（应用数学专业论文）求解单调非线性方程组的谱尺度拟牛顿法.pdf

求解单调1 f 线性方程组的谱尺度拟牛顿法 摘要 拟牛顿法是求解无约束优化问题和非线性方程组的一类非常有效的方法，该方 法具有收敛速度快，数值效果好等优点然而，众所周知，拟牛顿法产生的矩阵是 稠密的，而且当其被用来求解大规模问题时，拟牛顿矩阵通常趋于病态针对此缺 陷，本文采用谱尺度技术改善拟牛顿方程，缩小矩阵的条件数，有效阻止拟牛顿矩 阵趋于病态在此基础上，再结合已有的拟牛顿法修正技术及有限记忆存储技术， 提出了求解单调非线性方程组的四个有效的谱尺度b f g s 算法，然后在较弱的条件， 证明了所提出算法的全局收敛性而且理论分析表明，采用了谱尺度技术的b f g s 算法有效地缩小了拟牛顿矩阵的条件数 在第二章，本文利用超平面投影思想及修正b f g s 算法，提出了求解单调非线 性方程组的谱尺度修正b f g s 算法，并给出了算法的全局收敛性分析，然后将其与 修正的b f g s 算法进行了数值比较在第三章，本文结合保守的b f g s 修正技术， 提出了求解单调非线性方程组的谱尺度保守b f g s 算法，并给出了全局收敛性结果 和数值比较在第四章，为求解大规模非线性方程组，本文结合有限记忆存储技 术和谱尺度技术，提出了两个带有限记忆的谱尺度b f g s 算法，并给出了它们的全 局收敛性分析与数值比较数值结果表明，这两个算法能有效地求解较大规模的 非线性方程组 关键词：单调非线性方程组；b f g s 法；m b f g s 法；c b f g s 法；l - b f g s 法；谱尺度 法 i i 湖南人学硕l j 学位论文 a b s t r a c t t h eq u a s i n e w t o nm e t h o di so n eo ft h em o s te f f i c i e n tm e t h o df o rs o l v i n g u n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n dn o n l i n e a re q u a t i o n sb e c a u s ei ti so f f a v o r a b l en u m e r i c a le x p e r i e n c er e s u l t sa n df a s tt h e o r e t i c a lc o n v e r g e n c e h o - w e v e r ，i ti sw e l l - k n o w nt h a tt h em a t r i c e sp r o d u c e db yt h eq u a s i n e w t o nm e t h o d a r ed e n s ea n dt e n dt oi l l - c o n d i t i o nw h e nt h em e t h o di su s e dt os o l v el a r g e - s c a l e p r o b l e m s t oo v e r c o m et h i sd r a w b a c k ，t h i st h e s i se m p l o y st h es p e c t r a l - s c a l i n g s t r a t e g yt or e d u c et h ec o n d i t i o nn u m b e r sa n dt op r e v e n tt h eq u a s i - n e w t o n m a t r i c e sf r o mi l l c o n d i t i o n b a s e do nt h ea b o v ec o n s i d e r a t i o n ，b ye m p l o y i n g t h eq u a s i - n e w t o nu p d a t ea n dt h el i m i t e dm e m o r yt e c h n i q u e ，t h et h e s i sp r o p o s e s f o u rp r a c t i c a ls p e c t r a l - s c a l i n gb f g sa l g o r i t h m sa