（应用数学专业论文）半导体等离子体流体动力学模型的渐近极限问题.pdf

摘要 摘要 近几十年来，人们开始应用数学模型研究半导体模型物理学家、数学家和工 程师提出了许多数学模型来描述半导体材料和装置通过数学的观点来研究这些关 系，以上的极限问题通过高维非线性结构方程来数学化，然后通过现代偏微分方程 理论得以求解在实际模拟装置中，第一个最广泛应用的模型是漂流扩散模型在 数学模型和数字模拟等离子体和半导体的方法中，e u l * p o i s s o n 系统被广泛的应用， 等离子体流体力学模型的一些渐近极限问题特别地，零松弛时间极限问题，零电 子质量极限问题，以及零德拜长度极限问题( 拟中性极限问题) 已经被研究在一 维瞬时欧拉泊松系统中，零松弛时间极限问题已经被严格的证明，本文是研究多维 等离子体半导体流体动力学模型的渐近极限问题，通过使用了奇异摄动和渐近展开 的方法，运用嵌入定理，极值原理，h 6 l d e r 不等式，p o i n c a r e 不等式等一系列重要定 理和不等式证明了，在稳态情况下( 与时间无关) 的零电子质量极限问题，即当电 子质量占趋于零时，模型的解存在唯一性，及原始方程和极限方程的解的h 1 ( o ，1 ) 范 数以d ( 占) 收敛又讨论了稳态情况下零松弛时间极限问题，即当松弛变量f 趋于零 时，模型的解存在唯一性，及原始方程和极限方程的解的日1 ( o ，1 ) 范数以d ( f 2 ) 收敛 关键字：零电子质量极限；零松弛时间极限；半导体；等离子体；流体动力学模型 北京t 业大学理学硕i ! 学位论文 a b s t r a c t i i lr e c e n ty e a r s ，p e o p l eb e g a l lt 0s t i j d ys e i 血c o n d l l c 乞0 rm o d e l 、) ，i 血m a 吐l e i 】 1 a ：t i cm e m o d p h y s i c a ls c i e i l t i s t ，m a m e m a t i c i 锄锄de n 百n e e rb r i n gf 0 刑a r dm a n ym a _ c 1 1 e m a t i cm o d e l t o d e s 田b es e m i c o n d u c t o rm a t 甜a la n dd e v i c e 1 1 o u 曲m a t l l e n l a t i cv i e ws n m yt l l e s e r e l a t i o l l s ，u s e1 1 i g l l - d 曲e n s i o n a ln o i d i n e a rs 仇l c t u r e 。q u a t i o nm a t l l e m a t i c ，w ec a ns e t t l e m e s ep r o b l e mm r o u g hm o d e n lp a n i a ld i 岱孙e i l t i a l e q 删i o n 1 1 1p r a c t i c a ls i m u l a t e e q u i p m e n tm ef i r s ta b r o a d 印p l i e dm o d e li sd r i r - d i m 商o nm o d e l 1 1 1m 砒e m a t i c a l m o d e l i n g 锄dn u m 嘶c a ls h u l a t i o nf o rp 1 姗嬲觚ds 锄i c o n d u c t o r sd e v i c e s ，m e h y d r o d y i l 删cm o d c ll i k ee u l * p o i s s o ns y s t e i l li sw i d e l yu s e d a s y 仃l p t o t i c1 i m i t so f h y d r o d y n 锄i cm o d e l sf o rp l 弱m 嬲锄ds 锄i c o n d u 曲d r s ，e s p e c i a l l y z e r 0 e l e c 仃d n m 鹤s l 砌t ，z e r 0 - r e l a x a t i o n - t h el i l i l i ta n d ( 沁戚- n e u n 面l i m i ta r ea l r e a d ys 叫i e d 1 1 1 o n e d i m e i l s