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摘要 l a p l a c e 方程的一个反边界值问题 专业：计算数学 学位申请人：李淑娟 导师及职称：杨宏奇副教授 摘要 通过对传导介质可测边界的电压电流测量，我们可以确定一个可导介质的 内部形状这个问题可转化为一个调和函数的反边界值问题：利用位势理论把 问题转化为求解一组非线性且不适定的积分方程对此反边界值问题，我们给 出了求解方法，利用正则化牛顿方法对这组积分方程线性化，来求解未知边界 本文利用t i k h o n o v 正则化方法和t v 正则化方法分别对内边界进行重构，给出 了其理论证明，并通过数值例子来验证该方法的可行性 关键词：反边界值问题，位势理论，t i k h o n o v 正则化，t v 正则化，牛顿迭代法 原创性声明 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：毒蒜破角 日期：1 引月j 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名喜办砣两 日期：1 引月j 同 导师签名： 扔修 日期：砂7 年名月， 第一章引言 第一章引言 1 1 本文的研究目的和意义 在无伤检测中，利用静电学或热成像方法构造的数学模型可转化为 l 印，口方程的反边界值问题原则上，在应用中可通过传导介质可测外边界信 息，来估计未知的内边界或者内部裂痕 在这篇文章中，我们考虑的反问题是在二维齐次传导介质中，确定介质内 边界的形状设d 为r 2 上的双连通区域，其边界a d = r our l 光滑，r o 为内边 界，r 。为外边界，r 0 在r 。内部，且满足：r 0 、r 。为封闭曲线，r on r 。= a ；1 ， 表示边界a d = r o u r 。上的单位外法向量；或表示以r o 为边界的有界区域；q 表示以r 。为边界的无界区域 1 给定厂日j ( r 1 ) ，考虑印，口方程的d 讹厅肋问题： f z ，= o ， z d ， 甜：o ，石r 。， ( 1 1 ) 【甜= ，x r 1 反边界值问题：给定d 州c 厅切数据厂( 传导介质中可测外边界r 上强加的电压) 和肫甜聊册刀数据g ( r j 上产生的电流，可决定内边界r o 的形状) g ：祟，x r 1 ( 1 - 2 ) g2 i ，x ll kl z ， d ， 来确定内边界r 0 的形状此反问题通过对连接在外边界r 。上的多个电极强加 电压，然后测试产生的电流，来模拟内边界r 。的静电学成像 上面的反问题有着广泛的应用，例如在 7 】， 8 】， 1 0 】， 1 5 】，【2 l 】中【2 4 】，【2 5 】， 【2 6 】中证明了解的唯一性，即由在r l 上的一对c 白”c 砂数据( ，g ) ，其中厂o ， 可以唯一确定内边界r o 在【2 6 】中介绍了多种重构方法 为求解以上反问题，首先对调和函数【厂日1 ( d ) 定义如下泛函： 第一章引言 与测量出全部边界上的g 来恢复内边界相比，不适定的程度要严重很多作为 一个大致的逼近，恢复边界初的n 个f u o r i e r 系数，其中a d 靠近一个半径为r 的圆，可以知道由a d 到g 的逆映射条件数的阶为尺- _ 1 若欠o 3 ，且= 5 ， 则条件数小于1 0 3 进一步，理论上，我们的方法可以直接应用到减少c a u c h y 数 据为r 。上的f 和r 。的一个开集兀上的数据g 此时( 1 _ 4 ) 中的源点需要修正，取定 义在r l 内部的调和函数，使得产生的结果函数在r i 斯上等于零 1 2 本文的结构框架 本文主要介绍了己知外边界的一组c a u c h y 数据，利用正则化牛顿迭代来恢 复内边界的方法后面几章内容安排如下： 第二章介绍了正则化方法的基本理论和经典的正则化方法：t i k l l o n o v 正则 化，t v 正则化以及正则化参数的选取 第三章介绍了位势理论的基本知识 第四章主要讲解了本文的数学模型，推导出反边界值问题的等价关系，接 着对积分方程参数化和线性化，最后应用t i l ( 1 l o n o v 正则化和t v 正则化分别求 出内边界的f o u r i e r 系数，恢复内边界 第五章举了几个数值试验例子，说明上述重构方法的可行性 第六章总结全文，并对下一步工作进行展望 第二章不适定问题及其正则化得解法 第二章不适定问题及其正则化解法 2 1 问题的适定性 在应用数学方法研究具体自然现象的时候，需要给出物理现象的数学描述， 即建立适当的数学模型在建立了相应的数学模型之后，首先要考虑模型的可 解性，然后才考虑问题的求解方法 根据h a d 锄莉在1 9 2 3 年提出的定义，同时满足如下三个条件的问题，称 为是适定的： ( 1 ) 问题的解的存在性； ( 2 ) 问题的解的唯一性； ( 3 ) 问题的解连续依赖于定解条件( 稳定性) 