n de s t a b l i s h e st h e i rg l o b a l c o n v e r g e n c er e s u l t su n d e rm i l dc o n d i t i o n s m o r e o v e r ，t h e t h e o r e t i c a la n a l y s i s s h o w st h a tt h eb f g sa l g o r i t h m su s i n gs p e c t r a l s c a l i n gt e c h n i q u ec a l lp r a c t i c a l l y r e d u c et h ec o n d i t i o n - n u m b e r so ft h eq u a s i - n e w t o nm a t r i c e s i nc h a p t e r2 ，b yc o m b i n i n gt h ep r o j e c t e di d e ao fs u p e rp l a n ea n dm o d i f y i n g b f g sa l g o r i t h m ，t h i st h e s i sp r o p o s e sas p e c t r a l - s c a l i n gm o d i f y i n gb f g s a l g o r i t h mf o rs o l v i n gm o n o t o n en o n l i n e a re q u a t i o n sa n d e s t a b l i s h e st h eg l o b a l c o n v e r g e n c ef o rt h ep r o p o s e da l g o r i t h m a n ds o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r e r e p o r t e df o rc o m p a r i n gt h ep e r f o r m a n c eo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h mw i t ht h e m b f g sa l g o r i t h m i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h ec a u t i o u sb f g su p d a t i n g t e c h n i q u e ，t h i st h e s i sp r o p o s e sas p e c t r a l - s c a l i n gc a u t i o u sb f g sa l g o r i t h m ， a n dt h e no b t a i n st h eg l o b a lc o n v e r g e n c er e s u l t sa n dr e p o r t ss o m en u m e r i c a l e x p e r i m e n t s i nc h a p t e r4 ，t os o l v el a r g e s c a l e n o n l i n e a re q u a t i o n s ，t h i s t h e s i sp r o p o s e st w os p e c t r a l s c a l i n gb f g sa l g o r i t h m sw i t hl i m i t e dm e m o r y s t r a t e g yf o rm o n o t o n en o n l i n e a re q u a t i o n sb ye m p l o y i n gt h es p e c t r a l - s c a l i n g t e c h n i q u ea n dt h el i m i t e dm e m o r yt e c h n i q u e ，a n dt h e ne s t a b l i s h e st h e i rg l o b a l c o n v e r g e