（应用数学专业论文）两类微分系统幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支.pdf

一：? ：! 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：娜 醐：千趾肚日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：施导师签髫垫互兰日期：望仁一年且月4 日 点的中心焦点判定和 极限环分支问题，全文共由三章组成。 第一章对平面多项式微分系统的中心焦点判定、极限环分支及幂 零奇点的历史背景及研究现状进行了概述。 第二章介绍了前人对微分系统三次幂零奇点所做的一些工作，并 介绍了此微分系统幂零奇点的中心焦点判定的若干方法，以及关于此 微分系统的极限环分支的一些结论，为本论文的中心章节一一第三章 打下了很好的理论基础。 第三章分别研究了一类三次系统幂零奇点和一类七次系统幂零 奇点的中心焦点判定与极限环分支问题。对于三次系统，利用第二章 给出的计算拟l y a p u n o v 常数的递推公式，在计算机上用m a t h e m a ti c 推导出了该系统原点的前6 个拟l y a p u n o v 常数，并进一步推导出原 点成为中心和6 阶细焦点的条件，在此基础上得到了此系统的原点可 以扰动出6 个极限环的结论；对于七次系统，利用同样的方法推导出 了该系统原点的前9 个拟l y a p u n o v 常数，并进一步推导出原点成为 中心和9 阶细焦点的条件，在此基础上得到了此系统的原点可以扰动 出9 个极限环的结论。 关键词幂零奇点，拟l y a p u n o v 常数，中心焦点，原点，扰动， 极限环分支 a bs t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fc e n t e r - f o c u sa n dl i m i tc y c l e b i f u r c a t i o nf o r t h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m i ti sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so f p r o b l e m s a b o u tc e n t e rc o n d i t i o n s ，t h e h i g h e s td e g r e e f i n ef o c u s c o n d i t i o n sa n dt h eb i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e so fp l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a l s y s t e mw e r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e d ，a n da l s ot h e h i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s sa b o u tt h ed i f f e r e n t i a l s y s t e mi nw h i c ho r i g i ni sn i l p o t e n ts i n g u l a r i nc h a p t e r2 ，t h ew o r k sa b o u tt h ed i f f e r e n t i a ls y s t e mi nw h i c ho r i g i n i sn i l p o t e n ts i n g u l a r , w h i c hi sd o n eb yt h ep e o p l eo ft h ep a s t ，w e r e i n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e d ，a n da l s ot h em e t h o d st o g e tt h ec e n t e r c o n d i t i o n s ，t h eh i g h e s td e g r e ef i n ef o c u sc o n d i t i o n sa n dt h eb i f u r c a t i o no f l i m i tc y c l e sf o rac l a s so fd i f f e r e n t i a ls y s t e mi nw h i c h o r i g i ni sn i l p o t e n