适定性的严格的数学定义如下： 定义2 1 1 设k ：x 一】r 是赋泛空间x 到y 的一个算子方程 = g 称为适定的，如果k 是一一对应的，并且逆算子k - 1 ：】，j x 是连续的否则称 为是不适定的 2 2 反问题和不适定问题 2 2 1 反问题和不适定问题简介 数学物理反问题是一个新兴的研究领域有别于传统的数学物理方程的定 解问题( 通常称为正问题，由给定的物理方程和相应的定解条件来求问题的解) ， 而反问题则由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知量，如微分方程中 的系数或是定解问题区域条件用系统的语言来讲，正问题对应给定系统在已 知条件下求输出结果的问题，这些输出结果包含了系统的某些信息而反问题 中山大学硕士论文 则是由输出结果的部分信息来反求系统的某些结构特征因为反问题在医学成 像、无羹雾羹；霎鬟篓囊翼纛蠢冀鏊塑薹囊冀羹；雾囊一蠹羹囊墓霎薹蓁雾妻 霪霎妻垂鐾冀，蓁鋈薹季篓雾薹攀霎薹鋈蓁鍪冀羹雾冀冀垂薹蓊强型雾嘉冀篓 霎雾藩囊冀鋈；塑蚕耋冀錾薹垂薹薹雾。霾冀薹雾霾黛羹篓鎏蠹雾墓霎霎篓； 鬟雾i i j 羹琴羹! 羹霎冀薹冀羹篓薹蓑蠢薹；一鋈薹鬟蘸蓁鐾墓羹本 节主要介绍第二、三阶段的分析结果。 3 1 分析模型 采用有限元软件a b a q u s 1 建立了三维空间有限元模型 ( 图4 ) 。柱脚约束视为铰接( 约束以、盯，、) ；梁柱双向铰 接；不考虑楼板开裂；铰接支撑沿强轴方向的初始缺陷按 l 10 0 0杆长考虑；汽机房屋顶部分屋架杆件较多，若对此部 分精细建模工作量大但意义不大，鉴于屋架刚度较大，建模 时将屋架简化成刚性杆，各刚性杆用屋面板联系起来，屋面 板的重量取屋架外荷载的重量；选用b 3 2 梁单元模拟梁、柱、 支撑；采用s 4 r 壳单元模拟楼板，分析时仅考虑楼板对结构 的刚度贡献。 图4 空间有限元模型 f i g 4s p a ti a lf i n i t ee l e m e n tm o d e l 采用大变形理论及双线性随动强化本构模型考虑钢支 撑、梁、柱几何及材料非线性。双线性随动本构模型中，钢材 e l - 2 0 61 旷m p a ，e 2 = 0 o l e l ，q 3 4 5 一b 材质时工= 3 4 5m p a ：q 2 3 5 一b 材质时 = 2 3 5m p a ，泊松比p = 0 3 ；混凝 土楼板厚度按实际厚度1 2 0m m 考虑，弹性模量e 。= 3 0 1 0 4m p a ，泊松比v = 0 1 5 。多遇地震分析时阻尼比取o 0 2 ；罕 遇地震分析时阻尼比取0 0 5 。 根据c b50 0 l l 一2 0 0 1 中5 1 2 的规定，参照c e c s1 6 0 ： 2 0 0 4 【8 1附录e 建议的最不利地震动，选用e lc e n 曲( 双向x 、 第二章不适定问题及其正则化得解法 信号和图像处理中的一个重要内容是从观测数据中提取信息在很多实际 问题中，只知道部分时域或者频域信号值，希望根据这些信息重构这个信号；或 者是用这些部分的信号值来表示整个信号，以达到数据压缩的目的如在光学 信号处理、谱估计和地震勘探数据处理领域就经常遇到带限信号的重构和外推 问题 用碍表示全体仃频谱有限连续信号的集合，则它是一个h i l b 嘶空间设 厂( f ) e ，根据它在区间 _ 乃丁 内的值，求出它在该区间以外的值，此过程称 为频谱有限连续信号的外推先求解卷积型积分方程 j i l 幸g = j ：r 厅( f f ) g ( f ) d f = 厂( f ) ， f 【一丁，丁】，( 2 1 ) 在上面的方程中，利用已知的厂( f ) ，f 卜丁，明求出g ( f ) 工：卜丁，刀，然后根 据下式： r 厂( f ) = i ，厅( f f ) g ( f ) d f ， f 卜，】，( 2 - 2 ) 对( f ) 作外推；其中的办( f f ) = s i i l 仃( f 一彳) 万o z ) 为该系统的脉冲响应函数 例1 3 地质勘探 地质勘探就是要通过对地球表面的某些测量数据信息来决定地球内部的地 质结构( 位置，形状，地质参数等) ，以便为寻找地质资源提供依据假设要了 解地球内部的密度分布情况，选定( x ，y ) 平面位于地面，晓轴铅垂向下的直角 坐标系仍弘，并且用g 表示位于下半空间z o 内的一个源而密度 = 夕( 参，7 ，p 分 布的物质源g 在其周围产生的引力位y = y ( x ，y ，z ) 为 y 。