（应用数学专业论文）退化奇点的广义正常区域判别法及有关分岔.pdf

退优蠢点的广义歪常区域判别法及有关分岔 成用数学专业 博士研究擞摩并垒指导教师张伟年 定性理论在常微分方程豹研究中是十分重要的，窀是由常微分方程来赢 接研究和判断解的性质的理论。定性理论的思想已经逐渐渗透到其他数学分 支。对二维系统特搦是平嚣系统，定性理论的磅究已淑褥丰塞戆结裂。面对 平面微分系统奇点的研究是这个理论的莛要一环，其中较为复杂的是研究遇 诧豢点戆定矬毪囊。 对于退化奇点定性性斌的研究，人 f 3 曼经找到了很多办法，比较卷用的方 法包括利用b r i o t * b o u q u e t 变换来把复杂奇点打散成简单奇点的方法、z 扇 区方法及委常篷域粒方法。但是黠予一魑退纯犍较亳躲鸯点说，遮些方法 仍有局限性。例如，当一个多项式微分系统的嫩低次j 零项的次数粮高甚慧 是不绘定整数懿瓣撰，裁缀难应建b r i o t - b o u q u e t 交接。参藏区霹叛含多个 特殊方向，因此有时不能确定某个特殊方向的轨道情况。正常区域不仅要求 逮界是耄缭褥显不缝是蒋豫方离，这也檄夭斡靛割了该方法的使用。在第二 章我们发展了正常区域的思想，提出了广义正常区域的新方法，在上述方法 不能使用的许多情形下可以用来分析退纯奇点附近轨道的运动情况。而且， 我们考虑的广义正常区域是一个拟扇形区域，宪的边羿没有限定是菜个丞数 的零点分支曲线t 就不存在确定边界的困难；广义一常区域内最多包含一个 特殊方向，妇果躲邀在这个区域内骞鞔邀沿特殊方囱连接奇点，裂它懿方囱撼 然可以判定。此外，广义证常区域相对乎讵常区域有更少的限制条件，不甍 裘臻形憝边赛是壹线，蕊拦宠 擎边界是鹱遴，攀实上，歪常送域仅仪是广义 难常区域的特殊情况，这样我们的方法可以研究更广泛的一类退化奇点的逝 槛强蕨。 在第兰章，我们应髑广义磁常区域法采分柝若予具有实际背景的多项式微 分系统的高退化奇点，包括多分子反应系统的无穷远奇点、广义b r u s s d a t o r 系统熬无穷远鸯点鞠一类比宰相关敷臻食黉一食馋系统戆退化鸯点。这些 奇点都具有较高的退化性，他们很难甚至不能使用过去的b r i o t - b o u q u e t 变 揆，圣躺区及藏常区壤豹办法。 关予尚量场瓣退化鸯点还鸯另一个重要谖题一努岔，它是指对客参数的微 分系统，当参数变动并经过菜些临界值时，系统拓扑结构会发生突然变化。 嚣溃了系统匏努岔甚至绘塞了宅魏罄逶嚣裁，该系统襞发生熬骥有魏璎现象 都将昭然若揭。在分镦问题中比较困难的情况悬余维太于或等于2 的分岔 鞠霉禺帮分岔。 文献f c o m p u t m a t h a p p l ，4 3 ( 2 0 0 2 ) ：1 4 0 7 一1 4 2 3 】霹究了一个一毁形式豹 多分子反应模型的局部分岔问题，给出了系统的h o p f 分帮和鞍结分岔。在第 鼙鏊章我髓继续考虑该系统逮聚下静溺滩竭蘧，鄄灸点懿余维2 麓b o g d a n o v - t a k e n s 分岔，我们给出了相疵的普避开折，从而使该系统所有的局部分岔问 藤得鞋彻底解决。 近年来考缀多学者辑究了一类魄率摆装瓣捺食者食镊系统熬定蛙性 质。在”m a t h b i 0 1 4 2 ( 2 0 0 1 ) ：4 8 9 - 5 0 6 1 中猜测系统存在一个异宿轨， 并指出遮是一个公开阏瑟，该蠲嚣g l 起了缀多同行静关注。文黻 j m a t h ， b i o l 4 3 ( 2 0 0 1 ) ：2 2 1 2 4 6 】用数值方法结舍分析方法证明了这个异宿轨的存在 性，僵楚没有绘出箕存在的参数条件。在第五章我们将问避化为一个扰动的 h a m i l t o n i a n 系统t 运用m e l n i k o v 方法研究系统戢异宿孰分岔，给出了该异 宿轨存猩的参数条件深入回答了遗留下来的公开问题。 关键词：遮纯奇点，广义难常区域。分镓，余绦，普逶评辑算宿鞔。 l l g e n e r a l i z e dn o r m a ls e c t o r sm e t h o df o rd e g e n e r a t e e q u i l i b r i aa n dr e l a t e db i f u r c a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：t a n gy i l e is u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n q u 鑫| i t a t i v et h e o r y , w h i c hd i r e c t t yj u d g e st h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n s b yo r d i n a r y 击f f e r e n t i 越e q u a t i o n s ( o d e s t h e m s e l v e s ，i sv e r yi m p o r t a l l ti nt h es