t s i n g u l a rp o i n t a n da l lo ft h o s em e t h o d sm a d eas o l i df o u n d a t i o nf o rt h e c h a p t e r3w h i c hi st h ec e n t e ro f t h i st h e s i s i nc h a p t e r3 t w oc l a s s e so fd i f f e r e n t i a ls y s t e mi nw h i c ho r i g i ni s n i l p o t e n ts i n g u l a rp o i n tw e r es t u d i e d f o ro n eo fc l a s s e sw h i c hi sc u b i c d i f f e r e n t i a l s y s t e m ，u s i n gt h er e c u r s i v ef o r m u l aw h i c hw a sg i v e ni n c h a p t e r 2a n dt h e c o m p u t e rs y s t e m m a t h e m a t i c ，t h e f i r s ts i x q u a s i l y a p u n o vc o n s t a n t so ft h es y s t e mw e r eg i v e n ，f r o mw h i c ht h e c o n d i t i o n sf o ro r i g i nt ob eac e n t e ra n dt h eh i g h e s td e g r e ef i n ef o c u sw e r e d e r i v e d s i xl i m i t c y c l e s w h i c h o r i g i n w a ss u r r o u n d e di nt h e n e i g h b o r h o o do fo r i g i nw e r eo b t a i n e dw h e nt h es y s t e mw a sp e r t u r b e d f i n e l y a n df o rt h eo t h e rc l a s sw h i c hi ss e p t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，u s i n g t h es a m em e t h o da n dt h ec o m p u t e rs y s t e m m a t h e m a t i c ，t h ef i r s tn i n e q u a s i l y a p u n o vc o n s t a n t so ft h es y s t e mw e r eg i v e n ，f r o mw h i c ht h e c o n d i t i o n sf o ro r i g i nt ob eac e n t e ra n dt h eh i g h e s td e g r e ef i n ef o c u sw e r e d e r i v e d n i n el i m i t c y c l e s w h i c h o r i g i n w a ss u r r o u n d e di nt h e n e i g h b o r h o o do fo r i g i nw e r eo b t a i n e dw h e nt h es y s t e mw a sp e r t u r b e d f i n e l y k e yw o r d sn i l p o t e n ts i n g u l a rp o i n t ，q u a s i l y a p u n o vc o n s t a n t ， c e n t e r f o c u s ， o r i g i n ，p e r t u r b ，l i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n i i 目录 摘要i a b s t r a c t ? i i 第一章前言1 1 1 关于中心焦点判定1 1 2 多项式微分自治系统的极限环2 1 3 关于含幂零奇点的微分系统3 1 4 本文主要工作4 第二章预备知识5 2 1 引言5 2 2 三次幂零奇点在广义极坐标下的后继函数与焦点量5 2 3 三次幂零奇点极限环分支7 2 4 三次幂零奇点的分类，中心积分与逆积分因子9 2 5 三次幂零奇点的拟l y a p u n o