r ，j ：页i ：；季了尹 善专 秀号谛孝d 刀d f ， 其中誓为引力常数，而在地面z ：o 上重力场为g ：娑i ：= o 根据上式得 d z g = r 胍学砌瑶 ( 2 3 ) 其中，= o 一孝) 2 + ( y 一刁) 2 + f 2 则该问题的正问题是由已知的密度分布 中山大学硕士论文 p ( 参7 7 ，p 计算出g ；反问题则为由已知的g 来解方程求出密度分布 p ( 考，7 l ，p 例1 4 数值微分问题 微分和积分是传统意义上互逆的数学问题求一个可微函数厂( f ) 的导函数 相对求一个可积函数x ( f ) 的原函数要简单一点，但如果给定的厂( f ) 或石( f ) 是近 似值，情况就有可能相反对带有误差的函数厂( f ) 作数值微分，其数值稳定性 远远低于对误差函数x ( f ) 的数值积分许多反问题的求解往往包含着数值微分 处理过程，该过程在数值上并不稳定，故把数值积分看成是正问题，把数值微 分看成是反问题 例1 5 逆热传导问题 正问题：求甜( x ，f ) 满足 由分离变量法，得 j 甜( o ，f ) = z ，f ) = o ， la 甜a 2 甜( x ，) 一= 一 ia f 舐2 l “( x ，o ) = 甜o ( x ) ， ，0 ， o x 死 ”( x ，f ) = 吼矿4 。s 缸刀x ) ， 刀= i = 昙n 咖访地 反问题：已知当f = r 时的甜( x ，丁) ，求“( x ，0 ) 从实际应用角度来看，可以概括地说，有两种不同的目的驱动着反问题的 研究： ( 1 ) 想了解物理过程过去的状态或辨识其参数以便为预测的目的服务 ( 2 ) 想了解如何通过干预当前的状态或调整某些参数去影响或控制该系统，以 使其在未来达到人们所预期的状态 因此，我们可以这样说，反问题就是要定量地探求：在已观察到的效果( 表 第二章不适定问题及其正则化得解法 现) 的背后的动因究竟是什么? 以及对于期望达到的效果而言，应当预先施加 何种措施或控制? 设f 和u 均为度量空间，算子k ：u g 映射u 到g ，则前面所列举的反 问题都可以写成如下的第一类算子方程的形式： k “= g ，“【，g g ( 2 _ 4 ) 这样，所谓正问题就是：由已知的k 和材求g 一般来说，这样要相对容易一些 而反问题则是在已知g 和k 的情况下由方程( 1 1 ) 求甜，即己知g ( 效果、表现、 输出) ，反求甜( 原因、原像、输入) 有时甚至在仅已知g 的情况下同时求甜和 k 这样的问题在工程上称之为“综合型的反问题 当k 为线性算子时，称 其为线性反问题，否则称之为非线性反问题【3 】，【4 】 通过上面的几个反问题的例子介绍之后，我们可以对数学物理中的反问题 有一个比较形象、直观地认识接下来我们给出一个不适定问题的例子，从理论 分析和数值求解两个方面来解释不适定问题的特殊性 例1 6 有限维线性代数方程组的求解 对n 以阶实方阵彳和以维实向量“，z ，考虑线性方程组出= ”的解z 当 d e t ( 彳) 0 时，对任意的z ，r ”，该方程组存在唯一解z = 彳- 1 “r ”，并连续依赖 于右端项 如果d e “彳) = o ，那么这个方程并不是对任意的右端项“都有解，当对某个 右端项有解时，解是不唯一的因此，如果d 似4 ) = 0 ，该问题的求解就是不 适定的 这个简单的例子的重要性在于它表明了引起问题不适定的三个原因在某些 条件下的联系也就是说，解的存在性、唯一性和连续性不一定是完全独立的 对于这个例子来讲，解的适定性等价于止= 0 只有平凡解z = o 尺”也就是说， 这个例子，只要解的唯一性成立，就有解的存在和连续依赖性成立，即这个问 题适定的 例1 7 常微分方程数值解的一个不适定问题 中山大学硕士论文 f 甜弋石) = 厂( x ，甜，“，) ，工( 口，6 ) ， i “( 口) = 口，“( 6 ) = ， 求解该问题的数值方法就是“打靶方法 该方法对不同的参数j ，解初值问题 j 甜，( x ) = ( 工，“，“，) ，x ( 口，6 ) ，( 2 5 ) 【z ，( 口) = 口，甜( 6 ) = ， 及该问题的解z ，( x ，s ) 通过调整在x = 口时的初速度j ，使得x = 6 时的位移刚好 为即“( x ，j ) 满足： ，( j ) ：= “( 6 ，s ) 一= o ， ( 2 - 6 ) 时j 对应的初值问题( 2 5 ) 的解即为所求边值问题( 2 6 ) 的解当由式( 2 6 ) 求解f ( s ) 的零点时，可用牛顿法为此需求，b ) 易知f 缸) ：= v ( 6 ，s ) 可由下列 初值问题得到： ”础) = z ? “，) 1 ，( 邵) + z ，( 删，“m 蚺z ( o ，1 0 ) ，( 2 7 ) 【1 ，( 口，s ) = o ，1 ，( 口，s ) = 1 ， 其中的z ，= 材( 五s ) 对给定的s 通过求解式( 2 5 ) 得到在某些条件下，s 的小变 化将会引起式( 2 5 ) 的解甜= “( x ，j ) 得大变化，从而给该数值方法带来麻烦看 下面的边值问题： j ，( x ) = l ，+ 1 l o “， ( 2 8 ) 【“( o ) = 1 ，z ，( 1 0 ) 2 l ， 该问题的精确解是： “( x ) 2 寿 ( p 1 1 。一p 1 ) e 。1 似+ ( 1 一p 。1 ) p 1 1 。】