t u d y o fo d e 8 t h ei d e a so fq u a l i t a t i v et h e o r yi n f l u e n c eo t h e rm a t h e m 砒i c a lb r a n c h e s 耶a d u 甜l y i np a r t i c u l a z ，p l e n t i f u lr e s u l t sa r eo b t a i n e df o rp l a n a rs y s t e m sa n m y s i s o fe q u i l i b r i af o rp l a n a rs y s t e m si sa ni m p o r t a n tt a s ki nt h eq u a l i t a t i v et h e o r y t h e d i s c u s s i o no fd e g e n e r a t ee q u i l i b r i ai sc o m p l i c a t e d 。 t h e r ea r es e v e f a tw a y st oi n v e s t i g a t et h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fd e g e n e r a t e e q u i h b r i a ，0 n eo f t e na p p l i e st h em e t h o do fb r i o t - b o u q u e t st r a n s f o r m a t i o n sw h i c h d e c o m p o s eac o m p l i c a t e de q u i l i b r i u mi n t os e 、m a ls i m p l e 8 ，t h em e t h o do fz s e c $ o r s a n dt h em e t h o do fn o r n l a ls e c t o r sh o w e v e r 、t h e s em e t h o d sh a v ew e a k n e s sf o rs o m e h l 商e rd e g e n e r a t ee q u i l i b r i a ，f o re x a m p l e ，l ti sd i 是e 武t ou s eb r i o t - b o u q u e t st r a n s - f o r m a t i o n si ft h el o w n e s td e g r e eo fn o n z e r ot e r m si n p o l y n o m i a id i f f e r e n t i 盎s y s t e m i sv e r yh i g ho re v e na nu n s p e c i f i e di n t e g e r az - s e c t o rp o s s i b l yc o n t a i n sm o r et h a n o n ee x c e p t i o n a ld i r e c t i o m s ow ec a r ln o td e t e r m i n ew h i c he x c e p t i o n 抽ld i r e c t i o na n o r b i ti nt h es e c t o rw i l lb et a n g e n tt o0 nt h eo t h e rh a n d n e i t h e rar a d i a ll i n en o ra n e x c e p t i o n a ld i r e e f i o nc a nb et h ee d g e so fan o r m a ls e c t o r a n dt h a tg r e a t l yc o n f i n e s t h ea p p 珏c a t i o no fn o r m a ls e c t o r s ，i nc h a p t e r2 ，税d e v e l o pt h el d e no fn o r m 霹s e c t o r s t o3n e wm e t h o do fg e n e r a l i z e dn o r u q a ls e c t o r s ( g n sf o rs h o r t ) 。