v 常数1 2 第三章两类系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支1 5 3 1 引言1 5 3 2 一类三次系统幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支1 5 3 3 一类七次系统幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支1 9 参考文献：2 8 附录a 3 2 附录b 3 5 致谢6 3 攻读硕士学位期间发表的论文6 4 i i i 中南大学硕士学位论文 第章前言 第一章前言 数学分析从一开始就是求解微分方程。而非线性微分方程没有普遍解法，以 及一些天体力学问题的未决，促使法国数学家h p o i n c r e 在微分方程求解过程中 引入定性思想，创立了常微分方程实域定性理论这一新分支，突破了原有的微分 方程求解的思维束缚，是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。从h p o i n c r e 在1 8 8 1 年到1 8 8 6 年发表的微分方程所定义的积分曲线为题的四篇开创性论 文起，一个多世纪以来，常微分方程定性理论一直保持着向前积极发展的活力， 其主要原因在于它的根源深扎在各种实际问题中。不仅在天体力学、自动控制、 机械、化工、生物、电讯，而且在经济以及其他社会学科的各个领域都得到了广 泛的应用。同时这些应用的需要又反过来推动了定性理论的发展，计算机技术应 用于微分方程的研究就是一个很好的例子。特别是近三十年来，随着计算机的发 展，计算机符号运算得到了一定程度的提高，为常微分方程定性理论的研究提供 了有利的工具，使定性理论的研究进程得到了进一步的发展。在此背景下，本文 借助计算机符号运算的代数系统，研究了两类原点为幂零奇点的微分自治系统的 中心焦点判定和极限环分支问题。 1 1 关于中心焦点判定 在实平面微分自治系统定性理论中，中心焦点判定以及由细焦点经扰动产生 极限环的问题十分重要。由于焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产 生极限环的个数，而实平面极限环的个数首先取决于个奇点邻域内极限环的个 数，因而极限环的研究如d h i l b e r t 第十六问题解决的第一难关就是焦点量阶数 的研究，即中心焦点的判别。1 9 7 6 年，前苏联著名数学家a r n o m 提出微分方程 稳定性理论中至今悬而未决的d r n o m 问题也与焦点量的研究密切相关 2 6 。因 此，平面微分系统有限域上焦点量的计算引起了许多的研究 2 6 ，2 7 。例如用后 继函数法求焦点量需要进行大量的积分，用形式级数法求l i y a p u n o v 常数需要解 大量的线性方程组。焦点量或l i y a p u n o v 常数的算法以及计算机实现的问题吸引 了众多学者的关注。首先刘尊全、秦朝斌 4 4 - - 4 6 和秦元勋、刘尊全 4 6 用计算 机推导了焦点量的公式。杜乃林，曾宪武 4 1 、c h a v a r r i g a 4 2 等也相继地研究 了上述问题。刘一戎、陈海波 6 6 利用代数等价的形式得出了一套线性递推计算 公式，只需以系统的系数为符号进行有限次的加减乘除四则运算，避免了经典方 中南大学硕士学位论文第一章前言 法中复杂的积分与解方程运算，它是目前世界上最简单的运算公式之一。由于计 算机公式的逐步简化和计算机性能的不断提高，中心焦点判定和极限环分支问题 的研究将会更进一步发展。以前大量文献讨论了系统原点为初等焦点的中心焦点 判定问题，而对原点为幂零奇点的系统的中心焦点判定问题讨论不多，本文将讨 论两类原点为幂零奇点的微分系统的中心焦点判定问题。 1 2 多项式微分自治系统的极限环 著名数学家h i l b e t t 于1 9 0 0 年在国际数学家大会上提出了二十三个影响数学 发展的数学难题，其中著名的h i l b e r t 第十六个问题是迄今为止仅有的少数几个 尚未解决的问题之一。h i l b e r t 第十六个问题的后一半就是：给定微分方程 咖一( x , y ) 一= - - - - - - - - - - - 一 d x q ( x ，y ) 其中只，q 是x , y 的次数不高于疗的实系数多项式；问这类系统最多有几个极限 环? 当达到最大数目时，它们的相对位置又如何? 即对一切这样的刀次系统，能 否估算出极限环个数的上界( 自然依赖于甩) 。一个世纪以来，这一问题引起了世 界各地相关数学工作者的关注，同时，因其困难程度也一直困扰着人们。有关这 个问题只有法国数学家h d u l a c 5 6 在1 9 2 3 年证明了对每个这样的系统，极限环 的个数是有限的。