n c ea n dr e p o r t ss o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h en u m e r i c a lr e s u l t s s h o wt h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h m sc a ne f f e c t i v e l ys o l v el a r g e s c a l en o n l i n e a r e q u a t i o n s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rm o n o t o n ee q u a t i o n s ；b f g sm e t h o d ；m b f g sm e t h o d ； c b f g sm e t h o d ；l b f g sm e t h o d ；s p e c t r a l s c a l i n gm e t h o d i i i 湖南人学硕j ：学位论文 r ： r “： 厂( x ) ： g ( x ) ，v f ( x ) ： g ( x ) ，v 2 ( x ) ： x ： x k ： r “”： a 一1 ： v ： 了： m i n ( x ，y ) ： m a x ( x ，y ) ： l i l ： ： 符号表 实数空间， 力维实数向量空间， 目标函数， 目标函数厂( x ) 的梯度向量， 目标函数厂( x ) 的矩阵， 所考虑问题的解， 解x 的第k 次近似， 玎疗阶矩阵的集合， 矩阵4 的逆矩阵， 任意的， 存在， x ，y 中取最小的数， x ，y 中取最大的数， r ”中的欧几里德范数， 无穷和 v 湖南大学硕士学位论文 第1 章绪论 拟牛顿法是求解无约束优化问题和非线性方程组的一类很有效的方法由于 它既具有较快的收敛速度，又在实际计算中具有良好的数值效果，因而很受最优 化工作者和计算数学家的青睐本文将主要研究求解单调非线性方程组的谱尺度 的拟牛顿法，着重探讨这类方法的全局收敛性及其数值表现在下面的几节中， 将简单介绍拟牛顿法的背景及其收敛性理论 1 1 求解无约束优化问题的拟牛顿法 设f ：r ”一r 连续可微，考虑如下无约束优化问题： m i n f ( x ) ，v x r ” ( 1 1 ) 求解问题( 1 1 ) 最常用的方法为迭代法，其基本思想是：给定一个初始点r ”， 按照某种规则产生一个点列 以) ，使得当点列 “) 为有限点列时，最后一个迭代 点为问题的解；或当 ) 为无穷点列时，存在它的极限点为问题( 1 1 ) 的解一 般来说点列 h 由下列迭代公式产生： + l = 以+ 口i d k 其中t t l 。为步长因子，它由某种线性搜索确定；d 。为第k 次搜索方向，由算法按 某种准则确定确定的不同方法以及确定噍的不同方式构成求解无约束优化 问题( 1 1 ) 的不同算法 1 1 1 线性搜索 下面介绍线性搜索，常用的线性搜索可分为单调线性搜索和非单调线性搜索 两大类所谓单调的线性搜索是指在每次迭代中都能使得函数值递减，即对所有 的七0 ，都有f ( x ) f ( x 。) 而非单调搜索则不要求f ( x ) f ( x 。) 现在， 先了解一些常用的线性搜索： ( 1 ) 精确线性搜索：要求吼满足： f ( x i + 口t d k ) = r a i n f ( x 七十口巩) ( 1 2 ) ( 2 ) w o l f e 线性搜索：要求吼满足下列w o l f e 条件： ( 石i + a 女d t ) ( x i ) + 寡口i g ：d ( 1 3 ) 【g ( x + 吼d i ) 。巩t r g ：d i 其中万和盯是满足0 万 盯 1 的常数上式中第一个不等式可使函数厂在h + 。处 的函数值比在点x 。处的函数值有一定的下降，第二个不等式可防止步长过小 - 1 - 求解单调非线性方程组的谱尺度拟牛顿法 ( 3 ) 强w o i f e 线性搜索：要求吼满足下列不等式组： jm l + a k d t ) ，m i ) + 磐g ：以 ( 1 4 ) ug ( x k + 吼以) 1 巩i 仃ig ：d il 其中6 和盯是满足0 万 0 ， b 。) 