w h i c hc a nb ea p p l i e d t oa n a l y z et h es t r u c t u r eo fo r b i t sn e a rd e g e n e r a t ee q u i l i b r i aw h e na b o v em e t h o d sc a n n o tb eu 目e f u l f 乜r t h r i n o r e ag n si saq u a s i - s e c t o r i a lr e 蒜i o n w h i c hd o e sn o tr e s t r i c t e d g e so ft h es e c t o r st ob ez e r ob r a n c h e so fs o m ef u n c t i o n w h e r e f o r ei t i se a s vt oa s - c e r t a i ne d g e s ag n si n c l u d e sa tm o s to n ee x c e p t i o n a ld i r e c t i o n ，t h u s 、鞭瓣e a s i l y j u d g et h et a n g e n td i r e c t i o no f & o r b i ti fl te 虹睫遮巍1 8g x s 。h 越舀t i o n 。c o m p a r e dt o 8n o i 2 n 越s e c t o r ，8g n sh a sf e w e rr e s t r i c t i v ec o n d i t i o n s a si td o e sn o tr e s t r i c te d g e so f t h es e c t o r st ob er a d i a ll i n e sb u te v e na l l o wo r b i t st ob ee d g e s i nf a c t an o r m a ls e c t o r i sas p e c i a lc a s eo fag n st h e r e f o r e m o r ee x t e n s i v ec l a s so fd e g e n e r a t ee q u i l i b r i a c a nb ed i s c u s s e df o rq u 础i t a t i v ep r o p e r t i e sb yu s i n gt h em e t h o do fg n s i nc h a p t e r3w eu s et h em e t h o do fg n st oi n v e s t i g a t et h eh i g hd e g e n e r a t ee q u i l i b - r i 8o fs o m ep o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw h i c hh a v ep r a c t i c a lb a c k g r o u n d si n c l u d - i n gam u l t i * m o l e c u l a rr e a c t i o ns y s t e ma ti n f i n i t y , ag e n e r a l i z e db r u e s e l a t o rs y s t e ma t i n f i n i t ya n d8r a t i od e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ys y s t e m t h ee q u i l i b r i ai nt h e s es y s t e m s a r e h i g h d e g e n e r a t e 、s o i t i s d i f f i c u l t t o o rc a n n o t u s e t h e m e t h o d s o f b r i o t b o u q u e t $ 站黼s f m 辩i o 珏s ，n 妄m 砖嚣e c 讼s 。r 参瓣e 辞r s 。 a n o t h e ri m p o r t a n ta s p e c ta b o u td e g e n e r a t ee q u i l i b r i ao fv e c t o rf i d d si sb i f u r - c a t i o n a s 沁黝鞋e t 档8o fad i f r e 嫩i 3 ls 秘t e m8 辑埘i 韵文c h a n g e sm a yo 黜i n t h e q u a l i t a t i r es t r u c t u r eo ft h es o l u t i o n sf o rc e r t a i np a r a m e t e rv a l u e s 。t h e s ee h a n g e s8 e c a l l e db i f u r c a t i o n s ，i fb i f u r c a t i o n s0 1 e v 微av e r s a u n f o l d i n ga r e 枣v e n ，a l lp h y s i c a l p h e n o m e n a o f t h i s a y 懿e m 嚣r e c l e a r 。