（应用数学专业论文）关于多元插值和插值空间维数问题的研究.pdf

摘要 内容摘要：捕值问题是一个十分经典的数学问题，同时它也是计算 数学中的一个基本问题一元插值的理论与方法现如今已基本上臻于 完善，八r 年代起，插值问题研究的重点开始转向多元插值究其原 因，丰要是多元捅值在多元函数列表、曲面外形设计和有限元法等 诸多领域有着广泛的j 岖用同时，由丁近年来代数几何 里论与方法的 不断发展雨1 完善，又为多元插值问题的进一步研究提供了强有力冉勺理 论依据和全新的研究办法本文共分为四章，第一章介绍了有关多元 插值的基本耶论和方法第二章讲述了有关7 i , l a g r a n g e 插值和多元 切触插值的近期主要结果第三章我们从有关适定结点组的添加曲线 法考虑，得到了一些有关l a g r a n g e 插值不适定的结论，并从该结论的 反方向思考，得到了一种非常规型插值适定结点组第四章我们从沿 代数曲线曲而空间的插值维数出发利用代数儿何理论与方法，给出 了代数曲线曲面上的基本插值结构，并证明了我们长划应用的其上的 插值维数公式的合理性 关键词：l a g r a n g e 插值，切触插值，插值维数代数曲线曲面， g r 6 b n e r 基 a b s t r a c t c o n t e n t ：i n t e r p o l a t i o ni sav e r yc l a s s i cp r o b l e mo fm a t h e m a t i c sa n d a l s oab a s i cp r o b l e mi nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s i ti sw e l lk n o w n t h a tu n i v a l v ei n t e r p o l a t i o nh a sav e r yw e l ld e v e l o p e dt h e o r ya n d m e t h o d h o w e v e r ，s i n c e1 9 8 0 s ，p e o p l ec o m et ot u r nt h er e s e a r c ho f i n t e r p o l a t i o no nm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n ，t h er e a s o ni st h a tm u l t i - v a r i a t ei n t e r p o l a t i o nh a saw i d e s p r e a da p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s ，s u c h a ss u r f a c e sd e s i g n ，m u l t i v a r i a t ef u n c t i o na r r a n g ef i g u r e sa n df i n i t ee l e - m e n tm e t h o d a tt h es a m et i m e ，s i n c et h ea l g e b r a i cg e o m e t r yt h e o r y a n dm e t h o dd u r i n gt h ep a s tf e wy e a r sh a v eu n c e a s i n g l yd e v e l o p e da n d i m p r o v e d ，w eh a v ef o r c e f u lt h e o r yb a s i sa n dn e wm e t h o dt of u r t h e rr e - s e a r c ht h ep r o b l e mo fm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h e r e a r cf o l i ts e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r y i n t h es e c o n ds e c t i o n ，w eg i v eo u tt h er e c e n tm a i nr e s u l t so fm u l t i v a r i a t e l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eg e ts o m et h e o r i e so f n op o s e ds e to fn o d e sf r o mak i n do fr e c u r s i v em e t