正定的充要条件是并s k 0 证明由y k 及靠的定义可知：乱= q y ；：等箜0 ，所以性质成立 i i y t0 性质2 假设在算法1 1 中采用精确线性搜索确定步长吼，则由算法产生的方 向会关于h e s s i a n 矩阵g 相互共轭，即 b i n s j = 7 j y j = 7 j g s j ， s i g s = 0 ， j i ，i = 0 ，1 ，刀- 1 j 0 ， 使得当x 缸r ”：l x x i 毋时，有 g ( z ) 一g ( x + ) 8 工0 x x 8 性质5 若假设条件a 成立，点列 ) 由采用w o l f e 线性搜索( 1 3 ) 的算法 1 1 产生，则点列 ) 收敛于问题的解x ，且存在常数，【0 ，1 ) ，使得对所有的 k 0 都有： 似) 川工) l l l l d 。0 2 ( 2 4 ) 证明由( 2 3 ) 得，( k ) r d k = 一衫吼以，而 f ( x i + p ”d i ) r d i = ( f ( x i + p ”d t ) 一f ( x ) ) r d i + f ( x i ) r d i 由f 的l i p s c h i t z 连续性，可得： f ( x i + p ”a r k ) r d k l p ”0 以1 1 2 一t 色以 由于b k 是对称正定矩阵，因而可设其n 个特征值分别为? ： 0 ，进一 步由f 的有界性，可知当p 0 充分小时，就有下式成立： f ( x k + p m d 。) r d k 0 ，0 ，b o = i ， 占 0 ，令七：= 0 步2 由( 2 3 ) 解得巩，若d 。= 0 ，则算法终止 步3 由( 2 4 ) 确定步长因子吼，令& = 以+ 吼d t ，若0 f ( 乙) 0 = 0 ，则停 步4 由( 2 2 ) 计算迭代点以 步5 由下列公式确定反卅： = 反一警+ 装 眨5 ， 其中 s k2z t x k 令七：= 七+ 1 ， 吒= 凳，y i = f ( z ) 一f ( 以) + h l l f ( ) h y ；y k 注记 ( 1 ) 在第2 步中d k = 0 时，由( 2 3 ) 推得f ( x 。) = 0 ，这意味着& 为方程组的 解，所以可以终止算法 ( 2 ) 公式( 2 5 ) 与文献 2 3 j 中的迭代公式有所区别，主要体现在允的定义由 于“满足关系式靠i g 0 。，因而此算法可使其迭代矩阵的条件数比相应拟牛 顿法的条件数小很多 ( 3 ) 由公式( 2 5 ) 确定的矩阵反满足关系式t r ( b 川) 0 ，使得 iif ( x ) - f ( y ) i l i ix y l i ，vx ，y r ” ( 2 6 ) 1 4 湖南大学硕仁学位论文 ( 2 ) 单调非线性方程组( 2 1 ) 的解集为非空集 为了证明算法的全局收敛性，先介绍如下两个有用的引理 引理2 2 给定玩对称正定， 反) 由迭代公式( 2 5 ) 确定，若存在正常数 m m ，使得，对所有的k 0 ，九和& 都满足关系式： 熟狐鲢m ( 2 7 ) 娶坍，掣 ( 2 7 ) 恢i l y i 则存在正常数届，厩，屈，p 4 ，使得，对任意的k 0 ，至少有f k 1 2 个指标 f 1 ，2 ，七) ，使得下列关系式成立： p , i i s 。i l 0 骂_ 0 织忙i l ，历忙i | 2 s f e s ，屈忙 ( 2 8 ) 证明由文献 1 0 1 中的定理2 1 知，其结论与y 。，的定义无关，因此可用 算法2 1 中的九去代替 1 0 中的y 。，即可得出要证的结论证毕 又由步5 的定义知& = 乙- - x k = 吼吨，所以若将( 2 8 ) 中的换为以， 关系式仍然成立再结合( 2 3 ) 可推得，对任意满足( 2 8 ) 的指标i ，都有： 钏d ，h if ( x ，) i l 0 ，令： x + = x 一帮i f y ) i i f ( y ) i 2 7 则对任意的满足，( i ) = 0 的点i r ”，都有下式成立： 。 i i x + 一i 1 2 - i i x 一孑1 1 2 - i i x + 一x0 2 ( 2 1 0 ) 这个引理的具体证明可参见文献 2 5 3 ，在这里不再重复现由此引理，可推 出下面的估计 定理2 4 设假设条件b 成立，点列 砟) 由算法2 1 产生，则 ( 1 ) 对任何满足关系式f ( i ) = 0 的点i ，都有： i l x 。