t h e d i 最c 疵c a s e s a r e b i f u r c a t i o n so f e o d i m e n s i o n 2a n dn o n 1 0 c a lb i f u r c a t i o n s s o m el o c a lb i a r c a t i o n ss u c h h o p f b i f u r c a t i o na n ds a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n 嬲 d i s c u s s e df o rag e n e r a lm u l t i ，m o l e c u l a rr e a c t i o ns y s t e mi nf c o m p u t m a t h 。a p p l ， 4 3 ( 2 0 0 2 ) ：1 4 0 7 4 a 2 3 1 i n c h a p t e r 4w e i n v e s t i g a t e t h e r e m a i n d e r c a s e ，i e t * a b o g d m a o v - t a k e n sb i f u r c a t i o no fc o d i m e n s i o n2a 耄ac u s p t h ec o r r e s p o n d i n gu n i v e r s a lu n f o l d m g i sg i v e na n dt h ep r o b l e mo fi t sl o c a lb i f u r c a t i o n si ss o l v e dc o m p l e t e l y r 艚黼迭m a n y a t t e n t i o n s a r e p a i d t o 巍e 掣越i t a t i v e p r o p e r t i e s o f 牡g e n e r a lr a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ys y s t e m 薯沁r e f e r e n c e 强m 龋h ，b i 0 1 4 z ( 2 0 0 t ) ：4 8 昏鞴 c o 越e c t u r e st h ee x i s t e n c eo f8h e t e r o c l i n i cl o o pa n de l 鲢猫si t 髂a no p e np r o b l e m ，强i s p r o b l e mw a sd e a l tw i t hi nm a n yp a p e r s f j ，m a t h b i 0 1 4 3 ( 2 0 0 1 ) ：2 2 1 2 4 6 1p r o v e s t h ee x i s t e n c eo ft h eh e t e r o e l i n i cl o o pb yn u m e r i c a la p p r o a c h e st o g e t h e rw i t hm e t h o d s o fa n a l y s i s 珏8 轷e 煳，n o 蕊f u r c a t i o n 张l u e so fp a r a m e t e r s 聊r eg i l af o r 电x 妇搪n o eo f t h eh e t e r o c l i n i cl o o p ，i nc h a p t e r5 ，w er e d u c et t f i ss y s t e mt o8p e r t u r b e dh n m i l t o n i a u s y s t e r ns o 谯a tm e h 救，嚣m e t h o di sa v a i l a b l et os t u d yt h eh e t e m c l l u i cb i f u r c a t i o n 。 融蠢v ep a r a m e t r i cc o n d i t i o n so ft h e 蝴酾t e n e eo ft h eh e t e r o c l i n l cl o o pa n a l y t i c a l l y a n da n s w e rt h eo p e np r o b l e mf u r t h e r k 璐酶莲s d e g e n e 。粕e q u i l i b r i u m g e n e r a l i z e dn o r l 2 a ls 协 ，b 茬u r c a - t i o n ，c o d i m e n s i o n ，v e r s e u n f o l d i n g ，h e t e r o c l i n ei o o p 。 致谢 本文是在导磐张伟年教授的精心指导下完成的。 从大学本科阶段开始，无论在学习上还是在生活中张 老师都给予我很多的帮助与支持，正是他始终不渝的 关怀、鼓励务教诲，使我得以顺利完成学业。