i o n a l 仃a s i e me u l 昏p o i s s o ns y s t 锄，t 1 1 e6 r s tl i i n i th a v eb e e nr i 9 0 r o u s l y j l l s t i f i e d m i sp a p e rs t u d i 懿t w o - d 硫e n s i o n a lh y d r o d y l l a m i cm o d e l sf o rp l a u s m 嬲觚d s e m i c 0 n d u c t o r s w eu s e al o to fi m p o r t a n tt h e o r e ma n di 1 1 e q u a l 时1 i 1 ( eo d d a b s o r b i n 舀 a l s y r 】叩t o t i ce x p a n d i n g ，h 6 l d e ri 1 1 e q u a l i 坝p o i n c a r ei i l e q u a l 时觚ds oo n f o re a c h1 i i m t i nm es t e a d y - s t a t e ，w ep r 0 v em e ：s 仃d n gc o n v e 唱e n c eo fm es e q u 印c eo fs 0 1 u t i o i l s 锄d 百v et 1 1 ec 0 1 1 r e s p o n d i n gc o n v e 唱e n c er a t e ，i i lz e r 0 一e l e c 仃o n m a s s1 h i t 1 ec o n v e 唱e 1 1 c e r a t ei sd ( s ) ，i i lz e r o - r c l a ) 【撕o n t i m el m tt 1 1 ec o n v e 玛e n c er a t ei s d ( f 2 ) k e y w o r d s z e r 0 一e l e c 仃o n - m a s s l 砌t ； z e r o - r e l a 】【a t i o n - t m l e l i m i t ；s e m i c o n d u c t o r s ； p l a s m a s ；h y d r o d y n a m i cm o d e l s i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意 签名：鏖盔叁盔日期：2 塑墨堇：三， 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：毖导师签名：进日期： 第1 奄绪论 第1 章绪论 半导体、等离子体装置通过电压特性产生电流从而使材料导电，数学家、物 理学家和工程学家通过长期的研究构建出了体现半导体等离子体性质的流体动 力学模型本文主要研究双极的半导体、等离子的零电子质量问题和零松弛时间 极限问题，并给出解的收敛性证明 1 1 引言 固体可分为晶体和非晶体两大类，晶体是原子按照一定的规律周期性重复排 列而组成的，周期性是晶体结构的主要特征，半导体硅、锗是金刚石结构，它的 晶胞是正立方体，可看成是由两个面新立方沿体对角线方向移动1 4 套构而成的， 闪锌矿结构与金刚石结构相似，唯一差别是在体对角线1 4 处的四个原子和各点 上的其它原子不同 晶体的周期性决定了晶体中电子势场的周期性，在周期性势场的运动状态， 可用单电子近似来描写，其薛定谔方程所决定的波函数为布洛赫函数，即 缈t ( r ) = “t ( ，) 2 2 晰，“i ( ，) = “i ( 厂+ 玎口) 是与晶格周期性相同的周期性函数，它反映了周期势场对电子运动的影响， 晶体中电子对某一原胞中的不同位置出现几率不同，而在原胞的中的不同位置出 现几率相同，平面波因子中z 证击表明晶体中电子不再是局部化，而是扩散到整个 晶体中，布洛赫函数表明了晶体中各原子层电子的公有化运动 半导体材料是物质材料微粒形成的周期性网格，像硅、锗等每个微粒有特 定数量的电子，一些电子被束缚在原子周围，而另一些电子因为具有足够的能量 所以可以离开原子，在其周围的网格运动这部分电子位于能量带，所以称为导 电子一个原子失去了导电子后带正电荷被称作洞材料的导电行为主要依赖于 导电子和洞的数量，材料的导电性可以通过加入不同的微粒得以改良，即通过增 加导体中电子的数目和洞的数目这种添加不同的微粒称为预测胶状物半导体 材料增加的导电子和洞的数目分别为，z 却甜和p 