+ 。一i0 2 - 0 ( 2 1 1 ) 设i 为满足f ( z ) = 0 的任意点，则由( 2 2 ) ，( 2 1 1 ) 及引理2 3 ，有下式成立： i i x 。+ 。一i i i2 - 0 ，0 茹，使得对所有的七0 ，都有 占 - c r p 机- 1 f ( 瓢+ p 挑一以) i i | i 矾8 2 ( 2 1 7 ) 由于点列 也 t u 是有界的，结合( 2 9 ) 与( 2 1 5 ) 可知点列 以 。“一定有界不 失一般性，不妨假设( 稚，矾) 矧哼( j ，二) ( 必要时可再取j 的子序列) ，令k 专0 0 ， k j ，在( 2 1 7 ) 两边取极限，可得到： 一f ( x ) 7 矾0 另一方面，由( 2 3 ) 可得： - f ( x i ) r d j = 彰b , d t 由( 2 8 ) 得： 一f ( x t ) r d t - 4 1 1d i 2 o ， vk j 又由第2 步知，若d 。= 0 ，则算法终止，所以在这里以0 ，即： - f ( x k ) 7 以屈9 以2 o 显然矛盾，所以有： l i m i n f l f ( x , ) 1 1 = o 再由f 的连续性与点列 屯) 的有界性，可知点列 以) 一定存在某个聚点曼使 得f ( 曼) = 0 这样点主满足引理2 3 的条件，因此可推得点曼满足( 2 1 2 ) 从而点 列 j | h 一曼9 ) 单调递减且有下界，所以点列 0 一i8 ) 收敛，进一步推得点列 屯) 收 敛到曼证毕 2 4 数值结果 本节，我们对本章提出的谱尺度m b f g s 法( 简称s s m b f g s 法) 进行数值试验，并 将此方法与文献 2 3 中的求解单调非线性方程组的b f g s 法( 简称b f g s 法) 进行数 值比较，其测试问题如下： 问题1 f 由下面的式子定义： - 1 7 求解单调非线性方程组的谱尺度拟牛顿法 f ( x ) = 么x + g ( x ) 其中g ( x ) = ( p 而一1 ，e x 2 1 ，e h 一1 ) r 及 a = 21 121 。一l l2 问题2 f 由下面的表达式定义：e o ) = z 。， e ( x ) = x f s i n ( x ，一1 ) ，i = 2 ，以 问题3 f 由下面的式子定义：互( x ) = 2 x l x 2 + ( e 而一c o s x l ) ， e ( x ) = 一x f l + 2 x j x f + l + ( e 而一c o s x i ) ， i = 2 ，以- 1 及c ( x ) = 一x 。一l + 3 矗+ ( p 而一c o s x 。) 对于上述三个问题，我们采用m a t l a b 编写程序，在带有1 8 0 g h z 的c p u 处理器， l - o o g b 内存的个人电脑上实现算法中的参数设置如下：对s s m b f g s 法与b f g s 法， 都令参数盯= 1 0 ，h = 1 0 _ 4 ，= 0 1 ，f = 1 0 一，b o = i 求解问题l 和问题3 时，令这两 种方法中的参数p = 0 6 ，求解问题2 时，令这两种方法中的参数p = 0 3 表2 1 、表2 2 、表2 3 分别列出这两种方法关于问题l 、问题2 、问题3 的 数值结果其中初始点为而= ( o 1 ，o 1 ) r ，x 2 = ( 1 ，1 ，1 ) r ，屯= ( 1 ，1 n ) r ， x 4 = ( 一1 0 ，一1 0 ) 7 ，x 5 = ( 一0 1 ，0 1 ) r ，x 6 = ( 一1 ，一1 ) r 在钡0 试问题3 时，去掉了相应的初始点x 。，其它初始点不变表中我们用“n 表示示问题的维 数，用“i n i t 表示初始点，用“i t e r 表示总的迭代次数，用“t i m e 表示c p u 运行时间( 以秒为单位) ，用“t o t a l 表示相应数的总数 由表2 1 、表2 2 、表2 3 可以看出，对于和这三个问题，采用s s m b f g s 方法 和b f g s 法都可以成功的求解但是无论是迭代次数还是c p u 运行时间，s s m b f g s 方法都可与b f g s 法相比较，并具有一定的优势 - 1 8 湖南大学硕上学位论文 表2 1s s m b f g s 法与b f g s 法关于问题1 的数值结果 