但对于全体n 次多项式系统所能达到的最大极限环个数而言， 即使是最简单的二次系统还未最终定论。另外，只对限制很强的一类极限环，即 强稳定和强不稳定极限环，s p d i l i b e r t o 5 7 给出了极限环个数的上界。但随着此 问题研究的深入和发展，尤其是随着计算机的出现与发展，大量的研究方法和较 好的结果不断涌现 1 6 】。如：1 9 7 9 年，史松龄 1 7 】和陈兰荪、王明淑 1 8 】分别独 立地举出至少具有四个极限环的二次系统的实例，从而破除了二次系统极限环个 数的上界是3 的传统猜测，对，l = 2 时的h i l b e r t 第十六问题是一个大的推进，并 把这一困难问题重新摆到人们面前。这方面i i 期的工作已收集在叶彦谦的专著 【2 7 1 。在这两个例子举出来以后，史松龄 5 8 】又把它们分别推广到较一般情形。 如果记h i l b e r t 第十六个问题中玎次多项式系统所能达到的最大极限环个数为 ( 玎) ，则史松龄得到日( 2 ) 4 ；李继彬、黄其日y l 2 1 i 得到h ( 3 ) l l ；郁培、韩茂 安 2 3 】得到( 3 ) 1 2 ，在此基础上，刘一戎、黄文韬 2 2 】由两个细焦点扰动也得 到h ( 3 1 1 2 。p e i y u 2 1 在2 0 0 5 年的浙江举行的微分方程分支理论和动力系统国 际数学大会上又阐述了对于( 疗1 的研究近况： h ( 2 ) 4 ，h ( 3 ) 1 2 ，h ( 4 ) 1 5 = 4 2 1 ； 2 中南人学硕士学位论文第一章前言 ( 5 ) 2 4 = 5 2 - 1 ( l i ，c h a n & c h u n g ，2 0 0 2 ) ； 日( 6 ) 6 2 - 1 ( w a n g & y u ，2 0 0 5 ) ； h ( 7 ) 4 9 = 7 2 ( l i & z h a n g ，2 0 0 4 ) ： h ( 9 ) = 9 2 1 ( w a n g ，y u & l i ，2 0 0 6 ) ： h ( 1 1 ) 1 2 1 = 1 1 2 ( w a n g & y u ，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n ) ： 上述结果除了u ( 2 ) - _ - 4 ，日( 3 ) 1 2 ，h ( 4 ) 1 5 ，h ( 5 ) 2 4 已正式刊出外，其 他结论可能还在研究中。著名的数学家s s m a l e 5 9 认为对于h ( n 1 的研究可能是 h i l b e r t 问题中最难解决的一个。 和中心焦点判定问题一样，以前大量文献讨论了系统原点为初等焦点的极限 环问题，而对原点为幂零奇点的系统的极限环分支问题讨论不多，本文在讨论两 类原点为幂零奇点的系统的中心焦点判定的基础上，将讨论其极限环分支问题。 1 3 关于含幂零奇点的微分系统 考虑实平面微分自治解析系统 i a x = x ( 石，j ，) = y + a k j x y ， “ k + j = 2 ( 1 3 1 ) 豢= 】，( w ) = y 7 七+ ，= 2 系统( 1 3 1 ) 在原点邻域线性近似系统的两个特征根都是零，但线性项不全 为零。称系统( 1 3 1 ) 的原点为幂零( n i l p o t e n t ) 奇点。 对于含幂零奇点的平面微分自治系统，a m e li k i n 在1 9 5 3 年研究了一类三次 系统，计算出了原点的前3 个l y a p u n o v 常数，并证明原点为中心的充要条件是 前3 个l y a p u n o v 常数均为零 1 ：a m e l i k i n 在1 9 6 8 年分别研究了一类三次系统 和五次系统计算出原点的前2 个和5 个l y a p u n o v 常数，并证明了原点成为中心的 充分必要条件 1 ；t a k e n s 、s t r o z y n a 、z o l a d e k 、m o u s s u 等研究了系统( 1 3 1 ) 原点邻域的规范型 1 6 ；a l v a r e za n dg a s u l l 证明了了系统( 1 3 1 ) 的原点为 m 阶细焦点时可以在原点领域扰动出旷1 个极限环 5 ，6 ；a l v a r e za n dg a s u l l 在2 0 0 6 年对k u k l e s 系统计算出了原点的前4 个l y a p u n o v 常数，证明原点成为 中心的充分必要条件，并给出了k u k l e s 系统由4 阶细焦点扰动出3 个极限环的 实例 2 。刘一戎和李继斌得出了一般三次系统计算拟l y a p u n o v 常数的递推公 式，并解决了几类含幂零奇点的三次系统的中心焦点判定和其扰动系统极限环分 3 中南大学硕士学位论文 第一章前言 支问题 4 - - 8 ，1 4 。 