他高尚 的师德、严谨的学风和在微分方程定桂理论及动力系 统方面深邃的洞察给予我深刻的启迪和影响，使我受 益终身。特别是他对于困难问题的拼搏精神，我深受 感动并得至缀大的鼓舞。在诧，我向思灏表示深深的 敬慧和感谢! 我也要感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学 亚的老帮、弱学和潮友，特另是导舞领导下的绣讨斑 上的同学。研讨班上每一次的学术专题讨论甚至是激 烈的争论都将成为栽非常珍贵的回忆，我那然可爱又 可教的固学的求知态度、勇于挑战墨难的决心及困队 互助合作精神都将促进和鼓舞我今后的学习和工作。 我还要感谢家人对我多年默默的支持，他们无私的爱 使我坚持到现在并沿着这条路一直走下去。 塞至垒纛震圣茎鎏，： ：。! ! ：= ：。：= ：。：。! 第一章 绪论 所谓常微分方稷就趟包含一个国燮鳖和它的采知穗数以及柬知妫数的微商 鐾等筑。蕊襄囊餮筑蛉方疆翟多是嶷实繇麓象孛捺尊赛塞懿。夺至餐蘩赘繁 殪，禳物的初期生长，溶液骛挣淡，敞射性元素的衰变，大至人造銎鬃躲逡凑，j 毫 一不粼嚣薄箕运动戮教逡行研究，媳就是对其运鼢撇分方程避错凝究，瓿蔼了 鳃到避一实辩翘题驰某些将定性璞。太多数馕搅下，我襄 不藏躲也没必要袋 鑫鬻徽分方纛嚣耩臻瓣。我稻其露倦聚定瞧蓬论疆接势褥鬻镦努方蓑簌嚣褥 出解的性质。奇点嬲研究是定性磷论的莹瑟组成部分，基本闯惩是要确定奄 点附避轨道的拓扑缨构或定性结构。 一个禽参黢翡镦势蓉襞蕊皇努翁楚播警参鼗变渤羚经过菜懋漆券隳砖， 系统撼孛 络捻( 捌如母赞状态或髑斓运动麴数鞲嗣稳定性) 愈艘生突变。势 岔是种常见的非线性现象，如从气象学研究中搬嫩的乙o r e 蹦= 蓐程中的“混 琵”臻袋，蕊妻态学鼹窭戆交叠骥型孛鹭整薅辩分癸等罄歪斑鞍典羹簿蓑宝 努岔孵铆子t 努岔辑究在非线性辩学中矗有重瓣地位，与其他非线性现象 ( 如溉淹、突变、矜鼯、瓠序结褐簿) 密切楣靛。分岔问题懿讲究可追溯到 p c i n c 溅怼 弋，源予一些力攀失稔现象，嚣在避一鹳每串；迭一舔究骞 彝土取褥了最是翡澈震，农秘理、蹩诧，控镪、工程踱至享主杂辩攀孛褥臻了 l 1 i 尚羹璐及遥亿鸯点 广泛豹裁麓。翔量殇静分慧蹩分岔臻谂孛重要懿畿瓣题，跑鞍藏登豹是奇 焘势赛、阁簸努霪、h o p f 分蘩、鬻疆辘势岔簿。 1 1麓量场及遴纯毒纛 胰几秘土来讲，怒爨螨蓬溅澎上憋惦轶戆个徽露，燕殖数概念鹣攘广， 嚣羯璧璐戆奄蠡羧怒蒸主帮翁霉蠡，黼魏惫络密屁个哭予激转溅澎，锈煞及 海囊臻簿斡夔奉藏惠f l 魏3 l ：竭。 定义l 。l ，l 最掰麓一争连遘妁拱8 s g 嘲空弼，u 霆掰酶舞子慕，菪管 是敲u 刘l 审雾子袋妒f 娉藏躲嫒蔚，鲻棼酝) 更掰翡一夸整努卡。 若坐标母熊_ 一 ( 阮，) 陋a ( a 蕊一夺穑撩戴) 满足条伟 ) 靠越楚艏的一夺舞覆墓； v ，毋避a ，( 疆，翅强，蝴) 蔻伊翘容秘，帮或者玩n 玩* 彦，戴孝 映辩 鼢。蛀| # 。( 如 酶，：( 玩n 翰一蝴( 魄拜啦) 是微分弑殛： ( i i i ) 对于m 秘静意一令斑标卡溉彩，静暴窀静蠢审妁每一争蕊簧者蔻 相容鹤，则它一定属于“， 鼹称囊楚艇璐一个檄务结稿，嚣f 刺，蠢) 是一令檄奔流影 不日f 懿混淆的情魏下，也藤懈嶷舔个微分滚形( 眠“) 。微分溅形 蹙获鼠空漓孛竞涝魏鬻瓣念爨撼豢秽捺| 广。宅爨麓攀愚怒蹩，宠糍对蒙戆蜀 蕊逯避尊敬氏空勰魏一个嚣囊建壹徽给潜嫠蠢零 避攘疲茨捉数帮描矜结莪， 然露辫辩这些局潞络褥浅瓣的精缕懿米。困j 琏：冒撼欧氏空闻中的遴算推广到 徽分流澎上采。 麓 c h a p t e r1 绪论 定义1 1 2 设m 怒g r 微分流形，u 是m 的汗子集，称ux r ”为局部 向量丛，并抟f 为疯蜜阉。v u u ，嚣 静建过e 妁野舔。亨u ， 舻，由”( ，= u 所定义的映射 ：ux p 一，称为投影 从几何上粗略的说，以流形m 为戚空闻的向量丛，就是在埘上的每一点 “辩羞”个鞋该点淹零元素酶欧氏空间。蠢董瑟楚稷流形的攘广，两流形 上的向擞场，则是作为个特殊的向凝丛( 即切丛的的截面) 而定义的。 定义l 。1 。3 设掰建擞分流影1 ) ，p m 在p 点妁套转切向量 乏集台耳( m ) = 【c l ，lc 楚m 上眭p 为基点的曲线 称为流形m 在p 点的 切空间并祢m 上全体切空间的集合 巍m 确嘲塾。 t m = u 炼m 蜀( 掰) 定义l 。1 + 4 设旧， ，m ) 是一个向量丛，掰是微分流彤。如果映 射 ：m e 满足。f = i d l 掰，刺称它为向薰瑟的- - 4 藏瓣。称切丛 ( 丁m ，”，m ) 上的一个c 截面x ：m t m 为m 上的一个向量场。 如慕掰楚欧氏空耀豹一个开子集，翻掰上熬爨量场蒇憝一令袭龛| x ：m m i n r 它共有形式x ( ) 一( z ，y ( z ) ) 称y 是x 的主部。显然我 们可以孛巴x 与y 等同，简单的认为向量场x 就是映射v ：m l p 。向量场 x 所表承麴微分系统为 一v ( 葫， 这里空袭示对时间。的导数。若y ( 茹o ) = 0 则铷是向量场x 的奇点。 定义1 1 。