却甜一个半导体装置有不 1 北京t 业大学理学硕卜学位论文 同材料胶状区域组成，最简单的装置是由i 剐种材料组成的p 一”二极管，最简单的 p 万二极管通过电压特性产生电流使材料导电以上所述的是对半导体装置的描 述，以及电流产生依赖于电压，因此所有模型都考虑带电荷的无极特性下和双极 特性下的电子和洞 近几十年来，人们开始应用数学模型研究半导体模型物理学家数学家，工 程师提出了许多数学模型来描述半导体材料和装置在实际模拟装置中，第一个 最广泛应用的模型是漂流扩散模型由于微型化的需要，带电体更精确的特性较 于漂流扩散模型需要证明因此，像能量传输模型和流体力学模型这些更复杂的 模型被提出，由于这些模型都直接的描述宏观的数量，像电子密度，电流密度， 温度等所以我们称以上模型为宏观模型，然而在特定物理条件下更复杂的宏观 模型来研究现象是不恰当的，所以微观模型被广泛应用，然而由于数字模拟极其 昂贵，所以微观模型在模拟装置中应用十分局限我们着重于宏观模型，为了更 精确，我们将研究不同模型之间的关系首先，许多的关系我们已经知道，特别 的，通过限定一些尺度参数把复杂的模型变成简单模型在流体动力学中叫做松 弛极限问题，当松弛尺度时间趋于零时，这些极限问题基于不同的时间模型 一一能量输运模型和漂流扩散模型另一个例子是双极漂流扩散模型中小尺度 德拜长度极限问题，给出了扩散方程，他们之间彼此关系对研究何种模型恰当以 及模拟一定现象十分重要的 本文主要做偏微分方程中的欧拉泊松方程零电子质量极限问题一个未知 函数的偏微分方程实际上是未知函数及其关于几个变量的偏导数之间的一个简 单的关系式如同代数方程一样，关于未知函数的偏微分方程可以是线性的，二 次的，或者是真正非线性的非线性偏微分方程常常要比线性偏微分方程难解很 多，因此，在这个领域中有很多问题，只有极少数是线性情形 非线性偏微分方程没有核心理论，实际上也不可能有其研究的源泉和应用 是如此之多，以至于有关研究课题十分庞杂且发展迅速整个研究领域几乎是不 同领域的一个大联盟，用完全不同的方法对不同的偏微分方程研究不同的现象， 是“非线性”致使每个方程和每个问题独立存在，你不可能期望一个包罗万象的理 论，另一方面，人们的确不愿意单独的处理每一个问题，而有一大堆无关的结果 与技巧因此，从技术上说，人们总在寻求一些新的原理，思想和方法，它至少 能被处理一类这样的问题和偏微分方程 2 第1 审绪论 偏微分方程的研究，起源于1 8 世纪e u l e r ，d a l e i i l b e n ，l a 伊a i l g e ，l a p l a c e 和 其他人的工作它被作为描述连续力学的核心工具，更一般地，作为用于分析物 理科学中模型研究的主要方式实际上，一维线性波动方程是由d a 1 e m b 叭于 1 7 5 2 年前后在模拟弦振动时所引进和研究的1 7 8 0 年l a p l a c e 在重力场理论中 提出了他的方程( 即l a p l a c e 方程) ，而热传导方程是在稍后f o 谢e r ( 1 8 1 0 年) 研究热传导现象中所产生这三个简单的线性二阶方程导致了偏微分方程的主要 分类，即所谓的双曲、椭圆和抛物型偏微分方程，且主要的线性偏微分方程理论 是基于这三个基本例子的 科学、技术工程以及工业，总是刺激偏微分方程发展的永恒源泉历史上有 诸多这样的例子，至今仍十分重要且意义深远： 可压缩与不可压缩流体的著名的e u l e r 方程及n 州e 卜s t o k e s 方程； 电磁学中m a x w e l l m a x w e l l - - d i r a u c 以及b o m i n f e l d 方程； 描述孤立波的k o r t e w e gd ev d e s 方程； 量子力学中s c h r o d i n g e r 方程； 气体和流体动力学模型中的f o k e 卜- p l a l l c k 方程和b 0 1 也狮锄方程； 广义相对论中的e i i l s t e i l l 方程 物理上这些最基本的方程在偏微分方程的发展史上占据着最重要的地位许 多物理现象能够被偏微分方程刻划和描述，并且，用偏微分方程建立的模型不仅 仅限于物理学，在一般的科学中，偏微分方程历来被认为起着一个最基本的作用， 人们当然希望偏微分方程的这个作用仍然能继续相当一段时间，这个趋势将支配 偏微分方程的发展和研究趋向 偏微分方程起着一个不同寻常的双重作用从1 9 世纪中期开始，尤其是 砒e m a 加的工作( 关于复变函数理论和d i r i c m e t 原理的几何化) ，偏微分方程逐 