ，u 3 ( ) ) t x ：l l u l i 0 ，( i = 1 ，2 ，3 ) ) 是系统( 2 7 ) 的正向不变集 引理的证明很简单，这里我们省略 定理2 3 2 假设定理( 2 2 2 ) 的两个条件都满足，并且下面的条件成立 ( 1 ) 6 r - 4 - a m e , a ， ( 2 ) ( 3 ) ，a 1i o 石十 ，q 3 l 十 m 2 及1 2 两 0 1 3 2 v - 而 ) m ( 6 2 + 0 2 一q 3 e 风一导) l ， q 笋( e 协+ 1 ) a e 风， m 1 一一 ) m ( b 3 怕一老) l ，q r ( e 协+ 1 ) q e 凰， 则系统( 2 7 ) 有唯一全局渐近稳定的u 周期解n + ( 亡) = ( 吖( 亡) ，孵( 亡) ，心( 亡) ) t 证明：根据定理2 2 2 ，系统( 2 7 ) 存在一个正u 周期解( m ( ) ，蟛( 亡) ，；( ) ) ，根据上 面的条件，我们选取正常数9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 ，满足 面0 l l + 丽o l l ) m 9 1 ( 6 z 恂咱e l l 3 一署) l ，及m ( e h 2 + 1 ) q 2 1 x ” ( 2 - 8 ) 1 9 两类具有时滞的捕食一被捕食模型的动塑堂坌堑 ( 薏+ 靠) m 口3 ( b 3d - a 3 - 秽，n r ( e 风+ 1 ) 9 4 a e 凰( 2 - 9 ) 考虑l y a p u n o v 泛函 记 则 v ( t ) = l 1 ( ) 一吖( t ) i + i 2 ( 亡) 一孵( 亡) i + i 3 ( 亡) 一嵋( 亡) + l i n n l ( t ) 一f 礼m ( t ) i + l t n 9 2 ( t ) 一f n 妮( t ) i + l l n n 3 ( t ) 一e 礼嵋 ) + g l 尼1 ( s ) i 2 ( + 口) 一婀( 亡+ 8 ) d o d s + 9 2 仁们i l + m 址l n 2 ( s ) 一蒜i d s+ 眈i ： 一们l 一丁干i i 而l 5 + 9 3 k 2 ( s ) i 3 ( t + 口) 一嵋( + 8 ) d o d s 厂t + 9 4 i ，t 一讫 婀( s )孵28 ) 订丽2 增8 ) 1 + m 2 嵋2 ( s ) s 。：黼恐= 黼，s s = 黼s 1 _ 瓦西丽s 22 瓦西丽芦3 一而。砺( ) s 。= 甓槲总= 铣糍，s s = 丽i l n n 3 丽( t ) - l n n ；( t ) l l 焉一揣m l蔫m l一揣m l h 1 + m 1 ( ) 1 + 吖2 ( ) 、1 + 研( ) 1 + ；z ( t ) 7 “ i器1一蒜1 i ，c 蔫1 m 2一蒜一2 + m 2 婀( )+ m 2 m 2 ( ) 、+研( ) 1 + 仇2 ；2 ( z ) 7 。 沿着系统( 2 7 ) 的解计算v ( t ) 的右上倒数，得到 。+ y ( 亡) = s 。1 ( 圳6 。( t ) 一n 。( ) 1 ( t ) 一糕。仁七( s ) 2 ( 件s ) 如】 s ，吖( 纠6 1 ( d n 。( d 吖( 幻一若等昌端州s ) 噬( t + s ) 如】 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食一被捕食模型分析 + s 2 2 ( ) 一6 2 ( t ) 一口2 ( ) 2 ( t ) + f 挈笔黼一器 以洲n 3m ) d s _ s 2 哪州旷a 2 ( t ) n ；( t ) + 篙黼 七2 ( s ) ( + s ) d s 一s 2 孵( ) _ 一6 2 ( 亡) 一) + 等芒箬 忑蓦当 ，一o o1 l 、o1 ， 一# 筹等端仁乜( s ) 孵( + s ) 酬+ s 3 3 ( 圳一6 3 ( d 一烈d 3 ( 幻 + f 等岛粼 一s 3 嵋( 亡) 【一6 3 ( 亡) 一。3 ( 亡) 嵋( t ) + f 等篙黼】 + s 1 【6 m h m m 一揣州s ) 2 ( ) d s 】 q 1 【6 心h 小照垆器m s 胤) d s 】 + s 2 一6 2 ( t ) 一n 2 ( t ) 2 ( 亡) + 芊笔端一端 k 2 ( s ) n 3 ( t + s ) d s 】一s 2 - b 2 ( t ) 一a 2 ( t ) 嗽) + 篙耥1 + 】一 ) 一孵( 亡) + 等兰箬 矗蓦当 - ，一o 。 工 、o工， 一器f o 姒喇( m 灿】+ s 3 _ 6 3 ( 沪州帆 + 篙糍高】_ s 3 旷以州+ 篙黼】 t or o + q l k 1 ( s ) l n 2 ( t ) 一n ；( t ) i d s 9 1 k 1 ( s ) l n 2 ( t + s ) 一婀( + s ) l d s ，一o o一一0 0 划蔫一揣i 一眈i 蔫蕊岛 一蔫辫尚酬呲，一删d s 一0。坼：tln3()一啡删s+iq3 n 3 q 4 禹一揣i 一 也( s ：t + s ) 一嵋( 亡+ s ) l d s + 丁_ 一丁_ 之兰杀* 两百 。o 二z 、， 上 二z。 婀( 一t 2 )婀2 ( 亡一7 2 ) 。 - - q 4i 可丽丽而一可鬲丽灭i 面i ( 6 1 + 州) e h 2 - a l ) i 1 ( 沪吖_ 6 2 一。