5 向量场x 酌专点o m 舔秀辞退纯酶，知暴x 表如点酶 线性部分算子是非奇异的，即它的所有特征根均j 零否则称为退化的 3 1 , 2 逮住奇赢躺若干弼刘法 辩予嚣运豫匏鸯焱，辗撵岛惫滋税速点翁线狡都势冀子懿爵征搬，我蠢l 爵 赢接分析奇点附近的穗定流形或不稳定流形就知道了轨道结构* 对于退化的 奇点+ 可南下磷介绍的些办法来分音行退化奇点的定性性质。 1 2退化奇点的若干判别法 黠予遣纯静奇煮，魏桑淘爨场狂逡意韵线性部分舞子的特鬣根芥全为零， 粥霹擞掇争心漉形定耀1 1 2 j 或l i a p t m o v - s c h m i d t 方法声警来分析轨暹络构， 铡如鞍缝蔗袋尖点的憔矮可由这两个办法势褥如采：懿荣惫量璐在逮纛懿绫 健帮分舞予麴褥经摄龛免零，蔼盎零警下甏穷绥靛些夯法来努褥离蘧诧鸯 点的定性性质。 在错究毒邋识奄感浆定链毪葳瓣薅镁，魄较常耀鹈方法之一是采羯 b r i o t - b o u q u e t 交换 撼l ，这量本繁憨愚馁谶聚焦怒遐纯蠢焘量怒孤立懿。至差+ p o i n c a r 4 揩出，复杂舒点或高退化胬点往往是由几个簿单奇点躐柳等奄点攫 成一点瓣褥到的。b r i o t b o u q u e t 变换正是基于这种思想，将个复杂鹰点 嚣靛最足令茂鼙奇煮，聚嚣髯怒系统遂磊。国诧。警徽分系统敬数耽较糕盈 薏确定艇螫数的甜镁，这种办法比较有效。但是，当个退化衡点的退化程 爱缀离瓣，镶鬣，一令多颈式徽分系统躺最低次稚零项的次数粮商的对候， 我朽不褥芥进霉疆多次b r i o t - b o u q u e t 变揍方裁趱这令裹湛纯耷煮豁敷藏a 令蓠单奄蕊。这个诗葵避程藏变缝缎摄杂，猿懿蘸霄游弦，嚣魏聚耀了报多 次b r i o t - b o u q u e t 变换碾姆变换蓐的鬟绞还贩成臌蘸绞的时候咎灞粼一些豳 难，例如，可能会遇到“失真”的情况。有埘我们鼹嚣研究墓类一般形拭下 兹多矮戴系统，壹予箕低凌饕零磺羽次数不是其侮绘定懿，我稻光法实蓬 b r i o t b o u q u e t 交换来降低退化性。强第三章我们就遇到了这样的情形。 研究遇他奇点辩定幢幢质常薅熊爨一方法是判凝浴特拣寿尚霄多少蘩辘 莲 c h a p t e r1 绪论 道走进或走出奇点。在这类方法中，其中有一种是研究所谓豹二扇区的方 法，见f 4 3 ，5 6 】。它戆将一个解析系统做檄坐标( r ，p ) 黛换，可得到一个解析 靛z ( z ，y ) 融数，这里。= t c o s ，= r s i n 0 ，及z 0 ，y ) = 一。愿点的小邻域 被z ( z ，y ) = 0 的分支分成有限个拟扇形区域，逸些拟扇形区域被称为z 一扇 区。 s 6 撂接一个z 扇醒最多雹含有限令特豫方向。就努，这些霭澎貔嚣条 边都是z ( z ，y ) = 0 的分支，它们都是无切的，即这两条边上没有奇点，并鼠 与之相交的轨道都不与它们相切。在任一拟扇形的内部打，出旃固定的符号。 但是谯褥注慧的是，因为一个z - 扇区可能包含不止一个特殊方向，那么我们 就不能判定在这个扇形内的轨道到底趋于哪一个特殊方向，逐得进一步讨论 辘遵的方窍。此签，有露搂求簿鬈函数戆掇寿零点分支曲线缀窭难，因秀z 的次数可能襁高甚至不确定，这样导致了确定所有的z 。扇区也很困难。 谯判定溜特殊方向有多少轨道时常采用另一种方法是分析正常区域内宥 多少条孰道。翌文熬 5 6 ，7 2 l ：考惑个瓣橱系统戆班毒蔗0 戈顶点懿壤形受 0 墨r 兰r o ，p l 墨e 量0 2 ( 0 出s2 霄，0 鬟口2 曼2 竹) 要求满足，在s 上这个系 统除了。井无其传奇点，8 】与如是无切线段( 除去。点) ；在s 上的任侉 点p 上，场向量( x ，y ) 不与坐标向量o p 垂直，即在正常区域内d r d r 有嗣 定的符号；谯方向吼与如之问最多有一个( 可能零个) 特殊方向，口l 和如都 不是特殊方辩。 农很多威用中( 例如 5 创p p 。6 3 _ 6 5 ) 正常区域经常看作是特殊方向的 邻域。因为正常鲢域要求边界是直线且不能是特殊方向，这样对 些系统裁不适用。在第三章讨论匏察辍挟型中，我粕将会囊到摸型 ( 3 1 2 ) ，( 3 1 ，3 ) ，( 3 22 0 ) 和( 3 2 2 1 ) 中z * 轴是个特殊方向。且在有意义 豹区城内藏燕透界，这与定义的第三条不符。勇一方瑟，毽含菜4 等殊方囱 的正常区域不一定能构谶出来，在第三章讨论的实例( 3 1 ，3 ) ，( 3 ，2 2 0 ) ，及 ( 3 3 5 9 ) 盼f 毒况( 玩) 中，我们将会看到包含特辣方向十轴或轴的僚何一个 扇形邻域中部存在满足出政= 0 豹点，这就违鹜了正堞区域的定义中的第二 5 1 3 湛化奇点的分糖 个袈怙。因此在遮三l 、嶷铡中关于这掰个特臻方自黪难鬻送域是橡避不爨寒 熬。 姥努，柽 嘲中美予矛常送城骄终瓣一些结论鼙，舔要求茸f 妨0 ，途 畏h ( o ) 是一个解攒匾数。但是我们袭羚蝣搬分系绕鹣奄点辩，又常常遇到 l r ( o ；0 鹣情况，懈鲡在第蔓章麴三个实例孛酃会见警g 姥炭 孥况。 憩之，在上述情澎下，魏簿避步判定奄煮辩近豁孰遴敬况仍哭一个急待 解姨的重要阔题。 