h o do fc o n s t r u c t i n g p o s e ds e to fn o d e sf o rb i v a r i a t el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，a n dw eg e ta k i n do fa b n o r m a lp o s e ds e to fn o d e sf o ri n t e r p o l a t i o nf o r mt h er e v e r s e t h o u g h to ft h a tt h e o r y i nt h ef o u rs e c t i o n ，f r o mt h ei n t e r p o l a t i o n d i m e n s i o no fa na l g e b r a i cc u r v ea n da na l g e b r a i cs u r f a c e u s i n gt h e o r y a n dm e t h o do fa l g e b r a i cg e o m e t r y , w eg e ts o m ei n t e r p o l a t i o no fa n a l g e b r a i cc u r v ea n da l la l g e b r a i cs u r f a c e a n dw ep r o v et h er e a s o n a b l e o ft h ei n t e r p o l a t i o nd i m e n s i o no fa l la l g e b r a i cc u r v ea n da na l g e b r a i c s l l r f a c e k e yw o r d s ：l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ；o s c u l a t o r yi n t e r p o l a t i o n ；d i - m e n s i o no fi n t e r p o l a t i o n ；a l g e b r a i cc u r v ea n ds u r f a c e ；g r s b n e rb a s e s l l 学位论文独创陛声明 本人承诺：所旱交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外+ 小包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作有签名 磋荔， 日期：伽7 学位论文版权使用授权书 弓。3 护 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位沦文的全部或部分内容编入有关数据庠进行检索，可以采用影e l 】、缩印 或其他复制手段保存、汇编学侮论文保密的论文在解密后使用本授权书 名凌，劫嚆 、 乃 、 唧 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 1引言 插值问题是计算数学中的一个基本问题，同时它也是一个十分经典的数学问 题插值概念最早是在公元5 4 4 - 6 1 0 年间由我国隋朝数学家刘焯首先提出的，这比 西欧学者在1 6 5 5 年发表相应的结果早一千多年对于单变元插值问题而言，由于 其长期的不断发展与完善，有关插值理论与方法己基本臻于完善但多变元插值 却是近年来一个较新的研究主题，特别是近二十年来，随着多元插值在解决实际 问题和其它相关学科理论研究中的广泛应用( 比如，数值分析与逼近，多元样条， 曲面的拼接技术和有限元法等) ，使得有关多元插值理论及其插值格式构造问题 的研究越来越受到人们的关注，尤其是在多元多项式插值理论及其方法的研究方 面，取得了许多新的结果本章中，我们就近年来有关多元多项式插值问题较新 的研究结果加以总结与评述 l 1多元多项式插值的基本概念 插值问题最一般的提法是：对于一个给定的赋范线性空间y 一个y 的有限 线性子空间y ，有界泛函的一个有限集，= f q q 罂i 和一个实数集 q ) 器1 寻找 一个y 中元素p v ，使之满足： p = g ，q = l ，m ( 1 1 ) 如果对于每一个任意给定的实数集 g ) 凳。