， 对应问题( 2 5 ) 对应的解是： 出一= 等e - l o 。+ 等。， 从而有： 耶) = 等p - l + 等。_ l 可以解出f ( s ) = 。的精确解为：j = 一1 。+ 2 1 爷 一1 。在数值解中，当 第二章不适定问题及其正则化得解法 形( “) = ，l v “恸 ( 2 2 8 ) 其中v ”= ( 粤，妾) 为梯度，i ( 工，y ) i = 0 7 i 芦是欧氏范数 d ! xd 1 ， 由于有界变差函数可能出现的不可微性，为了避免这种情况，我们像文献 9 ，1 0 一样，采用新的稳定泛函，来逼近 ) 在一维的单位区间为： 即，= 舫， 2 9 ， 二维情况为： l l 广彳弋一 l 萎l “雾冀l 雾蓁鬻垂蚕妻斟2 黼； 墨鏊冀 盖羹羹鍪一垂囊薹蓁蘑；薹藩蓁蕊蕊黼型。 荔冀羹雾磊霪餮熏冀纛冀誊羹裂；霎蘸囊羹羹羹羹薹| | | 妻耋薹薹萋羹篓羹囊 囊垂羹羹! 塞i ! 翼l ；一霎羹雾攀羹；妻l f i 篓冀薹冀朝i 冀雾羹囊； 蟊v l 鹌；霪。一! 鳞| ；蒌一堇蓥| j 型莩基! 鬟；雾w 雾； 耋纛羹纛雾霎薹羹鬻蠢囊i 羹羹震蠹攀“熏：鬻i ，一；塞。薹蒌鬟瑟l i 再i 羹 ；昔i 羹 羹羹。篱”雾一 。8 。胆d “。“妇1r e 8 u h 8 当a o 2 时： 9 = 1 o( 5 a ) 当五 o 2 时： 妒：1 ，( 9 + 声2一j2 )( 5 b ) 其中庐为计算参数，声的表达式为： = 0 5 1 + o 2 1 ( ：【一o 2 ) + ：【2 ( 6 ) a = 。，。 (7 ) 。为轴压构件的弹性临界力，按下式计算： 第二章不适定问题及其正则化得解法 ( 甜) = 吉y ( ( g “) 2 + ( 彤甜) 2 ) ， ( 2 3 9 ) f 1 ，= l 这里d ，“：竺：= 生：，d y “：兰：二竺：型 4厶x 9 幽 类似一维的情形， 岳哪似+ 卯) b = 三喜芸蟛( ( 蟛坝q v ) + ( 彤坝。) ， ( 2 4 。) 这里 形= y ( ( q 甜) 2 + ( d ) 2 ) ， 丢乃( 甜+ 州k( 2 - 4 0 ) = 十 砒咨( 矿( “) ) q ，b d ， 则上面我们可得到哪( z ，) 的梯度矿哪 ) = 上，但这里的三( ) 与上面的 不同， 三( 甜) = 醒也昭( ) ) q + d ；幽昭( 矿 ) ) d ， 叫彰， 端 船 q q 。 这里皿，q 为以勺( 攻+ 1 ) ( 嘭+ 1 ) 的矩阵，是相对于q ，彤得矩阵 代 表r b + 1 m + 1 上的e u c l i d e a n 内积 与一维的类似，由式( 3 4 0 ) 得 m 肛t 彰，窿：菱2 ：，。挚嚣兰端：凳洳 有了一维和二维的t v 正则化函数的离散形式，我们就可以比较方便的运用 s t e e p e s td e s c e n tm e t h o d 、n e w t o n sm e t h o d 、l a g g e dd i f f u s i v i t yf i x e dp o i n t i t e r a t i v em e t h o d 、p c g 等方法去实现t v 正则化方法了，具体的算法，我会在 第五章的数值实验中给出 第三章位势理论和跳跃关系 第三章位势理论和跳跃关系 位势理论有长久的发展历史，它的古典理论早在1 9 世纪中叶已经形成， 它同物理有密切的联系，其名称就表明了这一点实际上，它同复变函数、 三印肠方程等都是研究电磁场的基本数学工具，从2 0 世纪以来，在测度及拓 扑的基础上形成了现代位势理论它同物理仍有密切联系，而且联系得更广泛 偏微分方程的边界值问题的求解是积分方程应用的一个重要领域，并且积 分方程理论在求解边界值问题时就得到了系统的发展，一个世纪以来，在偏微 分方程和积分方程这两个交叉领域中取得了丰硕成果本章主要介绍位势理论 的基本边界值问题，这里主要讨论二维和三维的问题 3 1 调和函数【2 4 1 血= 芸骞 j - i ， 陆h 南，聊乇 脚户匿篙r 聊：【韧i x y i 中山大学硕士论文定理3 1 3 ( g r e e n ，s theorem)设泅c1，刀是表示边界ad的单位外法线 向量，则有如下结论：g r e e n 第一公式： 扣缸+ ( 融，删) ) 出= i dz ，挚，v 甜c i ( d ) ，v c 2 ( _ ) ， g r e e n 第二公式： v v 缸) 出= l 笔一v 警涉， v“，vc2(_) 推论314设“c2(d)且为d上的调和函数，则：l d 一o 定理3 1 5 ( g r e e n ，s formula)设d满足定理313的条件，“c2(d)且为d 上的调和函数，则m ) = l d 熹( y 少一( 力哿川少) ，工d 定理3 1 6 调和函数都是解析的 定理3 1 7 ( 中值定理) 设“为开球b ( 船尺) = y r ”：i y 一工i 尺) 上的调和函数，且在闭集研x ；火 上连续，则： 咿2 杀 ( 肭2 击h 咖川y = ! 