渐成为研究其他数学分支的一个关键的工具，这种双重性观点对于从1 9 世纪到 2 0 世纪偏微分方程的研究一直是非常重要的一方面，偏微分方程可以模拟科 学中的一些现象；另一方面，作为发展数学其他分支的一个工具，偏微分方程还 有一些潜在的应用p o i l l c a r e 对极小曲面方程和m o n g a m p e r e 方程及他们几何 含义的研究，硒e m a 加r o c h 定理，a t i y a h s i n g e r 定理，n a s h 的等距嵌入，现 在被视为一些经典名例丘成桐及其学派通过利用偏微分方程理论，处理解决一 些困难的几何问题外，已经完全改变了人们如何去研究几何学中的问 3 北京丁业大学理学硕十学位论文 题d o n a l d s o n 和s e i b e r g 一w i n e i l 在四维为分流形的拓扑学中的工作大部分建立 在偏微分方程理论的基础上，偏微分方程理论也同数学的其他领域紧密相关，除 了几何学，还有，例如：概率论及统计分析( b r o 、吼运动，多粒子流体动力学) 以及动力系统，尤其是h 枷1 t o n 系统 偏微分方程在分析和发展过程中始终处于核心地位从c a u c h 删e m 锄方 程和f o 州e r 技术开始，调和分析中许多得到发展的最重要的课题( 分布，s o b o l e v 空间，奇异积分算子，f o 谢e r 积分算子，防伪分算子和微局部分析) 都与偏微 分方程理论有着密切的联系 本文的目的是通过数学的观点来研究这些关系，以上的极限问题通过高维非 线性结构方程来数学化，然而通过现代偏微分方程理论，我们可以推出一些重要 的极限问题，例如流体动力学中松弛极限问题和漂流扩散模型中拟中性极限问 题，我们可以看到在流体模型中熵是一个关键的数学分析工具 1 2 半导体等离子体流体动力学模型研究现状 2 0 0 0 年，t l l i 咧g o u d o n ，a n s g a rj 1 1 1 1 9 e 1 和y u e j u l lp e n g 在论文【5 0 】一文中考 虑半导体材料科学中的双极流体动力学模型中的e u l 昏p o i s s o n 系统模型，它证明 了半导体材料的双极流体动力学模型熵解的存在性，且当电子质量趋于零时，熵 解的解序列的极限是古典解 a ，疗。+ 刁= 0 ， 。( 譬吲却霄， 功，刀。5 + 国。8 = 0 ，他f + ，( 生生二+ p 。( n 。s ) ) ：一可s n 。s e 占 ，e a ，e 。= 玎5 一甩，8 假设：( h 1 ) 甩口，o o ， 刀。，o ，三业r ( r ) ， e 一骂， s u p ，z 口，oc r 拧口o ( h 2 ) 序列岛；l 。在吃( 绋) 上有界 4 c 愕卜匕c 刚上枞 引理1 2 1 ：在( h 1 ) ( h 3 ) 假设下，解序q 8 ，2 。8 ，8 ，。5 ，e 8 ) ，当s 专o 时， 收敛于( 万， 。，歹，j 。，e ) 2 0 0 2 年，p e n gy u e j u n 在论文 5 1 一文中考虑了半导体材料科学中单极 e u l * p o i s s o n 系统模型，证明了在一维稳态情况下，电子质量趋于零时，原始方 程和极限方程的解的日1 ( 0 ，1 ) 范数以d ( 占) 收敛又讨论了稳态情况下零松弛时间 极限问题，即当松弛变量f 趋于零时，原始方程和极限方程的解的h 1 ( 0 ，1 ) 范数 以d ( f 2 ) 收敛 a f 刀+ a ，= o， 刚；( 譬州砌硼谢一南 ，z f i ，z ，i 一彤a 。矽= 6 ( 石) 一，1 考虑一维稳态情况下，即与时间t 无关，模型可化为 _ ，( 工) = c， 丢c 等+ p c 砌= 以差一南 d x咒dx f l ，z ，l 一磐窘叫矿，z 当s _ o 时，模型可化为 ( x ) = c， 丢c 鲁叫阳；警一南 反x咒。dxf i n ， 一牙警_ 6 ( 圹 假设：( h 1 ) 6 r ( o ，1 ) ，o 6 0 6 ( z ) ，v _ ( o ，1 ) ( h 2 ) 刀一忍2 p ( ，z ) ，且为 o ，o o ) 到 o ，) 上严格单调增 ( h 3 ) f c 1 ( b ) x 月) ，v ( 甩，) p ，o 。) x 天， f ( 甩，) o 引理1 2 2 ：在假设( h 1 ) 一( h 3 ) 下，设( 力。，纯) 咖是上述问题的解序，( 咒，) 是 北京t 业) ：学理学硕】j 学位论文 原始问题的唯一解，当s 一0 时， 忆一刀。1 ) 4 s ，忱一叱。