1 4 本文主要工作 平面微分自治系统的中心焦点判定与极限环分支问题是微分方程定性理论 与分支理论中的重要课题，以往的文献绝大多数是讨论原点是初等焦点的情况， 而对线性近似系统有零特征根即原点为幂零奇点的情况考虑较少。本文讨论系统 ( 1 3 1 ) 在刀= 1 时即原点为3 次幂零奇点的情况，分别研究了一类三次系统的幂 零奇点和一类七次系统的幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支问题。分别对这 两类系统利用给出的计算原点拟l y a p u n o v 常数的递推公式，在计算机上用 m a t h e m a t i c a 推导出这两类系统原点的前6 个和前9 拟l y a p u n o v 常数，进而分 别推导出原点成为中心和最高细焦点的条件，并在此基础上得到了此系统的扰动 系统在原点邻域内的极限环的个数。 4 中南大学硕士学位论文第二章预备知识 2 1 引言 第二章预备知识 对于原点为初等焦点的多项式微分系统，现在已经有大量的研究成果，而对 线性近似系统有零特征根即原点为幂零奇点的情况考虑较少。在实际问题，如天 体力学、自动控制、机械、化工、生物、电讯，经济以及其他社会学科的各个领 域，原点为幂零奇点的多项式微分系统却有着广泛的应用。本章介绍关于微分系 统三次幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支的一些重要结论，为第三章讨论的 两类原点为幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支问题打下了基础。 对于幂零奇点，a m e l i k i n 在他的专著 3 中给出了原点为中心或焦点的条 件：假定y = f ( x ) 满足隐函数方程x ( x ，厂( 工) ) = 0 ，f ( o ) = 0 ，则系统( 1 3 1 ) 原 点为中心或焦点的充分必要条件是 r ( x ，厂( x ) ) = 口x 2 ”+ 1 + d ( ，4 + 1 ) ，口 0 ， 篆+ 飘似，钢x n ( 2 1 1 ) + 4 ( n + 1 ) 5 0 ， 其中n 为正整数。当( 2 1 1 ) 式成立时称系统( 1 3 1 ) 的原点为重次为2 ，l + 1 的高 次奇点( 可以且至多可以经小参数扰动在原点邻域分解为2 n + 1 个复初等奇点) 。 本章是在n = 1 即原点为3 次幂零奇点的情况下讨论的。系统( 1 3 1 ) 的坐标 原点为3 次奇点、且为中心或焦点的充分必要条件条件是 包。= o ，( 2 a 2 0 一6 l 。) 2 + 8 岛。 0 ，不失一般性，本文设 a 2 0 = ，包o = o ，岛l = 2 p ，6 3 0 = 一2 ， 否则 记( 2 a 2 0 一6 l i ) 2 + 8 6 3 0 = - 1 6 2 2 , 2 a 2 0 + 6 l i = 4 2 9 ， 并作变换 孝= 2 x ，7 7 = 2 y + ( 2 a 2 0 一6 1 1 ) 五x 2 。 2 2 三次幂零奇点在广义极坐标下的后继函数与焦点量 化为 系统( 1 3 1 ) 经广义极坐标变换 x = r c o s o ，y = ，2s i n 秒 ( 2 2 1 ) 中南大学硕士学位论文 第二章预备知识 嘉= 篇竽 d 口 q ( p ) 、7 其中 墨( p ) = s i n 0 ( 1 - 2 c o s 2 印+ ( c o s 2o + 2 s i n 2 秒) ， q ( 秒) = - 2 ( c o s 4 0 + s i n 2 0 ) 0 对充分小的j | l ，方程( 2 2 2 ) 适合初值条件，i 口= 。= h 的解记为 r = r ( o ，j 1 1 ) = k ( 口) 砍 其中 m ( 口) = ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 由于当，充分小时，_ - d o 1 ，使得屹( 一2 万) = v 4 ( - 2 n ) = = 屹。一2 ( - 2 x ) = 0 ，而屹。( 2 万) 0 ，则称系统 ( 1 3 1 ) 的原点为m 阶细焦点； ( 哦) 如果对任意正整数m 都有屹。( 一2 7 r ) = 0 成立，则称系统( 1 3 1 ) 的原点为 中心。 直接利用广义极坐标下的后继函数来计算焦点量是很困难的。由于v ( 臼) 的 表达式中含指数项，甚至连吃( 口) ，u ( 护) 是否能表示成为初等函数也还有待研究。 定义2 2 2 n 铂设z ，反是关于和系统( 1 3 1 ) 右端诸系数口刖包，的连续有 界函数，尼= 1 ，2 ，如果对某个正整数，l ，存在关于与诸，的连续有界函数 菊 忑如上延呲 l t 耋一 一，l _ ； m 中南大学硕士学位论文 第二章预备知识 鲁，筻，器：，使得 厶= 既+ ( 并”石+ 筻”五+ + 嚣：厶_ ) ( 2 2 9 ) 则称厶与岛等价，记为厶岛； 如果对任一正整数m ，有厶g 。