，方程( 1 1 ) 总有唯一解，则称该插值问 题是1 e 则的( r e g u l a r ) 否则，称该插值问题是奇异的( s i n g u l a r ) 显然，要使一个插 值问题是正则的，就必须有 d i m v = m ( 1 2 ) 在通常情况下，实数值g 是由泛函日作用于y 中一个元素，而得到，即 g = 局工q = 1 ，m ( 1 3 ) 设垂= s p a n 日) 甚l ，则垂是y 的对偶空间l ，+ 的一个m 维子空间插值问 题( 1 3 ) 的对偶问题等价于：给定f y ，寻找一个p v ，使得对任何f 圣，有 f p = f f( 1 4 ) 上述情形的一个典型的例子就是我们通常所称之的古典h e r m i t e 插值为了描述 它，我们下面先引入一些相关的记号，设 z = ( 。1 ，) ，z r d , j = ( j l ，j d ) ，j 醐，= 嗣1 砑i j = j l + + 血 1 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 用 哗= a j z 。l j n d ，：r d ，吩r ( 1 5 ) i j l n 代表全次数不超过凡的d 个变元的实多项式空间，也就是我们所使用的插值空 间y 取插值泛函为偏导数，即给定f 中m 个相异点的集合 钿) 銎1 和非负整 数k 1 ，k ，使得 其中 日4 ，= d 。，( 白) ，0 i q l k q ，1 口m ( 1 6 ) 一希 为微分算子 蜘t m 哗；( d ：礼) ，并且在钿处被插值的偏删包括函煳的个 数为( d 之) ，则要求下式成立 ( 4 ：礼) = 薹( d 之) ( 1 7 ) 古典h e r m i t e 插值或称为全次数h e r m i t e 插值问题的提法如下：对于一些给定 值q ，。，寻找一个多项式p 蟛，使之满足 d 。p ( z q ) = q ，。，0 i n isk q ，1 曼q 7 n ( 1 8 ) 如果所有= 0 ，则我们得到l a g r a n g e 插值问题：寻找一个多项式p 彬，使 得： p ( z a ) = g ，1 q m ( 1 9 ) 其中m ；d i m 蟛) 1 2二元多项式插值 通过前面的讨论与分析，我们知道在进行多元多项式插值时必须首先解决插 值的正则性问题首先我们关注的问题是，确认具有什么性质的结点组能够作成 关于给定的插值多项式空间是正则的插值结点组 在这方面首先应该提到的是梁学章教授于1 9 6 5 年将二元l a g r a n g e 插值的正 则性问题转化为一个几何问题，从而使得我们可以应用代数几何的方法构造出 二元多项式空间的一系列插值适定结点组 2 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 定义1 1 设a = q ) 墨1 ( e 。= ( “：。) ) 是睁中的个相异点对于一个 z 任意给定的实数组u ) 墨l 寻找一个多项式p ( z ，y ) p ，使之满足如下插值条 件： p ( q ) = ，i = 1 ，e 。( 1 1 0 ) 如果对于每一个任意给定的实数组 五) 整1 ，方程组( 1 1 0 ) 总存在唯一一组解，则 我们称该插值问题是适定插值问题( 或称该插值问题是适定的) ，并称相应的 插值结点组一4 = q ) 饕。为关于多项式空间p 的一个插值适定结点组 由定义1 1 和前面所述插值的正则性可知，插值的适定性和插值的正则性实 际上是同一个概念的两种不同提法 定理1 1如果4 = q i ) 譬1 是蟛的一个插值适定结点组，并且4 中没 有任何点位于一个k 次不可约代数曲线q ( x ，y ) = 0 上( = 1 ，2 ，k = 1 意味 者q ( x ，g ) = o 为直线：k = 2 意味着q ( x ，y ) = 0 为圆锥曲线) 则在曲线q ( x ，y ) = 0 上任取( n + 3 ) k 一1 个点与一4 = q ) 整i 一起必定构成关于p 罂k 的一个插值适定 结点组， 由定理i 1 ，我们得到了构造科2 ) 的某一子空间插值适定结点组的添加直线 法( 自= 1 ) 和添加圆锥曲线法( 女= 2 ) 由于r 2 中任一点均可以构成关于蟛的插 值适定结点组，因此，从其出发，反复应用定理1 1 ，我们便可得到p ( 2 ) 中任意 一个子空间的插值适定结点组 为了迸一步研究二元l a g r a n g e 插值适定结点组的几何结构及特征，1 9 9 8 年， 梁和吕在文献【9 中进一步提出了沿平面代数曲线进行二元l a g r a n g e 插值的基 本概念，并将定理中所给出的构造二元l a g r a n g e 插值适定结点组的添加直线 法( = 1 ) 和添加圆锥曲线法( 女= 2 ) 推广到了添加任意次3 ) 代数曲线的情 形 定义1 2 设k 为自然数，e 。( 岛) 定义如下： “胪( ”；2 ) 一( 时= i 麓? 舞：i ：圳 假定g ( 置y ) = 0 是一个次无重复分量代数曲线( 我们称代数曲线n ( z ，y ) = 0 为无重复分量代数曲线，如果在多项式a ( x ，y ) 的分解式中没有重数2 的重因 子) ，并且8 = o ) 凳# 为曲线口( 为可) = 0 上的( ) 个相异点对于一个任意给 定的实数组 五) 警p ，寻找一个多项式p ( z ，) 蟛，使之满足如下插值条件： p ( q ) ； ，i = 1 ，一，e 。 ) ( 1 1 2 ) 3 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 如果对于每一个任意给定的实数组 ) 罂r ，方程组( 1 1 2 ) 总存在一组解，则称结 点组b = 。、i 3 。i e ： c 。k 为沿k 次无重复分量代数曲线q ( z ，y ) = 0 的n 次插值适定结 点组，并简记为舀砰( q ) ( 这里纡( g ) 代表所有沿平面代数曲线q ( z ，) = 0 上 的n 次插值适定结点组的集合1 定理1 2 假设一个k 次无重复分量代数曲线q ( x ，) = 0 和一个直线l ( x ，y ) = 0 相交于七个相异点，记为c = q 。) 整1 如果8 = q l e ：( 1 k 砰( q ) m 一2 ) 并且8 n c = o 则有： 召u c i 。n ( z + l ( 口) 此定理可以解释为构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加直线法 定理1 3 设点组a = q ) 釜1 是p 的插值适定结点组，并且a 中没有任 何点位于k 次无重复分量代数曲线q ( z ，y ) = o 上对于任何d 职k ( q ) 的适定结 点组d ，则口ua 必定构成p 盟。的插值适定结点组 此定理可以解释为构造二元多项式空间插值适定结点组的添加代数曲线法 而且从定理1 2 和定理1 3 可知，定理1 1 中所给出的构造插值适定结点组的添加直 线法和添加圆锥曲线法就是定理1 3 中当k = l 和后= 2 时的特例 对于二元坐标次h e r m i t e 插值，如果关于z 插值直到七1 阶的全部偏导数，关 于y 插值直到如阶的全部偏导数( 这时插值空间为p 量) ，则必有 ( 7 1 + 1 ) ( n 2 + 1 ) = m ( 七l + 1 ) ( k 2 + 1 ) ( 1 1 3 ) 成立 1 9 9 2 年，r a l o r e n t z 研究了二元坐标次一致h e r m i t e 插值的几乎处处正则性 问题，他得到了如下结论： 定理1 4 在( 1 1 3 ) 式成立的条件下，并且如果k l + 1 整除n l + 1 或者+ 1 整除凡2 + 1 ，则在空间p 器。) 中关于z 直到七1 阶全部偏导数，关于直到乜阶全 部偏导数的二元坐标次一致h e r m i t e 插值是几乎处处正则的 定理1 5 在( 1 1 3 ) 式成立的条件下，除了h = 1 和= 2 或者k 1 = 2 和也= 1 这两种情况外，则当0sk 1 ，2 和0 k 1 礼1 ，0 k 2 n 2 时在空 间p ：洲中关于z 直到1 阶全部偏导数，关于y 直到如阶全部偏导数的二元坐 标次一致h e r m i t e 插值是几乎处处正则的，而当k 1 = 1 和k 2 = 2 时对于空间驴 i k 或者k l = 2 和乜= 1 时对于空间畔：j 、的h e r m i t e 插值是奇异的 我们指出，定理1 4 并非定理1 5 的特例，或者说定理1 5 并非全部包含定理1 4 比如，在空问科毡、中在8 个结点处关于z 插值所有1 阶偏导数，而关于y 插值所 有2 阶偏导数的h e r m i t e 插值由定理1 5 知它是几乎处处正则的，但是由于2 不能整 4 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 除9 同时3 也不能整除4 ，故此定理1 4 不能使用 对于二元非一致h e r m i t e 插值，r a l o r e n t z $ 旨出： 定理1 6 对于空间p 昆。) 中在白处关于z 直到全部1 阶偏导数关于直 到2 阶全部偏导数的一个二元坐标次h e r m i t e 插值问题，如果矩形( o ，1 7 , l + 1 ) ( 0 ，n 2 + 1 ) 是矩形( o ，k q l + 1 ) ( 0 ，k s o + 1 ) ，q = l ，m 的不相交的并，则该插 值问题是几乎处处正则的 但该定理在d 3 的r ? 空间中不再成立 1 3 插值格式 这一节，我们介绍几种目前十分流行的多元多项式插值格式的构造方法，并 且这些插值格式都可以用显示形式表示出来 1 9 7 7 年，c h u n g 和在文献| 7 1 中证明，若一个点集满f f _ g c ( g e o m e t r i cc h a r - a c t e r i z a t i o n ) 条件则在这个结点集上的l a g r a n g e 插值是正则的后来g a s c a 和m m e z t u s 在 1 1 】中将这一方法应用于h e r m i t e 插值问题中，得到了一种构 造h e r m i t e 插值格式的方法 定义1 3 一个由m ( m = d i m p 妒) 个点所构成的结点集z = z l ，) c f 称之为满足g c 条件，如果对每一个结点钿，存在n 个超平面风1 ，峨。