( o 1 ) 彳z 占， 其中4 ，o = 1 ，2 ) 为独立于占的正常数 当f 寸0 时模型可化为 ( x ) = c ， 要( 盟叫) ：心譬一可 d x万dx 一牙参叫矿 引理1 2 3 ：在假设( h 1 ) 一( h 3 ) 下，设( 刀，以) ， 。是上述问题的解序，( 刀，妒) 是 原始问题的唯一解，当r 专o 时， 忆一机( 0 t 。) q f 2 ，忱一办( o 。) c 2 f 2 ， 其中g ，( f = 1 ，2 ) 为独立于f 的正常数 2 0 0 5 年，s h uw 撕g 在论文 2 】中考虑如下半导体材料科学中单极模型，证明 了初值问题存在一组局部光滑解，并证明了这组光滑解满足的性质 a f ”5 丑+ 反v ( 刀5 “5 五) = o ， 占p ，矿工+ 矿工v 矿1 + v j i l ( “啊) = v 啊 5 a = 刀5 ，t 一1 ， 甩讲( f = o ) = 订，“哪o = o ) = “；” 令刀( ) = 以，p ) = 圭聆2 模型可化为 g ( 1 + 瓜啊) p ，一+ “叫v 一】+ 掣：o 即喇，吼叫+ 辈：辈 _ _ 矛矿“= 一，【。胪。出= o ， 驴且o = o ) = 酽 ，“( f = o ) = “o 厶工 引理1 2 4 ：( 局部收敛) 假设( 爵”，“) = ( o ，“：o ) 满足： ”牝n s 吾+ 3 ，撕：0 = o ， 6 第1 章绪论 在【o ，丁】上述模型存在一组光滑解( a “，“喇，y 。，2 ) 满足： 妒一，一五v 胪儿v 。) + ，a ，舶，v 矿哪) ( 分) k ”，) 2 m 。 2 0 0 7 年，y e p i n gl i 在论文 5 2 一文中，考虑模型的零电子质量问题，零松 弛时间问题证明了在假设条件( h 1 ) ( h 4 ) 下，半导体材料模型在稳态情况下存 在唯一强解，并给出了强解与古典解的范数收敛情况即 n f + 机( ，z “) = o ， “。+ s ( “v ) “+ 三v ( ，z z ) ：v 矽一竺， ，z 1 正协v 丁+ 争历w 毛v 佃耻冬凸w 一盟 33 挖 、7 3 f l r ，f ， 名矽= 刀一6 ( x ) 在稳态情况下，即甩，= “，= z = o 时即 d i ，( ，z “) = o， s ( “v ) “+ 土v ( 聆丁) ：v 矽一竺， 玎r “v 丁+ 三r 砌诎一三丁：三吖一盟“v 丁+ = r 西v “一二丁= 二s l “r 一二- = 生 33 ，z3 r 。 f 矽= ，z 一6 ( 石) 当s 专o 时，模型可化为 边界条件为 挑( n 。v 丸) = o ， 翱v 肌三v 魄m 疋= v 纯一詈v 少。， 瓦+ 等v 正v 虬一v 以。v y 。疋= 一鲁i v 。1 2 一鲁( 乏一瓦( 砌 刀丸= 以。一6 ( x ) 刀。l 弛= 疗。，。l 触= y 。，丁。i 砸= ，矽。i 铀= 矽。 假设条件： ( h 1 ) 对o 万 1 ，d = 2 ，3 ，q 在r d 上c 2 域为有界点集 ( h 2 ) 诋q ，6 ( z ) ，瓦( x ) r ( q ) ，j2 j l ，如，瓦l ，互2 满足 o 岛6 ( 工) 6 i ，o d ( 1 一万) ， o 咒d l n d 以d 2 ，o 乃l 乃( 工) 乃2 ( h 4 ) y d c 2 ( 孬) ，日2 灯( q ) 引理1 2 5 ：上述问题在假设( h 1 ) 一( h 4 ) 下，存在唯一强解 ( ，z 。，九) 日2 叮( q ) c 2 占( q ) 日2 t 9 ( q ) 日2 9 ( q ) ， 若i 互- 一互：i + i 瓦。一乃：l + l 瓦。一：l + 桫。峙，。( q ) 。，有口6 譬+ 芸 引理2 2 3m u i l g 不等式) ：对任意口，6 o ，1 p ，g o ，1 p ，g ，土+ 三：1 pq 北京t 业大学理学硕 j 学位论文 有动堕+ ! 竺 pq 引理2 2 5 ( h 6 l d e r 虿等式) ：肛陋训l 洲y 1 舢 0 + 引理2 2 6 ( p o i n c a r e 不等式) ：设1 p 细t 驴，贝0 阿0 + m ，p ( q ) c 工8 疆动，o 仅m 一旦 p ( 4 ) 若，l = 仰t 忉，贝0v 以+ m p ( q ) c ，口( 五) ，o o 收敛 于问题( 4 3 6 ) 一( 4 3 8 ) 的解( n 。，刀。，矽) ，即 在区间c o ( 【o ，1 d 上一致有，刀打哼咒，l 盱寸挖。 