，则称函数列 厶 与 g 。 等价，记为 厶 岛 。 显然，函数列的等价关系有反身性、对称性和传递性。由定理2 1 1 得 推论2 2 1n 4 3 对任一正整数所有吃。+ 。( 一2 刀) 一0 。 2 3 三次幂零奇点极限环分支 先考虑系统( 1 3 1 ) 的一类扰动系统 妾：万计x ( 训) ， d t “ 譬= 2 渺+ 】，( 训) ， a t “ ( 2 3 1 ) 其中x ( 五y ) ，r ( x ，j ，) 是系统( 1 3 1 ) 的右端函数。容易验证，当o o ( 2 3 6 ) 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 4 ) 式可见，当0 h l ，ioi 4 x 时，只要万= d ( 办) ，就有 声( 秒，h ，万) = m ( p ，o ) h + o ( h ) 。类似于h o p f 分支定理易证： 定理2 3 1 n 4 1f ) 如果系统( 2 3 1 ) 当万= 0 原点为中心，则当0 0 时系统 ( 2 3 1 ) 在原点充分小的邻域内没有闭轨，而当叱。( - 2 万，o ) 0 时系统( 2 3 1 ) 在原点充分小的邻域内有唯一的一个极限环，其初始点为 + = - a ( - 2 z ) 6 磊崩) ( 2 3 7 ) 考虑含多个参数的系统 妾：肌y + 艺( 班y 出 。 t 笨z 川。 ( 2 3 8 ) 妾：2 a y + 艺( 班t 一 班 女笨2 ”“。7 其中7 = 一，托，一。) 是，l l 维参数向量。设= 圳们，以，耀，) 是参数空间 中的一个点，假定系统( 2 3 8 ) 的右端函数当i ly 一i l 1 时是关于x ，y 的具有 非零的收敛半径的幂级数，对7 有连续的一阶偏导数，且 口2 。( 厂) 兰，6 2 。( 7 ) 三o ， ( 2 3 9 ) 岛l ( y ) 喜2 , u ，包o ( 7 ) 三一2 对任一正整数k ，以屹t ( - 2 z ，厂) 表示系统( 2 2 8 ) 细原点的第尼个焦点量， 4 中证 明了： 定理2 3 2 h 1 假定当7 = 时系统( 2 2 8 ) 脚的原点为m 阶细焦点，且雅可比 行列式 捌k 一，( 2 3 1 0 )d 【乃，兄，一1 ) 一。 则存在整数万，厂，使当0 i 艿i 万，0 3 时，c 勿由递推 公式 锄2 高以- i , p + t + 吃- l 朋) ( 2 巧1 0 ) 唯一确定，当m 1 时，r o ( s ，) 由递推公式 r o m ( s ，z ) = 4 ，i ，o + 吃。o ( 2 5 1 1 ) 唯一确定。其中 锄= k - ( s + 1 ) ( c t - k + 1 ) a 可哳i 伊， + 7 2 2 ( 2 5 1 2 ) a + p i = _ ，一( s + 1 ) ( 3 - j + 1 ) i b m g 吨肘+ 1 由定理2 5 1 知，p n 黜( 1 3 1 ) 原点的分类号为自然数s 或，则当 c o 矗) 适当取值时可以使得 红川( s ，) = 0 ，k = l ，2 ， 从而在逐项求出方程组( 2 5 1 3 ) 的一组解 岛口) 后，有： 拍川= 警糌 定理2 5 5 中的递推公式关于诸是线性的， m a t h e m a t i c 等计算软件中实现。 1 4 ( 2 5 1 3 ) ( 2 5 1 4 ) 其计算过程很容易在 中南大学硕士学位论文第三章两类系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 第三章两类系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 3 1 引言 平面微分自治系统的中心焦点判定与极限环分支问题是微分方程定性理论 与分支理论中的重要课题，以往的文献绝大多数是讨论原点是初等焦点的情况， 而对线性近似系统有零特征根的情况考虑较少。就像第二章提到的，此处仅讨论 靠= l 即原点为3 次幂零奇点的情况。系统( 1 3 1 ) 的坐标原点为3 次奇点、且为 中心或焦点的充分必要条件条件是包。= o ，( 2 a 2 。- b , 。) 2 + 8 6 3 。 0 ，不失一般性，设 a 2 0 = ，如o = o ，6 i l = 2 , u ，6 3 0 = - 2 ， ( 3 1 1 ) 否则 记( 2 a 2 0 - b , i ) 2 + 8 氏= - 1 6 彳2 , 2 a 2 0 + 包l = 4 舡， 并作变换 孝= 五石，刁= 旯y + 丢( 2 口：。一6 i 。) 名，。在此条件下，本章分别研究了原点为三次幂零 奇点的三次系统和七次系统的中心焦点判定和极限环分支问题。 