，使 得 ( a ) 磊不位于任何一个超平面上； ( b ) 所有除如点之外的其余结点至少位于其中一个超平面上， 满足g c 条件的结点集称之为一个自然网格一个结点集如果是一个自然网 格，则其所对应的l a g r a n g e 插值是正则的这是由于函数 “加罡糕 是l a g r a n g e 插值基函数，其中凰 z ) = 0 是满足g c 条件中的超平面方程t s a u e r 和y x u 在【7 】中给出一种构造r 2 中自然网格的一个非常好的例子这个 方法就是在一个单位圆周上取等距分布的2 r + 1 个点，然后分别用直线连接 这2 r + 1 个点中的钿和白+ ，点，其中当g + r 超过2 r + 1 时，则以知一1 点取代钿+ r 点用z ( ) 表示这些直线的交点和在圆周上所取的2 r + 1 个点的集合则他们证 明： 定理1 7 上述得到的结点集z ( r ) 准确地含有r ( 2 r + 1 ) = d i m p 箬) _ 1 个点，并 且z ( ) 是一个自然网格，则在z ( 7 ) 上的l a g r a i l g e 插值关于空间噬翌1 是正则的 文献 7 】中还给出了一种叫做n 阶束网格构造插值适定结点组的方法首先 我们回顾一下r 4 中一个n 阶束的概念，它是在一个余维数为2 的仿射子空间内 5 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 全部相交或全部平行的礼+ 1 个超平面簇一束超平面只相交( 在射影意义下) 个点这个点称之为这个束的中心考虑r d 中n 阶d + 1 个束，它们的中心分别 为a ，q ，q + l 且不含在d 一维射影空间的一个超平面上在这d + 1 个束上 存在f ”+ d1 个结点组构成p 譬的插值适定结点组这个点组在【1 6 】中被称之为 d 一个n 阶d + l 束网格 1 9 8 2 年，g a s c a 和m a e z t u 在文献【1 1 】中给出了一种更为有效的构造l a g r a n g e 插 值格式的方法设有n + 1 条相异直线k ( o ) = 0 ，i = 0 ，n 对每一条直线以，我 们构造一组直线l i j , j = 0 ，r ( i ) ，使得这组直线中的每一条均与k 恰交于一个 点磊。并设这些交点的集合为 z 一 聋j l o j sr ( o ，0 i n )( 1 1 4 ) 定义插值空间v 如下：设 p 0 o ( z ) = l ， p o , a z ) = l o 0 l o , j 一1 ( z ) ，1 j r ( o ) 只，o ( z ) l ol l - 1 ( z ) ，1 i 曼n 只j ( z ) = l o l 一i ( z ) i ，0 ，一l i d 一1 ( z ) ，1 j r ( o ，1 i 仃 v = s 舛站 只j l0s jsr ) ，0 i 札 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 定理1 8 在( 1 1 9 ) 式给出的空间y 中关于( 1 1 4 ) 的结点集z 的l a g r a n g e 插值 是正则的 比较定理1 | 8 和c h u n g 与y a o 的结果，g a s c a 和m a e z t u 给出如下猜想： 猜想设z 是噼中的一个自然网格，则满足g c 条件的直线组中有一条直线 恰好通过结点集z 中的n + 1 个点 我们指出，该猜想是正确的，因为它恰好可以由定理1 1 中所给出的构造r 2 中捕值适定结点组的添加直线法而得到并且从z 中去捧这扎+ 1 个点，我们就 得到z 的一个子结点集z ( 1 1 ，它对于空间p 2 】满足g c 条件，继续做下去的话，则 就会得出如下结论：任何一个自然网格都是上述g a s c a 和m a e z t u 构造方法的特例 g a s c a 和m a e 机对上述构造l a 群a n g e 插值结点集的方法中的n + l 条直线相 异这个条件修改为允许有重复的直线存在，则得到了构造h e r m i t e 插值格式的方 法 6 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 设t ；是垂直于“的直线0 = 1 ，n ) ，并且岛j 是垂直于b 的直线o = 0 ， r ( i ) ) 定义吼，机和c i j 如下： 毗= 在，m 。，中：鼢的直线条数，。