即：“在开球中心的值等于球内部的和边界上的积分平均值( 屹= 2 万，w 3 = 4 力 定理3 1 8 ( 最大最小值原理) 调和函数在区域内部不能取得最大最小值，除非它是一个常数函数t 推论3 1 9 设d 为有界区域， “为d 上的调和函数，且在西上连续，则“在边 界上取到最大最小值3 2 边界值问题：唯一性 调和函数的边界值和边界法向量称为c口“咖数据令口cr ”为c 2 类区 第三章位势理论和跳跃关系 域r = 沙为连通边界；n = r _ - ，以表示r 的单位外法向量 问题3 2 1 内部d 驴砌切问题：求函数“c 2 ( d - ) n c ( d 一) ，满足 f ”= o ， 【甜= 厂， x 口， x r 问题3 2 2 内部硎刀问题：求函数“c 2 ( n ) n c ( _ - ) ，满足 f 血= o ， x d ， 1 堕：g ， x r 陆- g x l 其中g 为r 上的连续函数且譬= g 表示 d 甩 舰( 玎( x ) ，影砌。一砌( x ) ) ) 2 g ( 工) 工r 问题3 2 3 外部d 驴砌切问题：求函数”c 2 ( d + ) n c ( _ + ) 满足 f z ，= o x 皿， t 甜：厂， x r ，。 其中为给定的连续函数且j 腕心) 裟蓉在高方向上 问题3 2 4 外部肫删绷以问题：求函数”c 2 ( 皿) n c ( _ + ) 满足 i 血= o ，x d + ， 1 塑：g ，x r 哧邓，艇l 其中g 为给定连续函数且i x 卜时有：“( 工) = d ( 1 ) 在击方向上一致成立 i 工i 定理3 2 5 内部d 讹 切问题和外部d 讹乃切问题至多只有一个解 定理3 2 6 内部肌绷硼”的解至多只相差一个常数，外部绷刀问题问题 中山大学硕士论文 3 3 表面位势 定理3 3 1 已知函数伊c ( r ) ， 密度为缈的单层位势： 甜( x ) = f 认y ) 矽( z ，少) 豳( y ) ，工灭”r 密度为缈的双层位势： m ) = f 州筹的) ，舢 定理3 3 2 ( 位势理论的跳跃关系) 设r 为俨类曲线，且缈c ( r ) ，则： ( a ) 密度为矿的单层位势“在灭”上连续，且在边界上有： “( x ) = f 认y ) 妒( x ，y ) 凼( y ) ， x i ， 且： 掣= ) 等的) - 圭州一r ， 其中至警= 舰。 ) ，础o 办刀( 功) ) ，表示在r 上一致收敛，这里积分为 奇异积分 ( b ) 密度为缈的双层位势1 ，可由皿( d - ) 延拓到_ + ( 五一) ，且有： v 地) = f 等的) 圭，耐， 其中v ( 功2 舰1 ，o 砌( x ”，这里积分为奇异积分，且有： 舰 詈( 椭删一芸( 删 ：。，石r 在r 上一致成立 定理3 3 3 设r 为俨类曲线，则存在常数三，使得下式成立： l ( 矧 ) ，x 一力l 三i x y 1 2 定理3 3 4 定义算子k k ：c i j c 第三妻蚕：篓萎篓；曩掰羹窿塞萋奏嚣j 冀囊冀喜萋霎羔妻 耋! 奏霞鬈篓；耋毒薹薹羹霎誊i 一乏雾霪。 兰 季二=蒸 i ；一；主 l 鋈j j 0 0 一 = ： 一耋至；塞 i 一蓍一! ? ；i i j j i 一= ；l ；一毛i 一蠢萎 睡l 善的配鬟萎参鍪萋妻董薹 薹i 耋j 霎薹确；星星! 妻；醛耋k l i 蛊三手；i i ；i i ；盲盲i 爹j j ii - 覃i 莲 熏蓁姜 i i 霉塞萋墓羹g ；蠢氐一丝茎萎雾奏霎妻冀委雾霎妻 蒌专叟羹霎千萋霎薹：薹耄萋霎蓁薹霉蠢羹；萋篓霎型薹匿垂| 鬟；塞较墼萋茬季专奏薹j 曩鬟至熨雾蓄霪= 霎塞薹带襄琴耋 1 耄蒌鎏：囊碡耋羹篓霉睦蠹墓茎j 萋薹l 重氢垂馨； 茎i 蓁妻冀耋一奏蚕霎荔蒌髫鐾鋈一茎薹耄羔戛震嚏 鍪i 霎壹蠹掣蓬璧霎羹蓁霪褰羹；霎彗耄薹囊鍪窆霎氢! 魏羹 中山大学硕士论文 + 2 ) 哿+ 专龇) _ 2 m ) ，x r 这里，设源点位于厦内部 定理3 4 4 外部d i r i c l d e t 问题存在唯一解 定理3 4 5 具有连续密度函数的y 的单层位势： “( z ) = 工y ( 少) 妒( z ，y 灿 ) ，x d ， 为内部n e 眦a n n 问题的一个解，如果矽为如下积分方程的解： + 2 工篙旁( 力- 2 9 ( 砷，x r 定理3 4 6 内部n e 啪觚n 问题可解当且仅当满足： 工酗= o 定理3 4 7 具有连续密度函数的y 的单层位势： 甜( x ) = 工叭少) 认x ，y 灿( y ) ， x d + ， 为外部n e u m 锄问题的一个解，如果矽为如下积分方程的解： 吣) - 2 f 吣) 瓮旁( 加- 2 9 ( n 村， 如果m = 2 ，有。 