在区间c 1 ( 【o ，1 少上一致有， 刀i fj ，l f ，n 盯一行。 并且存在独立于f 的常数c 1 o ，c 2 o ，c 3 0 ，使得 慨一甩拈( o 1 ) c l f 2 ，k 一，z 如( 0 。) c 2 f 2 ，恢一m ( 0 1 ) c 3 f 2 3 3 本章小结 本章通过质量方程、动量方程、能量方程给出了模型的推导过程，从根本上了 解偏微分方程的模型的构建是具有一定的实际意义，并给出接下来我们第四章主要 考虑的两大问题的零电子质量极限模型和零松弛时间极限模型，为接下来讨论问题 作好铺垫 1 9 北京t 业大学理学硕 ：学位论文 第4 章双极芝。le r p o is s o n 方程定理证明 本章给出了双极e u l * p o i s s o n 方程流体动力学模型的零电子质量极限问题和零 松弛时间极限闯题的证盟首先绘出了零电子质量极限问题，在稳态情况下( 与时 阀无关) 的零电子质量极限问题，即当电子质量占趋于零时，模型的解存在唯一性， 及原始方程和极限方程的解的h 1 ( o ，1 ) 范数以d p ) 收敛又讨论了稳态情况下零松弛 时间极限问题，即当松弛变量f 趋于零时，模型的解存在唯一性，及原始方程和极限 方程的解的日1 ( 0 ，1 ) 范数以o ( f 2 ) 收敛 4 1 零电子质量极限问题 考虑模型 a ，拜i + v ( 嚣f “f ) = o ， 8 ，( 嚣f 秘f ) + v ( 露f 材0 掰i ) + v 鼻( 聪f ) = 一咒l v ， a f 拧。+ v ( 摊。“。) = o ， 占p ，( 栉。掰。) + v ( 鼯。髯。掰。) 】+ v z ( 羟。) = 栉。v ， 一只秘= 毪一撵。 一维稳态情形时，即与时间f 无关的情况时： 令摆i 豁j = 歹i ( 力= c i ，瓣。箨。= 杰( x ) = 。2 ，互墅丝：纛( 嚣。) 则上式可以变形为： 雄t 鼻( 柚 = 铱， 要( 芷+ 尹；( 毪) ) ：吲；譬， 似q 姒 歹。( x ) = c 2 ， s 丢t 掣，+ 掣毯差，戤以。 敷戤 。蠢2 “留君酬f 哪e 。 考虑艿= 0 的情形，得 2 0 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 。1 5 ) 第4 章双极e u l 盯p o i s s o n 方程定理证明 ，f 【z ) 2 c l ， 要( 地屺( 以i ) ) ，譬， 以x行二口x _ ，。( x ) = c 2 ， ( 刀。) 一办( 以。o ) = 矽( 力， d 2 西 “7 7 君钏f 卅扩 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 当x ( o ，1 ) ，问题( 4 1 1 ) 一( 4 1 5 ) 的解为( 挖；，咒；，以) ( 4 1 1 ) 一( 4 1 5 ) 的边界条件： 以；( o ) = 咒m ，以；( 1 ) = 以f l ， 以；( o ) = ，z 。o ，玎；( 1 ) = n d ， 丸( o ) = o ，九( 1 ) = 一f ( ，z n ) + f ( 行f o ) ， 九( o ) = 0 ，以( 1 ) = 矗( ，z d ) - j l z ( ，z 卸) ，厅( 1 ) = 0 ， 以d ( 占) 阶逼近( 4 2 1 ) 一( 4 2 5 ) 的解( 刀，l 。，矽) 其中( 4 2 1 ) 一( 4 2 5 ) 的边界条件为： 以j ( 0 ) = 咒j o n j ( 1 ) = 以j 1 ， 咒。( o ) = 甩。o ，l 。( 1 ) = n 。l ， 矽( 0 ) = o ， 矽( 1 ) = 一f ( ，z f l ) + f ( 甩，o ) ， 矽( o ) = 0 ， 矽( 1 ) = ( 刀。1 ) 一厅( ，z 。o ) ， ( 1 ) = o 假设条件： ( h 1 ) 在【o 专) 【o 专o 。) 上刀专咒2 p ( ，z ) 严格单调增 ( h 2 ) q ( 矽) ，g 为单调增函数 定理4 1 ：在假设( h 1 ) 一( h 2 ) 下，设( ，z ；，刀；，丸) 是问题( 4 1 1 ) - ( 4 1 5 ) 的解序 列，( 咒j ， 。，) 是问题( 4 2 1 ) 一( 4 2 5 ) 的唯一解，那么当占专0 时，可得 忙q ，茎4 占，怫一，z 。k ，彳。s ，忱一九彳- 占， 其中4 o 为一独立于占的常数 证明：首先，证明咒，n 。的一致有界性 咒f = 厂( f ( 力；) ) ，雄。