一1 9 求解单调非线性方程组的谱尺度拟牛顿法 表2 2s s m b f g s 法与b f g s 法关于问题2 的数值结果 2 0 湖南大学硕士学位论文 表2 3s s m b f g s 法与b f g s 法关于问题3 的数值结果 - 2 l 一 求解单调非线性方程组的谱尺度拟牛顿法 第3 章求解单调非线性方程组 的谱尺度c b f g s 法 在第二章中我们在求解单调非线性方程组的b f g s 法基础上，结合谱尺度思 想采用超平面投影技术与适定的线性搜索，建立了求解单调非线性方程组的谱 尺度m b f g s 法及其收敛性理论，由数值实验表明此算法具有良好的数值效果本 章将在第二章的基础上，对算法进行进一步修正提出求解单调非线性方程组的 谱尺度c b f g s 法，并在不需要假设f ( x ) 可微的条件下证明算法的全局收敛性此 算法的优点是其迭代矩阵条件数比相应的b f g s 法条件数要小很多下面具体介绍 此算法及其全局收敛性理论我们将在3 1 节中给出算法的具体步骤及其良好的 性质分析；在3 2 节中，在不要求f ( x ) 可微的条件下证明算法的全局收敛性：在 3 3 节中通过数值试验，将此算法与相应的b f g s 法及g u a s s n e w t o n 型b f g s 法相 比较结果表明，此算法具有一定的优势 3 1 算法 本章将在第二章的基础上，将算法进行进一步修正，即将第五步中的 y k = f ( z i ) 一f ( x k ) + h i i f ( x i ) 1 1 7 修正为y k = f ( z i ) - f ( x i ) ，并将迭代公式修正 为保守b f g s 法中的迭代公式得到下面的谱尺度c b f g s 算法 算法3 1 ( 谱尺度c b f g s 算法) 步1 给定初始点r ”，常数p ( 0 ，1 ) ，盯( 0 ，1 ) ，万 0 ，z 0 ，给定初始 矩阵b 。= i ，精度占 0 ，令七：= 0 步2 由( 2 3 ) 解得d 。，若d k = 0 ，则算法终止 步3 由( 2 4 ) 确定步长因子吼，令缸= x k + d k ，若0 f ( z 。) 0 = 0 ，则停 步4 由( 2 2 ) 计算迭代点孔卅 步5 由下列公式确定最卅： 一反一警鹾朋a t 啦酬m 。) i i i i 汀i i ( 3 。) i b i ， 否则 其中 s t 。z k x k y k2 气y k 令k ：= k + 1 ，转步2 y i = f ( z i ) 一f ( x ) 注记 ( 1 ) 由公式( 3 1 ) 的定义可以看出，此公式是求解无约束优化问题的c b f g s 法 2 2 - 亟以 湖南人学硕士学位论文 与谱尺度b f g s 方法中公式的结合而且，只要f ( x 。) 0 ，就有 0 ，因此， 对所有的k 0 ，都有 反) 正定 ( 2 ) 由于采用了谱尺度方法，因而可使其迭代矩阵的条件数比相应拟牛顿法的条 件数小很多 ( 3 ) 由公式( 3 1 ) 确定的矩阵鼠满足关系式t r ( b 。+ 。) t r ( b 。) + k ，这意味着算 法3 1 可以使得吃+ 的最大特征值严格小于t r ( 蜀) + 七，从而可以有效的纠正过 大的特征值 ( 4 ) 本算法的线性搜索与文献 2 3 中的类似，由第二章中的引理2 1 可知这种 线性搜索是适定的 3 2 全局收敛性 本节我们给出算法3 1 的全局收敛性定理这里仍然需要用到第二章中的假设 条件b 与引理2 3 ，以及下面将要介绍的两个有用的引理 首先，由第二章中的引理2 3 可推出下面的估计式 引理3 1 设假设条件b 成立，点列 h 由算法3 1 产生，则： ( 1 ) 对任何满足关系式f ( i ) = 0 的点孑，都有 慨r i l l 2 - 是无穷点列时，则有： 炊恢+ i - 以i i - o ( 3 2 ) 此引理的证明与定理2 4 类似，为不失完整性，可对此引理证明如下 证明首先，若算法在第k 次迭代时终止，则必有l i r ( z 。) 0 = 0 或者d k = 0 而 当以= 0 时，由矩阵b 的正定性，一定有f ( x 。) = 0 ，这样就意味着点或者点气 是方程组( 2 1 ) 的解 其次，若点列 磁) 是无穷点列，则对所有的k 0 ，都有f ( x 。) ob d k 0 ， 由( 2 4 ) 式得： f ( z k ) r ( 矗- - z k ) = 一口。