f 灿= o 定理3 4 8 在r 3 中，外部n 眦l 籼问题有唯一解；在r 2 中，外部n e 啪锄n 问 题由唯一解当且仅当满足： f 酗= 0 定理3 4 9n 哪n 锄问题和n e u m 锄问题的解连续依赖于给定数据的最大范 数。 第四章反边界值问题的求解方法 第四章反边界值问题的求解方法 4 1 l a p l a c e 方程的反问题 4 1 1 反边界值问题 在无伤检测中，利用静电学或热成像方法构造的数学模型可转化为 三印肠方程的反边界值问题原则上，在这些应用中，可以通过传导介质已知 的外边界来估计未知的内边界或者内部裂痕 我们考虑的反问题是在二维齐次传导介质中，确定介质内边界的形状设 d 为r 2 上的双连通区域，其边界a d = r our 。光滑，r 。为内边界，r 为外边界， r o 在r ，内部，且满足：r o 、r l 为封闭曲线，r onr j = f 2 j ；1 ，表示边界a d = r our l 上的单位外法向量；岛表示以r 。为边界的有界区域；d 1 表示以r 。为边界的无 界区域 给定厂日2 ( r 。) ，考虑印肠钾方程的d 咖砌砌问题： i 缸= o ， x d ， 甜= o ，石r o ， ( 4 1 ) 【”= ，x r 1 若r 。和r 。已知，解上面的正问题，可求解c a u c h y 数据： g ：要，x r 1 ( 4 2 )g2 i 一， x l i 峥z j d y 一 反边界值问题：给定d 洲如切数据厂( 传导介质中外边界r 。上强加的电压) 和 服泓，z 绷刀数据g ( r 。上产生的电流，可决定r 。内边界的形状) 求解内边界r o 的形状 上面的反问题有着广泛的应用如解得唯一性，即由r 上一对c 口“咖数 中山大学硕士论文 据( 厂，g ) ，其中厂o ，可以唯一的求出内边界r o 对于调和函数u 日1 ( d ) 定义如下泛函： g ( 啪 警刈油， ( 4 3 ) 由格林第二积分定理得： g ( u ) = t 办u 凼， ( 4 _ 4 ) 这里 厅= 祟，工r 。 ( 4 5 ) d 1 ， 如果内边界不存在，则g = o ，易得：这个泛函包含了内边界i 。的形状和位 置信息下面选取d 上的调和函数u ，使得u 的奇点全部位于d 的内部，且很 接近于边界r o ，从而得到内边界曲线的特征 4 1 2 非线性算子 为了求解上面的反边界值l 司题，必须由泛函g 推导出非线性方程首先我 们引入单层位势算子d 讹办胁方程基础解为： 舭，加去l i l 南，x y ( 4 - 6 ) 定义r 2 上d 们幽励方程基础解的单层位势算子： s ，：r ( r 。) 一r ( r 1 ) ， j = o ，1 ， ( 一 ) ( x ) 2 妒( x ，y ) 办( y ) 凼( y ) ， x l ， ( 4 _ 7 ) ( s 乃) ( z ) = ( 墨厅) ( x ) + ( 1 - 矽( x ，o ) ) l 办( y ) 凼( y ) ， 工r ， ( 4 - 8 ) 不失一般性，设源点位于r 。的内部，已知r l 上的厂和g ，定义双单层位势： 呱神= 的) 鬻_ g ( 少y 舳( 办舢2 r l ， ( 4 - 9 ) 及其修诈： 中山大学硕士论文 上面第二个方程应理解为由d 。内部逼近r 。的极限值 必要性：反之，下证若r o 和j i i 满足方程组( 4 - 1 3 ) ，则r 。为反边界值问题霪黧。 囊羹誊莩舶蓁萋塞羹萎；霎霎薹嚣冀蓁i 羹璧一! 蒌l 鬟； 蠹萋篓 萋j 蔫璺萋i i 型羹薹篓囊鋈蓁誊蠹羹妻冀羹翼蓁羹辫嚣一蓠麓， 羹“鍪鬟萋 雾囊； 摹一囊，皇i 驯g 矍二 萋纛懈蓁冀一霎。 葡一霾船鬟， 黜吲錾。 薹g 蓁一i 錾 86 一节点形式一；b _ 节点形式二；c 一节点形式三 图5 锚固钢板的变形 f i g 5d e f 抽m t i o no f8 t e e l c h 甜n gp l a t e 4 bc ”节点形式一b 一节点形式二；r 节点形式三 图6 混凝土柱与锚固钢板之间的接触应力 f ig 6c o n t a c tb t r 哪b e t w nc o n c r e t ec o l u 砌蛐d 咖e l 蚰c i l o r a g ep l a t e 3 3 植筋的受力 锚固钢板通过在混凝土构件上植入的钢筋或化学螺栓 而固定，3 种连接节点植筋( 其编号见图7 ) 的受力如表3 所 图7 植筋的编号 f ig 7n e c 撕o fb o n d e dm b a m 示。从表3 可以看出。植筋的拉力和剪力均与节点连接刚度 降段变陡，这表明，随着轴压比的增加，构件最大荷载后的承 载力衰减加快，变形能力越来越小，延性越来越差。 z 蒌5 0祭3 5 0一3 0 、j 、 03 06 一位移m 1 一r 5 0 8 ；2 l t 5 一o ，6 ：3 一r 5 一o 4 图7 轴压比对骨架曲线的影响 f i g 7e 腧tb x i 8 l 嗍p r e b 萄r a t i o0 ns k e l e t o nc u r v 髓 3 结语 1 ) 试验结果表明，钢骨一钢管混凝土柱在试件屈曲后 仍然具有很大的刚度，表现出良好的塑性，水平荷载不断上 升，直到屈曲非常严重时，荷载才开始下降，并且荷载的下降 非常缓慢。