兰芝。 z 。， k 2 在 f o ，f 。m 三觚艄线条数，。兰芝n ( 1 z ) “，。 讯一，1 0 - 1 ) 中矗舭舶线铖，袭( 1 z z )岛。i 在他。，) 中通过点聋，的直线条数， 1 j r ( ) 【1 2 2 ) 插值泛函定义为 d i j f = d “a l u k b t + ，( j ) ，1si n ，1 j r ( i ) ( 1 2 3 ) 这里d t f 是，沿方向t 的方向导数 定理1 9 以( 1 1 5 ) 式定义的多项式所张成的空间作为插值空间并以( 1 2 3 ) 式 为插值泛函i 勺h e r m i t e 插值是正则的， 7 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 2预备知识 关于二元多项式空间l a g r a n g e 插值适定性问题的研究首创于梁学章教授， 他将多元插值的适定性问题转化为一个几何闯题，从而使得我们可以应用代数 几何中的一些理论和方法给出二元多项式空间中插值适定结点组的存在性理论 及相应的递归构造方法1 9 9 8 年，梁学章和吕春梅在文献9 1 中以代数几何中的有 关理论为基础，进一步讨论了沿无重复分量平面代数曲线上的l a g r a n g e 插值问 题崔利宏进一步对梁学章和吕春梅等人所创立的有关构造沿平面代数曲线上 的二元l a g r a n g e 插值适定结点组的理论及方法做更加深入的研究和探讨，引入了 弱g r s b n e r 基这一新的数学概念同时使用代数几何中著名的c a y l e y - b a e h a r a e h 定 理的结论，给出了构造沿无重复分量代数曲线插值适定结点组的一系列新的构 造方法，所得结论推广了梁学章等人在文献【1 2 】和【1 3 】中所得到的主要结果 2 1沿平面代数曲线插值问题 梁学章给出t - - 元l a g r a n g e 插值适定结点组的如下定义和定理： 定义2 1 设4 = 口) 墨1 ( 本文中我们总以一4 ，口，c 等代表点组，但同一字 母在不同的地方所代表的点组未必相同) 是琏2 中的e 。个相异点对于一个任意给 定的实数组 ) 整1 ，寻找一个多项式p ( z ，) 蟛，使之满足如下插值条件： p ( q ) = ，i = 1 ， 如果对于每一个任意给定的实数 ，。e ：1 ，方程组( 1 ) 总存在唯一一组解，则我 们称该插值问题是适定插值问题( 或称该插值问题是适定的) ，并称相应的插 值结点组 定理2 1 平面上的一个结点组一4 = q ) 整1 能够做成关于唠的插值适 定结点组的充要条件是a = q 0 整1 不落在嘴中任何一条代数曲线上( 我们 称p ( z ，y ) = o 为p 中的代数曲线，如果p ( z ，y ) p 并且p ( z ，y ) o ) 定理2 2如果a = q ) 墨1 是蟛中的一个插值适定结点组，并且一4 中 没有任何点位于一个k 次不可约代数曲线q ( x ，y ) = o 上( 女= 1 ，2 ，k = 1 意味 着q ( x ，y ) = o 为直线；k = 2 意味着q ( x ，y ) = o 为圆锥曲线) 则在曲线q ( x ，y ) = o 上任取+ 3 ) 一1 个点与a = q i ) 釜1 一起必定构成关于p 罂女的一个插值适定 结点组 了进一步研究二元l a g r a n g e 插值适定结点组的几何结构及特征，1 9 9 8 年。 梁和吕在文献【1 2 】中进一步提出了沿平面代数曲线进行l a g r a n g e 插值的基本 概念，并将定理2 2 中所给出的构造二元l a g r a n g e 插值适定结点组的添加直线 8 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 法( k = 1 ) 和添加圆锥曲线法 = 2 ) 推广到了添加任意次( 3 ) 平面代数曲线的 情形 定义2 2 设为自然数，e n ( ) 定义如下： “胪( “；2 ) 一( ) = ；麓2 端嘣n k 假定q ( z ，y ) = 0 是一个k 次无重复分量代数曲线( 我们称代数曲线a ( x ，y ) = 0 为 无重复分量代数曲线，如果在多项式a ( x ，) 的分解式中没有重数2 的重因 子) ，并且8 = q ) 罂r 为曲线q ( f ，y ) = o 上的( ) 个相异点对于一个任意给 定的实数组 五) 罂，寻找一个多项式p ( z ，v ) 蟛，使之满足如下插值条件： p ( q 。) = ，i = 1 ，e n ( ) ( 3 ) 定义2 3 如果对于每一个任意给定的实数组 五) 墨，方程组( 3 ) 总存在一 组解。