= g ( 忍( ，l 。) ) 特另0 地，取j z ( 甩) = l 0 9 4 ，p ( 甩) = ，z ，刀。= 以。oe x p ( ) 2 1 北京工业大学理学硕十学位论文 以，= 厂( f ( 挖f ) ) ，z 。= g ( j i z ( 聆。) ) 由地，尝= 一掣，可得f 尝= 一r 掣dx口x “口x“口x 因为矽( 工) = 一，( 即f ) + f ( ，l f 0 ) ，故伟= 厂( 一( x ) + ，( 咒j o ) 又因为矽( x ) ： ( ，z 。) 一 ( ，z 柏) ，故玎。= ；( 矽( 工) + ( n 加) ) 由( 4 1 5 ) 一旯刁窘= = 卅船) ( 喇- g ( 如) “( ) ) 边值条件： 疗j ( o ) = 万f 0 ( 1 ) = n f l ， ，l 。( o ) = ，l 。j ，咒。( 1 ) = 咒。l ， ( o ) = o ，( 1 ) = 一f ( 刀f 1 ) + ，( 刀加) ， 矽( o ) = o ， 矽( 1 ) = ( ，z 胡) 一 ( 以曲) ， 办( 1 ) = o 设窘= 一击眇( 一矽( x ) + f ( ) ) 一g ( ( x ) + ( 甩一】= q ( ( 功) ， 故等等：q ( ( x ) ) ，x ( o ，1 ) ，q ( 矽) 为单调增函数， 出。 又因为( 0 ) = o ，故厂g ，l = o ，x ( 0 ，1 ) ，c 0 ( 满足) ，矽c o ( ( 0 ，1 ) ) ， 由极值原理可知， s u p 伊s u p ( 矽( o ) ，( 1 ) ) = 歹，f 矿矽i n 聊( o ) ，( 1 ) ) = 至， 故生歹 又因为捍，= 厂( 一( x ) + f ( 以加) ，故甩。= g ( 矽( 工) + ( ，l 印) ) ， 且厂，g 为单调增函数，歪矽歹， 故黑玎f s u p ( 刀r ( o ) ，刀r ( 1 ) ) = 瓦，1 蕊一i 1 1 f ( 刀r ( o ) ，( 1 ) ) 2 生 ( o ，1 ) v v 故黑s u p ( 玎。( o ) ，( 1 ) ) = 兀，1 蕊甩e i n f ( ( o ) ，叩) ) 2 竺 ( o ，1 ) 、v 1 ， 即竺 f 瓦，竺刀。兀- 所以，刀。是一致有界的 由( 4 1 2 ) 得丢( 誓+ p 如m 一咒，尝，口x疗二口x 第4 章双极e u l e 卜p o i s s o n 方程定理证明 可得尝= 芸鲁一纵鲁= 丢c 一坳，一番， 故警= 嘉何，一匀一等， 由( 4 2 4 ) ，( 4 2 5 ) 知窘= 嘉( 坳户坳一) = 筹( 坳瑚= 等， 由( 4 1 4 ) 得s 冬( 掣) + 鱼掣：譬， 出 咒：戤戤 c 字+ 掣，芸= 罢， 刀：行f 积戤 丢c 警州= 差， 由( 4 2 2 ) = ( 4 1 2 ) 得， 窘= 箬c 努州哟卜筹， 由( 4 1 ) ( 4 2 ) 得， 警一窘：嘉c 努州螂叫卜虹蜡_ ， 两边乘以 ( 咒；) 一j l l ( n 。) 得， m 螂川) 嘉( 坳争坳。) 一击拟玎卜坳川( 矿出 = 一f ( 坳；) 一坳。) 进一击上( 坳；) 一坳功( 以；一疗。) 出， = 一b 坳卜坳。也，一南如卜坳功叱，出， 又因为胁卜坳期嘉( 磐膨彳怪坳卜m 埘卜 可把上( j l z ( ，z ；) 一办( ) ) ( ，z ；一万，) 出中， 由( 4 1 5 ) 得叫钏一叩窘， ( 4 1 ) ( 4 2 ) 由( 4 2 5 ) 得，刀，：咒。一无刁磐， 戤 伽沪圳嘉( 磐州) ) ， 甩，巩。刁( 箬似哟) ， 上两式代入得， 上( j l z ( 咒；) 一j l l ( ) ) ( 刀卜刀，) 出 = 拟砟) 叫) ( 以；吧) 出+ a 印拟螂叫) 嘉( 坳卜m 出 咖胁卜坳功嘉( 警肌 小哟叫砌知舳咖恤坳卜坳。， 2 咖胁弘坳功嘉( 等胁 综合上面得， ( 1 砌岍螂叫) 嘉( 磐) 出 + ( 1 一训拟哟叫) 嘉( 坳卜坳埘d x + ( 1 一击) 拟哟叫) ( 巾n 。) 出= o ， 所以五刁l ( ( 咒；) 一j i l ( 以。) ) 嘉( ( 珂；) 一 ( 心) ) 出+ f ( j i l ( 玎；) 一j i l ( 刀。) ) ( 咒；一心) 出 吻胁卜坳功嘉( 等m 故胁卜坳瑚嘉哟叫邮如卜坳功筹( 磐肌 知m 忆叫，绌 设以。