2 + 吲) e h 4 + 等 + 9 1 ) l 舰( 古) 一噬( 舌) i + ( 一( 亡) 一口3 ( 亡) + 三+ 9 3 ) i 3 ( 古) 一嵋( ) l 2 1 两类具有时滞的捕食一被捕食模型的动力学分析 + ( 9 2 一a a ( t ) 州s 煳hs ) d s ( 3 0) l 焉一焉1 l + ( 9 2 一 ) 后1 ( s ) 嵋( +) l 丁_ 尘一_ _ 尘l 芸刍鬲1 ，一 上 上1 1 o ， l r ，jv 1 bj + ( 警+ 器咱) 仁州s 撇+ s ) 一哪+ s ) | d s + ( q 4 - c t 3 坼心) i 焉一焉i 喇卅删啡h ，f 篙骗尚一若辫尚 + ( 警+ 篇- 9 3 ) 酬眦+ s ) 一啡刊l d s + ( a 4 ( t ) + 啦( 亡) 嵋( 亡) 一q 4 ) 根据( 2 - 8 ) 和( 2 9 ) ，我们得到 赡( 一t 2 ) 1 + m 2 鹏( t 一 妮2 ( t 一乃) + m 2 嵋2 ( 一t 2 ) d + y ( ) ( 6 r + q r e 日2 一口l ) i n i ( 亡) 一吖( ) i + ( 口一( 6 2 + a 2 一o r 3 e l l 3 - 石o r 2 ) l ) i 2 ( 亡) 一婀( ) + ( 9 3 一( b 3 - 4 - 。3 一老) l ) i 3 ( ) 一嵋( ) | 根据条件( 1 ) 一( 3 ) ，存在正的常数c ，使得 因此 又因为 2 2 6 r + q y e 胁+ c o ， q 1 + c ( 6 2 + 口2 一q 3 e 凰一丝) l ， m 1 9 3 + c ( 6 3 怕一老) l d + y ( ) 0 ) 。l i m 十。n ( t ) = 詈t + 十o 。d p 1 6 r 和b 6 扩 q 笋一6 参m 1 饥2 i 赢 7 22 竹= 焘， p 1 = 口2 l ( 铂) 2 1 + m 1 ( 舶) 2 则系统( 2 - 3 ) 是永久持续生存的 q r _ 6 m 2 n m 2 ，只一蟛 饥2 a m + a 3 m l 7 2 岛= q 耄( 讹) 2 1 + m 2 ( 讯) 2 证明：令( l ( t ) ，2 ( ) ，n 3 ( t ) ) 是系统( 2 3 ) 的任意解，由系统( 2 - 3 ) 的第一个式子得 疵( 亡) 1 ( ) 6 ，一口 1 ( ) ， 由比较原理和引理2 4 1 可得到 1 i m s u p 1 ( ) t _ + 坪 亩2 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食被捕食模型分析 对任意的e 0 ，都存在一个五，使对所有的t 五，都有 由系统( 2 - 3 ) 的第二个式子得 n 1 ( 亡) 加+ e 批) 哪) _ 砖一。2 n 2 ( 卅箬】， 由比较原理和引理2 4 1 可得 。里s u p 2 ( ) _ 0 1 2 m 丽- - b l - l n l 圭7 ， 对任意的e 0 ，都存在一个t 2 t 1 ，使对所有的t 正，都有 n 2 ( ) 7 1 + e 由系统( 2 - 3 ) 的第三个式子得 疵( 亡) 3 ( 纠一6 一口 3 ( 亡) + 筹 ， 由比较原理和引理2 4 1 可得 。蛾s u p 洲盐a l t 0 2 圭能， 对任意的e 0 ，都存在一个t 3 t 2 ，使对所有的t t 3 ，都有 n 3 ( ) 7 2 + e 由( 2 1 3 ) 和系统( 2 - 3 ) 的第一个式子还可以得出 嘶( ) n i ( t ) b l n o r 1 ( ) 一q r 1 ( 亡) ( ，y 1 + e ) ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 2 5 两类具有时滞的捕食一被捕食模型的动力学分析 由e 的任意性，根据比较原理和引理2 4 1 可得 。i n f 1 ( 蛇矾氓 对任意的e 0 ，都存在一个t 4 t 3 ，使对所有的t t 4 ，都有 n 1 ( ) 加一e 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 和系统( 2 - 3 ) 的第二个式子得出 觑( 亡) 2 ( 纠一6 笋一口护2 ( 芒) 一护2 ( 州仇+ e ) + 糕 ， 由e 的任意性，根据比较原理和引理2 4 1 可得 。l i m + i n f 飓c 亡，辫圭讹， 对任意的e 0 ，都存在一个死 t 4 ，使对所有的t 死，都有 n 2 ( t ) 仫一e 由( 2 一1 6 ) 和系统( 2 - 3 ) 的第三个式子得出 晓( t ) 3 ( ) 一6 r a m n 3 ( t ) + 由e 的任意性，根据比较原理和引理2 4 1 可得 因为 2 6 口耋( 加) 2 1 + m l ( 柏) 2 1 i m i n f n 3 ( ) t + o o 令口拿( 加) 2 q ( 饥一e ) 2 1 + m 2 ( 似一e ) 2 a v = 铂 b m ( 1 + m 1 ( 舶) 2 ) 蟛m 1 ) 2 ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 第二章具有连续时滞的非自治三种群相互作用的捕食一被捕食模型分析 同理可得 j q 6 罗m 1 兮 b n m l ， 蔫 蟛令