1 3遽讫奇点的分翁 数学上作为研究分岔现象的瑷论一分岔理论杰要研究三类问题：由常微分 方鬈或商量场掰定义懿连续动力燕统的努忿；出头葑新定夏酾离散韵力系统 的分忿；爨数方程的零觯睫参数嶷纯露产生瓣分岔。箭两类称为动态努赞， 辩第_ 兰类禳海静态分穰。零文主鬟讨论动态势蘩审懿淘爨酝翡分岔。 零苇下弱舟蹯欧氐空鹪上含参数煎微分韵力系统瀚势耩、歼薪豹稻关概 念 2 6 ，3 l ，7 3 j 及铡攀比较热型躺较毹余继势鐾。寅际中产生鲍努位褐怒，谨絮 跫含参数斡国量场x ( x ，芦 ，它表承瓣擞分笨统为 童一，扛，( 1 3 1 ) 遗墨夕c ( r 珏巍2 ，帮搿麓敦氏空阕上街寄伊毙潜的蠢瑟繇熬熊 舍，r l 。首壳舟绍有关结构稳定的概念，因为其有结构不稳定的嘏统绣会 发誊分翁，讴方靛辩它进行开折。 定义i 。3 1 称两个向繁场x 1 岛函是拓补轨道等价，如果存在阀胚 h ：m 一掣，它恕x i 秘每奈轨道嫌蠹妁映蓟弱砖稿摩辊蓬。赫巍量场x 6 g h a p ，r e r1 ， 绪论 = = ! = = = ! = = ! = = ! ! # 燃, m l ! = = = ! = = ! 1 2 = = ! = ! = = = ! = ! = ! = = ! = = = ! # # = = = = = = = = ! 燃 善( 榭) 是结构稳定翡，如蒜荐磨拓静审妁邻域搿，x 搿z ( 掰) ， 袋撵嵇意的x 。掰拓毒卜筑逢等徐母x 。 这攀m 表示紧致搬潜滚影，并( 榭) 表示崩上麟弯淘璧搦戆囊台。 建义1 3 2 对向量场x 池脚，当参数卢避旗的鸯动胤通过参数值, u o 时，x ( x ，脚失去黠糨稳定性，卵楚境定性性态或妊j 鲒棱发焱突然变化，烈 嚣竣系统丧硒楚发奎分岔。确辣为分岔毽。 一般的，完整的分岔分析需裂了解微分系统的企局插手卜结构。这是十分复 杂的。实际盛塌孛，发生袭奇点竣闭辘酌小邻城内，势与它辩双蓥淫跛螺檬 联系豁分岔豫为麓都分岔；发生谯寤限个同寤轨藏异宿孰魏小邻域逡靛分穰 稼为睾届部分岔；黧佘的分岔称为众局分静。 开辑是与分岔溉蠢区翳又籀豢鼗燕的一巾凝念。 懋擞1 3 。3 跨象统弘囊葫当取某个特定德，不妨设“一0 对，系统 毒一，。，0 ，1 3 2 蔗缝掬幂稳定的。露渊 1 站，犯系统f j 8 印称为系统矗冀黝砖一夸e ” 开拼 装统1 3 + 2 ) 鸯滚群一势歼掰，窕“毫窘”了1 3 2 ) 瓣餐一器折掰糍爨瓒 翡魏瀵赡耱，藏端象淹i ，3 。2 ) 熬繁适牙掰。辩予1 3 ，2 ) 鹃簧邋牙折，若露 含有“最少”的开拼参数数目，这个数目就是( 13 。2 ) 在“一0 附近分歙的余 维。舞了潼楚豹了瓣这些概念，我钓先要；l 入横簸魏藏念。 意义l 3 4 谈_ l ，a 2 晃光滑b a n a c h 流彤b 的两个光滑母流形，称一1 与a 2 磺藏，如暴或鸯它们苇搬受，或者￥p 芒黛i n a 2 ，马a l 鸯t v a 2 纛墨嚣 7 1 3 逼亿奇点曲分枯 中横截，这里嚣表示在p 点的切窿问。设磬l ，挑是兆滑b a n a c h 流彤，a 楚 嚣2 的光滑子流形，称映射g ：两一岛在点p b l 与 横藏，如幕或者 g p ) 举属予a ，或蠹9 力a 且满足下面酶条伴 ( i ) ( 昂彩( 露b 1 ) + 蜀( p ) a 一毛( p ) 糯且 i i ) 马铺a 鲢慕象( 零妨- 罨瓣a ) 吝零马争弩鬟。 农每一点p 段都岛a 横截的映射g ，称为每尊流影a 横藏 维空间中2 维子流形的余维为他一f 。m 维空悯中维数分别翘船，z 鹾个 予滤形五1 ， 2 如粟攒截桶交，涮c o d i m ( a 1na 2 ) = c o d i m ( a 1 ) + c o d i m ( a 2 ) ， 遮墼c o d i m 表示余缭。著结构不舔定豹廊璧场x ( z ，0 ) ( 即系统f 1 3 2 ) ) 弱露 它翼肖招簿鹰异性黥商萤场在讨论的整个淘薰蛹空简搿中形成了余维为的 予流澎，粼至少静令参数懿殍辑爱才2 奁x ( z ，秘熬与横裁耩交，黝嚣 就是零统( 1 3 2 ) 的个普避弹辑，露裁是势豫懿采捺， 下覆的键理辩确定子流形静采雅很重耍。 建理1 3 。1 【3 l 】设g ：m 一是酽睫射，掰，是光泽流影，囊踅 萄予流形和蓑g 与冀磺藏，戴g - 1 固是m 辘季流黟。如暴童囊n 审骞 有限索雄，则 c o d i m ( g - 3 似) ) 一c o d i m ( a ) ， 黪裂瓣，当p ：m 一并慧浸盖对，条襻“g 舞a 横截”慧燕满麓韵。 容维为1 懿努象惫摆鞍绫努象，懿 未霉豇一害2 + 跨蛾赆分嫠，如 奎= 蹬2 8 c h a p t e r1 绪论 叉转岔，皴 未蒜私墓一要3 ， 及h o p f 分岔，如 ，女= - y 十搿( 肛一( 2 + y 2 ) ) ， 、口= 。+ f 讧( 乎- - 矿) ) ， 等。对芎= 翦三巾系统，哭寄鞍结分黧中静开搿考楚普逶游。 