则称结点组g = q ) 銎r 为沿次无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = o 的礼次 插值适定结点组，并简记为8 孵( q ) ( 这里蟛( 日) 代表所有沿平面代数曲 线q ( x ，) = o 上的n 次插值适定结点组的集合) 定义2 2 中条件： “如果对于每一个任意给定的实数组 五 警p ，方程 组( 3 ) 总存在一组解( 即总有满足插值条件p ( q i ) = 五，i = 1 ，e n ( 自) 的插值 多项式存在) ”可以由条件：“如果存在多项式p ( z ，y ) 孵满足零插值条 件p ( q ) = 0 ，i = 1 ，e 。( 七) ，蕴含沿代数曲线q ( x ，) = o 恒有p ( z ，y ) 0 ”而取 代 定理2 3 假设一个k 次无重复分量代数曲线q ( x ，口) ；0 和一个直线f ( z ，y ) = o 恰相交于七个相异点，记为c = q 叁1 如果嚣= q 墨搿( q ) k 一 2 ) 并且嚣n c = o 则有： 舀u c 搿1 ( q ) 此定理可以解释为构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加直线法。 定理2 4 设点组4 = q i ) 整1 是蟛的插值适定结点组，如果a 中没有任 衄点何，于埘撼复分茸代激姨线g 扣u 1 一三o - l - 并且d 。吞e 乳f 口) 则口u 4 掬 翌。的插值适定结点组 成p 此定理可以解释为构造二元多项式空间插值适定结点组的添加平面代数曲 线法而且从定理2 3 和定理2 4 可知，定理2 2 中所给出的构造插值适定结点组的 添加直线法和添加圆锥曲线法就是定理2 ，4 中当菇= 1 和= 2 时的特例 定义2 4 假设点组8 = q j l 。e ( 1 k 为七次无重复分量代数曲线q ( z ，y ) = 0 上 的e 。( 七) 个相异点，则b 搿( q ) 的充要条件是：对任何满足零插值条件 p ( q 。) = 0 ，i = 1 ，一，( 女) 9 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 的多项式p ( z ，) 畔) ，均存在如下形式的分解： p ( x ，y ) = q ( x ，y ) r ( x ，y ) 其中，当n k 时r ( x ，) 峻k ；i i i i 当n 时，r ( 。，) ；0 崔利宏在文献 1 给出了如下结论： 定义2 5 弱g r 抽n e r 基) 假设a k z 1 ，岛】，i = 1 ，m ，d e g p l = 2 。且，= 如果对于每一个多项式p ，n 衅，我们总能找到多 项式o q k x l ，z 。】0 = 1 ，m ) ，使得 成立，并且d e g q i n f 0 = 1 ，m ) 则我们称多项式集合扫1 ，p 。) 是关 于，一 的弱g r 曲n e r 基 定理2 5 假设一个k 次无重复分量代数曲线q ( x ，) = 0 和一个2 次代数 曲线p ( z ，y ) = o 恰相交= = t k 个相异点c = ( q 磐l ，而 p ，订是关于理想，= 的弱g r 6 b n e r 基，嚣搿( q ) ( n k 一2 ) 且b a c = o 贝我们有 8 u c ：f ( g ) 定理2 6 假设一个k 次无重复分量代数曲线g ( z ，y ) = o 和一个f 次代数 曲线p ( z ，y ) = o 恰相交于f 个相异点c = q ) 丝l ，而妇，g 是关于理想j = 的弱g r 曲n e r 基，b 露1 ( g ) ( n k 一2 ) 且8 n e = g 贝q 我们有 8 u c 艘f ( q ) 定理2 7 ( c a y l e y - b a c h a r a c h 定理) 设m ，n 和r 均为自然数，3 r m i n m ，n ) + 2 m 次代数曲线p ( x ，y ) = o 与n 次代数曲线q ( x ，y ) = o 恰相交 于m n 个相异点如果，( z ，y ) 蟛l 。一，且曲线，( z ，y ) = o 通过这m 扎个交点中 的m t 一；( r 一1 ) ( r 一2 ) 个点，则它必定通过余下的；( r 一1 ) ( r 一2 ) 个点，除 非这 ( r 1 ) ( r 一2 ) 个点位于一条r 一3 次代数曲线上 定理2 8 令 o ：p 璺= p 翌= p 翌一，表示零多项式所构成的空间， 并认为它们所对应的插值适定结点组为空集设m 和n 均为自然数，m 凡，口为整 数且满足仃1 一m 又设m 次代数曲线p ( z ，9 ) = 0 与n 次代数曲线q ( 置y ) = 0 恰相 交于m n 个相异点a = q 詈，而b 且为空间p 2 的插值适定结点组则有： ( 1 ) 若c 1 是沿曲线p ( z ，y ) = o 的m + 口一3 次插值适定结点组，且c 1 n a = d ， 