说明结构具有承载力高、延性良好等优点。 2 ) 分析钢骨一钢管混凝士柱荷载一位移滞回曲线可 得：滞回曲线具有较好的稳定性，曲线图形饱满呈梭形，没有 明显的捏缩现象出现，表现出良好的耗能能力。 3 ) 舍钢率和轴压比对钢骨一钢管混凝土柱的骨架曲线 有影响：随着含钢率的增加，骨架曲线形状变化不大，但是试 中山大学硕士论文 ( j ，纠( f ) = ( 4 ( 纠( f ) ) + 卜矽( 乃( f ) ，o ) 】r 露认力d 死f o ，2 列， ( 4 2 0 ) 通常记为4 ( 以咖，彳( ，咖表示依赖于l 由参数化可知：积分方程组( 4 1 3 ) 等价于 j ，驴，咖。w o 驴) f o 2 明 ( 4 2 1 ) iel ij 一上儿_ 斗z - ， 【彳1 ( 厂，纠= m ， 4 2 2 离散化 参数化以后，下面对积分算子离散化，我们注意到厶的2 万周期核可分解 为如下形式： 2 唰椭猁卜h i s 血爿他l s m 上式第二项光滑，且具有对角值 对于第一项对数奇异核的情形，则可以应用【2 4 】中的对数奇点求积法则4 的 2 万周期光滑核可应用梯形法则 和 由双层位势的跳跃关系= w 。乃和聊= ”乃，j = 0 ，1 可被参数化为 缈占讹，谢咖 一r 。g ( z 。( 力) ( 乃( ，) ，毛( 力) l z ：( f ) l d 7 + 号厂( z 。( f ) ) ，一j ：g ( z l ( 力) ( 乃( ，) ，毛( 力) l z ：( f ) i d 7 + 寺厂( z l ( f ) ) ， ( 4 2 2 ) 访= 一( f ) 一【1 一矽( 乃( f ) ，o ) r ，g ( z 1 ( 力) l 彳( 彳) i 比 f 【o ，2 万】， ( 4 - 2 3 ) 这里，毛= ( 毛 l ，z 。，：) ，坼= ( i ，2 一z ，。) w o ，w l 的核都光滑，且的核有对角值 卸背2 眢， 霪葡鼋喜一竖：鍪；萋羹裔型鋈i 鬈篓晖j 旷囊耄謇毒萎蚕囊篓 鎏蓁妻霎蠹霪蠢藿j 誊砉霪霎囊喜霆雾? 摹霎萤霎蠢蓁童i 囊 冀萝萋髫釜粪耄翼霎l 蠢囊薹毫：墓妻囊囊鎏囊萎雾翼囊i 霪鍪童未垂蠢霉萎奏囊茎雾，篓雾耄囊霎篓i 萋妻= 蚕董妻 蓬薹窆囊羹薹霎萎喜毳莲蓬i 霪薹型翌季冀冀墓奏；奏霪； 耋霪茎妻墓囊萋耋萎冀霎薹；奏萋囊霎蚕翼蚕豪些垂丢 霪蔑茎羹i 霄堡i 霎零薹薹芹雾希冀t 芝； 萎i 萋薹；耄皇墓虱芰雾茎霉耋主董霎毒三霉薹。 雾耄茎专薹冀薹窆蓦二号耋茎j 重! 萼季；_ j ：塞霎羹墓 毒o 毒薹要季霎萋；妻霎墓囊塞霪萋霉：= 霍! ! 一j 0 - o 量j 三耋薹 蔓至_ 妻三三i 皇i _ _ i _ ；囊錾羹善耋 妻塞妻薹薹i 霎薹塞翼囊夔耋轧耄囊鎏耋萋专专；。 l i 蓁篓蓁霎，婪羹篓蓁效丝霎薹薹鎏羹羹彗雾翻蓄妻 葡量翼匝爹妻。篓姜薹蒌奏荔蚤萋膏塞翻甄萋潮茎篓翼1 疙汀薹霉摹垂耋氰薄饧奏囊；爹囊；甭萋孙蓁殓婴羹；霎 霉妻霎衰l 錾篓竖霎鍪墓薹塞；蕈奏篓囊冀萋薹薹莹姜秀耋 霉蓬萋i 蓁丽餐窆j 篓；雾i ；章三薹塞善主耋雾攀甬霎 妻i ； 譬萎喜搴兰i 摹藿霞矍霎盗鼍主譬。r 鋈i i 孽薹蚕塞囊 型委z ；薹霎霎i ：一 霎：矍要j 藿二墓霎霎薯未笨需茹装k 笪謇篓白螋。罂 砼蹦；鬈荡雾薹匙露蠡蓁囊翼善1 1 2 9 jl l 为内边界 中山大学硕士论文 得：g = o ，矿= 0 i4 ( ，- ，y ) + 4v ，仍g ) 一v ；g ) = o ， 【彳l ( 厂，y ) + 彳l t ( ，仍g ) = o 定理4 2 2 【3 0 】设r o 和r o 为外边界r 内的两条闭曲线，“为( 4 - 1 ) 的解，材为 ( 4 1 ) 中r 。改为r o 后的解设0 ，且在r 。的一个开集上有： a 甜a “ 一= 一 a 1 ，a 1 ， 4 3内部d i r i c h l e t 正问题求解 据g 和反问题迭代中的初值缟，而g 和编都是u 在边界上的法向量，为减小其 内部d f ，砌切问题：为给定连续函数，求解甜c 2 ( d + ) n c ( d + ) ，使得u 防誉 其中r o ：( f ) = 厂( f ) ( c o s f ，s i n f ) ， 4 3 1 单层位势方法1 2 】 上面的内部d 护砌切问题( 4 1 ) 的解为单层位势： 中山大学硕士论文 4 3 3 两种方法的比较 利用单层位势来解决正问题，以求解c a u c h y 数据g 和反问题迭代中的初值 时，需要直接求解出u 的值；而利用双层位势时，是不需要直接求解u 的值 理论上，利用双层位势方法的误差应该比单层位势的小，在数值试验中也 验证了这一点 4 4 两种迭代方法 4 4 1 完全线性化迭代 设妒= 胁，分别对积分算子4 和4 关于矿线性化，对( 4 2 1 ) 线性化，得： i4 ( ，纠+ 4 ( r ，y ) + 4t ( 厂，仍g ) = w 0 ( ，) + w ot ( ，；g ) ， 。 