：g 计- ，故掣：业堕掣一鲤堕掣， 积戤蹴 第4 章双极e u l 开p o i s s o n 方程定理证明 上式加一项旦竺竖甚掣墨型再减一项旦塑丝之坐丛型得， a xa x 故警= 托哟h b 魄) ) 】掣似) 巡掣型站， 所以一，z 山他，么占 由( 4 1 4 ) 和( 4 2 4 ) 式得，掣= 丢( 警州哟川) ， 故0 掣k 朋绌怡坳卜坳川l m 螂 所以忱一m l ( o 1 ) 彳2 s 又因棚1 咱一沪训警一箬) ， 却知卜训箬( 等“m 魄) ) ， 蜘哟叫哟+ 磐删警一掣，尝一掣， 吲掣k m 绌，所以0 掣k 舯绌 由咒，= f 一= 厂得， j ( ，z ；一，z ，)厂。( ，( ，z ；) ) d ( f ( 刀；) ) 厂( f ( 栉；) ) d ( ，( 聆，) ) -二-二-=：-；-二-一一一 出出出 皇掣：( 厂( f ( 甩；) ) 一厂( f ( ”，) ) 掣一厂( f ( 咒；) ) ! ! 玉兰! 竺茎掣彳s ， dx以x d x 所以忪吨o 1 ) 彳，占 4 2 零松弛时间极限问题 下面继续考虑零松弛时间极限问题，对问题( 4 1 1 ) 一( 4 1 5 ) ，设 j f f = 万，_ ，。，= 习f 。，其中f o ，是一个独立于占，五的常量当f _ o 时， 北京t 业大学理学硕十学位论文 要( 篮+ p ，( 刀，) ) ：吨譬， a x 疗：戤 丘( z ) = c 2 ， s 丢c 掣，+ 掣毡警， 戤，z 。 戤戤 咖窘弘叱 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 其中f 为松弛时间，电子质量为占，p ，f 分别代表电子和电流，以。表示电子的密 度，“。表示电子的速度，e 表示电子的压强，表示势能同理，表示电流的密 度，“，表示电流的速度，鼻表示电流的压强由j 打= 矾，以，= 可。，模型可化为 矾( x ) = c l ， 要( 盟旭( ) 一打警， 戤咒打 础 坑( z ) = c 2 ， 占乏c 挈，+ 掣飞警， 戤 ，z 日 纵积 嘲警砘叱 当f = 0 时( 4 3 1 ) ( 4 3 5 ) 可化为 要( p ，( 行，) ) ：飞譬， a xd x 掣毡差， 一= 玎一 d x戤 嘲窘弘他 考虑当x ( o ，1 ) 问题( 4 3 1 ) ( 4 3 5 ) 的解( ，z 万一矽，) ， 在边界条件：挖f ，( 0 ) = 刀f 0 ，( 1 ) = 甩n ， ，z 。，( o ) = 刀。o ，l 。，( 1 ) = 刀。1 ， 以( o ) = 0 ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) ( 4 3 4 ) ( 4 3 5 ) ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) ( 4 3 8 ) 第4 章双极e u l e 卜p o i s s o n 方程定理证明 以d ( f 2 ) 阶逼近( 4 3 6 ) ( 4 3 8 ) 的解( ，z ，咒。，矽) 其中( 4 3 6 ) ( 4 3 8 ) 的边界条件为： 刀f ( 0 ) = 以m ，万f ( 1 ) = 咒f 1 ， ，z 。( 0 ) = 甩柏，l 。( 1 ) = 咒。l ， 矽( o ) = o 假设：( h 1 ) ，g 均为严格单调增函数 ( h 2 ) 尊在区间 o ，1 】为可积函数 刀f f ( h 3 ) 删为一阶导数连续 定理4 2 ：在假设( h 1 ) 一( h 3 ) 下，问题( 4 3 1 ) 一( 4 3 5 ) 的解序列( ，l 玎矽，) ， 0 收敛于问题( 4 3 6 ) 一( 4 3 8 ) 的解( 珂，托。，妒) ，即 在区间c o ( 【o ，1 d 上一致有， ”，哼，l ，n 。，jn 。 在区间c 1 ( 【o ，1 d 上一致有， ，z 打_ ，l ，九。，专万。 并且存在独立于f 的常数c l 0 ，c 2 o ，c 3 o ，使得 慨一o 1 ) c l f 2 ，敝一万如( 0 ，。) q f 2 ，忱一舢( o 。) c 3 f 2 证明：首先证明序列( ，z ，) 舢，( 刀。，) 伽在缈1 。( o ，1 ) 上是有界的， ，l 打= 厂( f ( 刀f ，) ) ， 以。，= g ( 矗( 咒。，) ) ， 特别地，取| l ( ，z ) = 1 0 旷，p ( ，z ) = 聆，聆。= ”卸e x p ( 矽) ， ，l f ，= 厂( ，( ，z f f ) ) ，聆。，= g ( i l z ( 刀。，) ) ， 由他，警