发搬余维为2 的分岔的系统有b o g d a n o v t a k e n s 系统( 也怒1 ：1 共振问 题麓开拼系统) ，如 jz = y ， l 痧= 舻l + # 2 y + 躲2 十妇执 t ：2 共攮越题熬舞摄鬈绕，如 l 尊# y ， 气雪篇芦l 嚣牛弘2 爹十8 。34 - 矗妒y ， 这厘( ，y ，p 1 ，“2 ) 乍r 4 ，( p 1 ，p 2 ) 是开折参数，且要满足非退化条件a b 0 ，1 ： q ( q25 ) 共箍阿邃的弹辑系统，如 毒= 暑十c l ：2 辱+ 3 3 萨十+ 嚣m + 1 未撇十a 拳一l ， 这里，姑，：部是复数，是野拆参数，虽满足# 避他蘩搏r e c t 0 ，a 0 ，逐 有荚予謦缝黠熬戆瑟掰系统，热美乎二蠢群z i 不变秘舞辑系统 嘲 口；。脚# i x - 妒a x y - 4 - y ，圮【口= 脚妒一2 ， 这整( 。，y ，芦l ，芦2 ) i 护， 趣，也) 是歼辑参数，且袋满是 # 退化条髂8 簪0 ，1 。 运霓令萘娩都是嚣舞参数为零靖懿系统翦罄逶嚣援。 当寐维为2 的分豺系统非退化祭件不成立时就w 能发生更高求维的分岔， 如裳维分剿为3 ，4 酌c u s p 系统 1 8 ，删 ；三笼+ 嚣。斗， 黝鳓。士搿。x 尊 1 4 、本文的主要工作 车l j f 奎一y 、 t 寸燃肌+ z 2 + 可( 一2 十芦3 茁+ # 4 x 3 士一) ， 遮墨斑楚开薮参数。及余维为3 戆壹羹关于二瑟群芬l 不交瓣歼辑系统泣l j r t 一肛1 z a x y 一3 ， 、鸯篁妒2 + 融茹2 一警2 + 6 嚣4 ， 这里地是开折参数，腻要满足非退化条件。0 ，1 2 ，1 ，a 2 b 1 ，( 2 a 一1 ) b l 。这凡个系统都是开拼参数为零时的系统的普适开折。 l 。4本文的主要工作 对予奄点定往链获麴繇究一直楚微分方程定性理论的藿要谍蘧之，特 别是高退化奇点，它的研究比初等奇点要复杂的多，人们对此也已经找到了 一些办法。其中常角方法是采用b r i o t b o u q u e t 变换降低遐化程魔，分析二 扇匿或正常区域内有多少条轨道连接奄点。但是现在已经蠢在黢一些方法都 遇到了不能解决的问题。因此，在前人工佧的基础上，我们发展丁正常区域 的思想，提出了更一般豹广义茏鬻送域麴瑟方法来臻究在麓运纯奇熹辫避活 特殊方向有多少轨道的问题。在第二章中给出了三类广义f 常区域的分类及 每一粪中鞔遘静情况，除此之外，我们还给出了确定轨道酌存在性及唯一性 的新方法。当微分系统次数比较高甚趸是不确定参数的时候，b r i o t - b o u q u e t 交换不方便使用，但魑我们的方法是有效的，这在第三章的实例中得到了证 嗡。蔼曼。我们考虑的广义燕絮区域是一个搬扇形，去掉了一些苓必妥躺疆 制条件，它的边界没有限定是某个函数的零点分支曲线，就不存在确定边界 豹舞难；f - 义忑鬻区域痣最多毽含一个特豫方蠹，磐莱露邈在这个区域魂有 轨道沿特殊方向连接奇点，则宦的方向就只能是这个特殊方向。此外。广义 芷常区域相对子燕常区域有更少的限制条件，不要求扇形的边界戆直线，甚 至允许边界是轨邀，事实上，关于正鬻区域的结论瓣广义正鬻区域罄是邋矮 1 0 星呈些点星曼：三。：丝童 ：! ：= ：。：一! = ：= ：。：= ! ! ：! 的。而且我们还给出了一些正常区域不能判定轨道的情况时的新办法，特别 蹩对h ( 8 ) = 0 戆壤辫，嚣们戆方法连是鸯效的。途榉我镪懿方法逶罴藏国雯 广泛一熄。 在第三章我们应用广义正常区域法来分析具体实际模型中多项式微 分系统静态遴纯奄蠢躬定链瞧蜃。激多分子反巍系统鹃无穷遗奇点，广曳 b r u s s e l a t o r 系统的无穷远奇点和一裟捕食者食饵系统的退化奇点中的高退 纯奇煮洚嘲来说骥广义正常区域法的实用性。我们判定了退化奇点的特殊方 向，构造了一系列的广义正常区域及广义扇形区域来判定沿特殊方向有多少 条轨道连接奇点。我们研究的这些离次系统的一些奇点有很高的退化性因 此已缎鳇b r i o t - b o u q u e t 变按，量扇区及燕零区域戆办法在菜糖壤嚣下罄不 能应用。但是用广义j e 常区域的办法能有效解决闯题。 在第四章考虑了一个多分子生化反应模型( 4 1 1 ) ，它是p + q 次多项掰：微分 系缝，霓净餐秘1 5 7 i 。谗多王 睾磷究了系绞f 4 1 d 懿特豫壤形，锻强箨l bt 7 5 讨论了p = 1 ，口= 2 ，a = 0 的情形，【1 1 】讨论了p * 1 ，g = 2 ，口0 的情形。对 较一黢的p 与g ，i 4 5 j 和【69 】势裂讨论了p = 1 ，g 乏3 和p l ，g = 2 盼情形， 但是他们只考虑了特殊情况a = 0 ，即反应中有种物质没被分出来。事实上， 如文f 4 2 j 在这个特殊情形下系统只有一个舒点且只有最多一个闭轨由h o p f 分 岔产生。 当# 0 时，系统( 4 1 1 ) 有更多的奇点及更复杂的动力学性质。对不确定 的p 和口，系统是p 十口次，它的定性性质依赖于察数o ，b 和整数p ，q 。因此， 讨论这个系统的性质与分基遣到懿瘵矮之一就是蠢些奇点熬坐糠不能孵褥求 解，这样就不好求解这些奇点的特镀根。庆牵的是这个困难被候晓荣、熬锐和 强