。 ， ( 4 3 0 ) 【4 ( r ，咖+ 4 ( ，们+ 4 i ( ，仍g ) = w 1 迭代过程如下： ( i ) 给定，和矽的初值； ( i i ) 由( 4 - 3 0 ) 求得g 和y ； ( i i i ) 更新：，= ，+ g ；缈= 缈+ 沙； 迭代结束条件：限制迭代次数 4 4 2 分解迭代 分解迭代法：把反边界值问题分解为一个严格不适定线性问题和一个弱不 适定非线性问题 彳l ( ，咖= w l ， ( 4 - 3 1 ) 以( ，劝+ 4t ( 厂，仍g ) = w 0 ( ，) + w o ( r ；g ) ( 4 - 3 2 ) 迭代过程如下： ( i ) 给定，的初始值； 第四章反边界值问题的求解方法 ( i i ) 解严格不适定线性问题( 4 3 1 ) ，得到缈； ( i i i ) 固定缈的值，解线性方程( 4 - 3 2 ) ，得到g ； ( i v ) 更新半径函数：，= ，+ g ； 迭代结束条件：限制迭代次数 4 4 3 两种迭代方法的比较 ( 1 ) 原则上，分解迭代法更好，因为它的每一步迭代的复杂度都比完全迭代的 复杂度小因为通常解两个小的线性系统的复杂度要比解一个大系统要简单 ( 2 ) 两种方法由于不适定性都要用到正则化方法，文章中用了最经典的 t i l d l o n o v 正则化方法和t v 正则化方法 第五章数值试验与m a t l a b 算法实现 第五章数值实验与m a t la b 算法实现 我们用两个数值例子来说明上节提到的重构方法的有效性第一个例子为 同心圆例子第二个例子，我们设外边界r 1 为以原点为圆心，以r 为半径的圆， 即毛( f ) = ，( c o s f ，s i i l f ) ，0 k 1 首先利用位势理论求解正问题( 4 一1 ) 得到综合数 据的值，从而z ，在d 中可表示为适当的双层位势之和利用边界r 0 和r 。上的跳 跃关系产生关于双层密度函数的两个二类积分方程，以及n y s t r o m 方法求解 进一步，为了避免反犯罪，在解正问题时取的配置点个数应与解反问题是取的 配置点个数应不同 5 1 数值例子1 一同心圆 5 1 1 同心圆反边界值问题 ，考虑特殊区域的情形，设d 为以圆心为原点，半径为民 e 时，具有 ，：i 器， 舻0 ，1 竺r 讹 z h 幼 = = 第五章数值试验与m a t l a b 算法实现 此时对应的迭代函数6 具有导数6 - ( r ) = 了南 ，当且仅当r p2 时，迭 j 代具有局部收敛性；而第二种则是当且仅当r e2 时，迭代具有局部收敛说 明这种方法一般无稳定的收敛性 若令缈= 鼢为新的未知量，则可得到稳定的收敛性相应的对缈参数化后， 由( 5 2 ) 得到缈的值，再对( 5 1 ) 关于r 做线性化，迭代式如下： ：，：l ( 卜h 夸 在解，= r 处，对应的迭代函数c 有导数c t ( r ) = o 则对于任意的o r 1 ，都 具有局部超线性收敛性另一方面，因为( 5 - 2 ) 只依赖于缈，( 5 2 ) 关于，线性 化无意义 5 2 数值例子2 在第二个例子中，我们用三角插值来逼近内边界曲线r 。的， ，o ) = qc o s 缸+ 瓯s i i l 幻， 七= 田 七= l 对于光滑核的情形我们用梯形法则来逼近积分算子取偶数以个等积分点 f ，= 丝，歹：1 ，2 ，刀，对于对数奇异核的情形，我们用三角插值法由( 4 2 9 ) 得 到一个2 刀2 刀线性系统，由此解得q ( t ) 的f o 谢c r 系数口0 ，6 l ，也和 妖f 1 ) 一吵也) ，由于问题的不适定性，需要用到死砌佣o v 正则化方法来求解类 似的，由( 4 - 3 0 ) 我们得到刀珂线性系统，求得烈f 1 ) ，认乙) ；由( 4 - 3 1 ) 得到刀刀 4 3 中山大学硕士论文 线性系统，求得2 所+ 1 个墓萋；耋妻薹薹霎薹蓁冀薹蚕s 雾霎j 蚕霎耋毒矍蠹塞 重蚕；蓁蓁 囊錾萋霪萋霎雾雾耋霎雾耋；蓁霪妻萋薹 霪蓁薹霎霎囊雾季霎 蓁冀繁；塑矍羹蘩鞴髦冀蓁薹蘩霹诚哒妻雩。 霾；| 霎j 羹 錾藿翼! 零囊| | 薹l 雾蓁蓁羹翼i | | ；i 霪 耋蚕羹冀塑翼夔堡霾鋈雾。鎏羹羹究院流体物理研究所，冲击波物理与爆轰物理 国防科技重点实验室四川绵阳 6 2 1 9 0 0 ， 2 武汉理工大学材料复合新技术国家重点实验室湖北武汉4 3 0 0 7 0 ) 摘要：采用一维弹塑性流体动力学计算方法，通过对u 肌，( i a 嗍“v e n 】帕r en 撕0 n a l l a b o ra t o r y ) m g c u 体系密度梯度飞片冲击加载一准等熵加载实验过程数值计算和比较，验证 了流体动力学计算方法、不同材料体系混合模型以及计算程序的正确性