3 2 一类三次系统幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支 本节讨论一类原点为幂零奇点的三次多项式系统 d x d t 咖 d t 2 j ，+ 口2 l x 2 y + a 0 2 y 2 + q 2 x y 2 ， = 2 x 3 + 包i x 2 y + b 0 2 y 2 + 6 1 2 x y 2 ( 3 2 1 ) 容易验证，系统( 3 2 1 ) 满足( 2 1 1 ) 中原点为中心或焦点的充要条件。 由定理2 5 4 ，对系统( 3 2 1 ) 可待定正整数s 与形式级数 肌= y 2 + x 4 + o ) 1 吏得瓦o ( 矿x ) + 专( 嘉) = 击薹啪魁由 定理2 5 5 中给出的递推公式，利用m a t h e m a t i c 计算求得 鸭：红：鸭：0 ，哝：i ( 1 - 4 s ) b 2 i ， 鸱( 1 + s ) ( 3 c 0 3 。2 a 0 2 ) ，魄专( 2 a 0 2 b 0 2 哪- z ) ( 如_ 3 ) ， ( 3 2 2 ) 鸭a 0 2 ( s 一1 ) ( a ：。+ 2 b o ：z + 岛：) 由于j 是正整数，故由( 2 5 1 4 ) 和( 3 2 2 ) 得到系统( 3 2 1 ) 原点的前两个积分因 子常数为 a=熹=162。i3 1 一铀 “ 五：熹：三o ：一2 口0 2 ) ，5 3 一如 、“w 。咄” r 当a 0 2 ( a 2 i + 2 b o ：2 + 6 l ：) o 时，由屿= 纬= o 求得 = 知刚 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 以下取j = 1 ，由式( 2 5 2 ) ，利用递推公式用m a t h e m a t i c a 继续计算得 命题3 2 1 对系统( 3 2 1 ) ，可逐项确定形式级数膨( 石，y ) = j ，2 + ，+ d ( ，) ， 使得 ( 篆+ 等m - 2 ( o 叙mx + 百o m y ) 。 。 7 ( 3 2 5 ) = 2 m ( 2 m - 4 s 一1 ) x 2 肿4 + d ( ，2 州) 】+ d ( ，1 6 ) ， 其中厶是系统( 3 2 1 ) 原点的第聊个拟l y a p u n o v 常数，聊：1 ，2 ，6 定理3 2 1 系统( 3 2 1 ) 原点的前6 个拟l y a p u n o v 常数如下： a = 冬， 五三( 口l z 一2 a o z 6 0 z ) ， 五一而4 口。：6 0 ：( 1 6 a 2 1 + 2 2 b 2 + 2 1 b t ：) ， 丝生丝! 兰缝二竺兰z 鱼墼丝二刍! ! ( 3 2 6 3 3 6 0 0 以 4 8 8 a o z b ；z ( 5 8 210 2 8 7 18 b 4 2 - 15 710 7 3 4 3 7 5 a 0 2 2 ：) i 1 7 8 6 3 1 0 4 9 8 4 3 7 5 五篙器篙器 由丑= 0 ，( 汪l ，2 ，6 ) ，得 6 2 l = o ，a 0 2 = o ，a 1 2 = 2 a 0 2 2 = 0 ； 或 6 2 l = o ，b 0 2 = o ，a 1 2 = 2 a 0 2 = 0 ； 由此得： 1 6 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 中南大学硕士学位论文第三章两类系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 定理3 2 2 系统( 3 2 1 ) 原点的前6 个积分因子常数全为零， 列两个条件之一成立： 6 2 l2a 1 2 = a 0 220 ，v ， 如l = q 2 = b 0 2 = 0 当且仅当下 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 我们有以下引理： 引理3 2 1 ( 对称原理) 如果系统( 1 3 1 ) 的向量场具有过原点的对称 轴，则系统( 1 3 1 ) 的原点是中心。 注：如果 x ( 而一y ) = 一x ( x ，y ) ， ( 3 2 1 1 ) y ( x , - y ) = r ( x ，y ) ， 、。 则系统( 1 - 3 1 ) 的向量场对称于x 轴，其原点为中心。同理，如果 工( 一五j ，) = 工( 五j ，) ， ( 3 2 1 2 ) y ( 一x ，j ，) = - y ( x ，j ，) ， 则系统( 1 3 1 ) 的向量场对称于y 轴，其原点亦为中心。 