f ( 乙) r d 。盯0f ( z 。) i i 口：id , 1 1 2 o ( 3 3 ) 设i 为满足，( 夏) = 0 的任意点，则由( 2 2 ) ，( 3 3 ) 知i 满足引理2 3 的条件， 从而有下式成立： + ，一剐2 - l lx k i82 - i ix , + 。- x kjl 2 ( 3 4 ) 由上式可得知，点列 i 一i9 ) 单调递减而且有下界，所以点列 0 一i i i 收敛由 此可推出，点列 砩) 是有界的 2 3 - 求解译调非线十牛方程组的谱尺度拟牛顿法 痤i m 。u k t x ki i = o 证毕 引理3 2 设假设1 3 成立，点列 由算法3 1 产生，若存在正常数 届，孱，尾，尻，使得有无数多个指标k 满足下列关系式： 屈8 j l j l 色1 1 - 厦l ls 七i i ,屈l 2sj ；晚- 0 ，使得对所有的k 0 ，都有： 占- l lg ( x ) l l - o 再由( 3 8 ) 式可得： 。塾卵= 0 i e 足i 啪“ 后面部分的证明与定理2 5 后面部分的证明类似，在这里不再重复 现在，由前面的引理，我们可得出算法3 1 的全局收敛性定理如下 定理3 3 设假设b 成立，点列 k ) 由算法3 1 产生，贝, 1 l i m i n f i if ( x 。) 1 1 = o 证明由引理3 2 知，只需证明引理3 2 的前提条件成立便可即证明存在正 常数届，历，屈，反，使得有无数多个指标k 满足( 3 5 ) 式 为了方便，可定义集合露= f ：m t 墨万i ir ( x ) 1 1 i is ，02 ) ，则公式( 3 1 ) 可改 写为： 所敛收 h 为因 k x hk 得 塞由式 又下 有以 湖南大学硕l ：学位论文 一b 一糍+ 羟心足 【色 ， 七萑k 现在我们分两种情况来分析： ( 1 ) 若露为有限集，则说明经过有限次的迭代后，以将保持不变而由取的 正定性知，当k 充分大时，总存在正常数局，尾，屈，屈，使得( 3 5 ) 成立即 有无数多个指标七，使得( 3 5 ) 成立 ( 2 ) 若i 为无限集，则由y i ，靠的定义及( 3 9 ) 推得，当七趸时，有： 瑟p 掣学：。 y k y k 黾 由上面的不等式可知，当k 蟊时满足引理2 2 的条件这样将引理2 2 应 用到矩阵序列 b k ) 。f 可得，对任意的k i ，存在正常数届，殷，屈，风，使得 至少有陬2 个指标f l ，七 满足( 3 5 ) 式因为露为无限集，所以说明有 无数多个指标七，使得( 3 5 ) 成立 综合上述两种情况可知，一定存在正常数届，及，红，a ，使得有无数多个指 标七满足( 3 5 ) 式因而由引理3 2 可得： l i m i n f 11f ( x 。) 6 = 0 证毕 3 3 数值结果 在本节中，我们对本章提出的谱尺度c b f g s 法( 简称s s c b f g s 法) 进行数值试验 并将此方法与第二章的谱尺度m b f g s 法及文献 1 4 3 中的g u a s s - n e w t o n 型b f g s 法( 简 称g n b f g s 法) 进行数值比较，其中用到测试问题仍然为第二章中的三个问题 对于上述三个问题，我们采用m a t l a b 编写程序，在带有1 8 0 g h z 的c p u 处理器， 1 o o g b 内存的个人电脑上实现在s s c b f g s 法与s s m b f g s 法中的参数设置如下 p = 0 2 ，仃= 1 0 ，万= 0 5 ，= 1 0 - 6 ，g = 1 0 _ 5 ，鼠= j ，在g n b f g s 法中相应参数设置 为p = o 1 ，仃= 1 0 ，万= 0 5 ，= 1 0 - 6 ，= 1 0 5 ，b o = ， 由于s s c b f g s 法与s s m b f g s 法的数值效果相当，所以没有用表列出其数值比 2 5 旷一 h 一 制 万一d 叫 亟蚶 求解单调1 f 线性方程纽的谱尺度拟牛顿法 较，只用表3 1 、3 2 、3 3 列出了s s c b f g s 法与g n b f g s 法关于问题1 、2 、3 的数 值结果其初始点设置为而= ( o 1 ，0 1 ) r ，x 2 = ( 1 ，1 ，1 ) 丁，毛= ( 1 ，i n ) 7 ， x 4 = (