则c l u ( a 8 ) 必定构成沿曲线p ( z ，y ) = 0 的m + n + 口一3 次插值适定结点组： ( 2 ) 若c 2 是沿曲线q ( z ，y ) = o 的n + 口一3 次插值适定结点组，且岛f l a = 0 ， 则c 2 u ( 4 b ) 必定构成沿曲线q ( x ，y ) = o 的m + n + 盯一3 次插值适定结点组 1 0 p 口 m | i p 关于多元插值和插值空间维数问题的研究 在此定理叙述中，当m + 口一3 o 时，我们认为空集( 且只有空集) 是沿 给定代数曲线的m + 口一3 次插值适定结点组 2 2多元切触插值的基本概念和方法 多元多项式插值中最有意义的就是多元多项式切触插值，它是利用给定的 插值泛函组( 就是给定插值结点的同时再指定在若干个插值结点处的方向导数 的方向一也就是给定一个微分算子) 和一个多元函数，要求构造出一个多元多 项式函数来近似地表示这个多元函数，而在结点处这两个函数取得相同的函数 及方向导数值进行多元切触插值时一个首先必须解决的基本问题就是切触插值 多项式函数的存在唯一性问题，也就是本文所重点研究的多元切触插值的适定 性问题由于这个问题直接关系到有用切触插值多项式格式的构造，因此，有关 这一方面问题的研究在多元插值理论中有着十分重要的地位和作用，并且是近 年来个十分活跃的研究主题 定义2 6给定一个实数集 硝r i 吼a ，i = 0 ，1 ，t ( 4 ) 去寻找一个多项式p p ，使得 d u ( q | f ) p = 硝，2 【a ，i = 0 ，1 ，t( 5 ) 满足( 5 ) 式的多项式p 被称之为切触插值多项式，而集合e = d q ( q ) l2 【 a ，i = 0 ，1 ，计被称之为关于p 的一个切触插值泛函组 用9 t = q o ，q l ，q ) 表示插值结点组，并且鼠= d q ( q ) 疆a ) 表示在 结点q 处的插值泛函组 定义2 7如果存在唯一一个多项式p 嘴满足( 5 ) ，则称切触插值问 题( 4 ) ( 5 ) 为适定切触插值问题( 也有些文献称这种情形为唯一可解切触插值问题 或称该切触插值问题是正则的) ，并且称e 是关于嘴的一个切触插值适定泛函 组( 或称e 是关于蛸适定的( 唯一可解的或正则的) 针对p 中的切触插值问题加以讨论我们发现，r 2 中的切触插值问题与沿 平面代数曲线上的切触插值问题是密切相关的下面就首先给出沿平面代数曲 线切触插值问题的提法： 设为正整数，r 为非负整数，( 七) ：一r k ) k fk ：11 + 1 z 如。，c m ，；( 凡；2 ) 一( n 一p 之1 。+ 2 ) 关于多元插值和插值空问维数问题的研究 i ；( n + 1 ) + 2 ) ，n ( p + 1 ) 砬 l ；( p + 1 ) k ( 2 n + 3 一( 卢- i - 1 ) ) ，礼( p + o k 设q ( z ，y ) = o 为平面上一条k 次无重复分量代数曲线，珲，。 g ( ) 】代表定义 于女次平面代数曲线q ( z ，y ) = 0 上且与该曲线上任意一点有直到p 阶( 法) 方向导 矢的全次数扎的二元实多项式空间，则 出m ( 峨，。【g ( 砷】) = ( ”；2 ) 一( n 一p ”。+ 2 ) 设艿= q ：叶li = 1 ，c n r ( ) ；r = 0 ，订为该曲面上的一个切触插值泛函 组，对于每一个任意给定的数组 矗叶ii = 1 ，e n r ( ) ；r = 0 ，p ) ，寻找一 个多项式p ( z ，) 蟛) ，使之满足如下切触插值条件： 岳p ( ) = 江l ， r ( ) ；r = o ，p ( 6 ) 其中岳p ( 萌) 表示p z ，y ) 在曲线q ( x ，们= 0 上泛函组舀中点q i u 一1 ，e n r ( ) ) 处沿该曲线的r 阶法向导数， 定义2 8 如果对于每一个任意给定的数组 一fi = 1 ，e n ，( ) r ； 0 ，p ，方程组( 6 ) 总存在一组解，则称日= q 纠i = 0 ，e n r ( 自) ；r = 0 ，m 为沿k 次代数曲线q ( x ，y ) = 0 的一个n 次r 阶切触插值适定泛函组， 并简记为b 硝? ( 口) ( 这里? ( q ) 代表位于曲线q ( z ，y ) = o 上的所有n 次r 阶切触 插值适定泛函组的集合) 定义中只要求沿代数曲线的切触插值多项勘( z ，y ) 蟛存在( “方程 组f 6 ) 总存在一组解”) 并未要求唯一，这恰好体现了沿代数曲线的切触插值 这种特殊插值形式的特点事实上，如果p ( x ，y ) 舻是满足给定切触插值条 件( 6 ) 式的多项式，则易验证p ( z ，y ) + c q ( x ，y ) p + 1 p 2 缸+ 1 ) ，c 为任意 常数 且仍然满足给定的切触插值条件 参考文献f 2 1