f ) 当( 3 2 9 ) 成立时，系统( 3 2 1 ) 化为： 讹y ) 2 瓦d x 2y + x 2 弘 ( 3 2 1 3 ) 】，( x ，j ，) 2 瓦d y = _ 2 工3 + 6 0 2 j ，2 + 6 l z 砂2 ， 将一x 代入，得 x ( 一x ，j ，) = y + 口1 2 ( 一力2 y = x ( x ，y ) ， 】，( 一x ，y ) = - 2 ( - x ) 3 + b 0 2 y 2 + 岛2 ( - x ) y 2 = 一r ( x ，y ) ， 所以，当( 3 2 9 ) 成立时，系统( 3 2 1 ) 的向量场对称于x 轴， 系统( 3 2 1 ) 的原点是中心。 i i ) 同理，当( 3 2 1 0 ) 成立时，系统( 3 2 1 ) 化为： 口x 22 d t 2 y + a 2 i x z y + a 0 2 y ， d 班y = - 2 x 3 + 岛2 x y 2 口f 将一y 代入，得 1 7 ( 3 2 1 4 ) 因此由对称原理知 ( 3 2 1 5 ) 中南大学硕士学位论文 第三章两类系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支， x ( x ，- y ) = 一y - - a 1 2 2 2 y = 一( y + 口1 2 x 2 y ) ，一，少， ( 3 2 1 6 ) y ( x ，一y ) = _ 2 x 3 + 6 如( 一y ) 2 + 6 1 2 工( 一j ，) 2 = 】，少) ， 所以，当( 3 2 1 0 ) 成立时，系统( 3 2 1 ) 的向量场对称于j ，轴，因此由对称原理 知系统( 3 2 1 ) 的原点是中心。 由f ) ，i i ) 得： 定理3 2 3 系统( 3 2 1 ) 的原点为中心的充分必要条件是系统原点的前6 个积分因子常数全部为零，即定理3 2 2 中的两个条件之一成立。 下面来求系统( 3 2 1 ) 的最高细焦点： 由a = 如= 五= 五= 五= o ，五o 依次求出5 2 。，a m 口：，6 l ：，2 ，得 包l = 0 ，口1 2 = 2 a 0 2 ， 吃- = 一1 z z 2 z + 2 1 协 b 。2 8 2 1 4 b 0 2 2 小勰， 2 o ，a 0 2 o ， 或 包l = o , a 1 2 = 2 6 0 2 ， 口2 t 一去( 2 2 磕+ 2 1 协 b 1 2 = 2 b 0 2 2 ，= 恶， 9 0 2 0 ，a 0 2 0 ， ( 3 2 1 7 ) ( 3 2 1 8 ) 化简( 3 2 1 7 ) 和( 3 2 1 8 ) 可得如下定理： 定理3 2 4 系统( 3 2 1 ) 的原点为6 阶细焦点的充分必要条件是下列两个 条件之一成立： b 2 1 叩。：嘲如口2 l = 一嚣磕， b t 2 8 2 州1 4 b ) 0 2 2 2 = 勰， ( 3 2 1 9 ) 州) ，：2i 而蒜， ( 3 2 1 9 b 0 2 o ，a 0 2 0 ， 6 2 i = o ，a 1 2 = 2 a 0 2 b 0 2 ，a 2 i = 一4 磕， b 1 2 = 2 碡，= 恶， b 0 2 o ，a 0 2 0 ， 1 8 ( 3 2 2 0 ) 中南大学硕士学位论文第三章两类系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 考虑系统( 3 2 1 ) 的扰动系统 拿= 融+ y + a 2 1 x 2 y + 口0 2 y 2 + 口1 2 x y 2 ， d t ( 3 2 2 1 ) d y ，= 2 8 y 一2 x 3 + 6 2 l x 2 y + b 0 2 y 2 + 6 1 2 x y 2 出 “ 由定理2 2 2 ，当( 3 2 1 9 ) 式成立时，有 a ( 丑，如，五，厶，五) a ( 6 2 i ，a 1 2 ，a 2 l ，岛2 ，) 一型塑! 塑z 竺塑丝塑! z 丝球 ( 3 2 2 1 ) 一， ，一， 7 7 3 5 2 0 8 8 3 7 9 5 7 1 3 0 0 2 0 1 4 1 6 0 1 5 6 2 5 ” 0 当( 3 2 2 0 ) 式成立时，也有( 3 2 2 1 ) 式成立。由此得： 定理3 2 5 如果系统( 3 2 1 ) 的原点为6 阶细焦点，则当0 j 1 ，且当系 统( 3 2 1 ) 的系数作适当微小扰动时，系统( 3 2 1 ) 在原点充分小邻域内恰有6 个包围初等结点o ( o ，0 ) 的极限环。 3 3 一类七次系统幂零奇点的中心焦点判定和极限环分支 本节在3 2 节所讨论的三次系统( 3 2 1 ) 的基础上，加上三个七次项，讨论 下面一类原点为幂零奇点的七次多项式系统 d x ， - 2 y + a z t x y + a 0 2 y + a 1 2 x y + a 0 7 y ， d t ( 3 3