名义利率与有效利率.ppt

2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,1,1.4 名义利率与有效利率,在复利计算中，利率周期通常以年为单位，它可以与计息周期相同，也可以不同。当利率周期与计息周期不一致时，就出现了名义利率和有效利率的概念。有的辅导书又称有效利率为实际利率。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,2,1、名义利率,名义利率是计息周期的利率与一年的计息次数的乘积。 例如：按月计算利息，月利率为1，也就是说：“年利率为12，每月计息一次”，年利率12称为名义利率。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,3,例如：有本金1000元，若按年利率12，每年计息一次， 一年后的本利和为：F1000（1+12）1120（元） 若按月利率1，每月单利计息一次， 一年后的本利和为：F=1000（1+112）1120（元） 可见这种条件下的计算结果是相等的。,如果按单利计息，名义利率与实际利率是一致的。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,4,2、有效利率（实际利率）,若用计息周期利率来计算周期利率，并将利率周期内的利息再生因素考虑进去，这时所得的利率周期利率称为利率周期的实际利率，又称为有效利率。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,5,已知名义利率为r，一个利率周期内计息m次， 则计息周期利率为i =r/m ， 在某个利率周期初有资金P。 根据一次支付终值公式可得该利率周期的终值F: F= P (1+r/m)m 根据利息的定义可得该利率周期的利息为： I=F-P= P (1+r/m)m-P=P (1+r/m)m 1 再根据利率的定义可得该利率周期的有效利率（实际利率） ieff=I/P= (1+r/m)m -1,根据利率的概念来推导有效利率的计算公式,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,6,通过具体计算来看名义利率与实际利率,例如：有本金1000元，年利率12，每月复利计息一次， 一年后的本利和为： F1000（1+1212）121126.8（元） 实际利率（有效利率）为： i=(1126.8-1000)100010012.68； 或者，通过实际利率的计算公式：ieff= (1+r/m)m -1 直接计算ieff（1+1212）12-112.68,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,7,年名义利率为6，不同计息期的实际利率,由表可见，当计息期数m=1时，名义利率等于实际利率。,当m1时，实际利率大于名义利率，且m越大，即一年中计算复利的有限次数越多，则年实际利率相对与名义利率就越高。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,8,年名义利率为12，不同计息期的实际利率,同样可见，当计息期数m=1时，名义利率等于实际利率。,当m1时，实际利率大于名义利率，且m越大，即一年中计算复利的有限次数越多，则年实际利率相对与名义利率就越高。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,9,间断计息与连续计息,复利计息有间断复利和连续复利之分。如果计息周期为一定的时间（如年、季、月）并按复利计息，称为间断计息。如果计息周期缩短，短到任意长的时间均可，也就是无限缩短，则称为连续复利计息。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,10,连续复利的计算公式推导,由上面的讨论可知，对同一个年利率，计息次数越多，也就是计息周期越小，实际利率就越高。对于名义利率r，若在一年中使计息次数无限多，也就是使计息周期无限小，就可以得出连续复利的一次性支付计算公式如下：,自然对数的底，其值为2.7182818,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,11,某地向世界银行贷款100万美元，年利率为10，试用间断计息法和连续计息法分别计算5年后的本利和。 解：用间断复利计算： F=P(1+i)n =100（1+10）5161.05（万） 或： F=P(F/P,i,n) =100(F/P,10%,5) =1001.6105161.05（万） 用连续复利计息计算：利率：i=er-1 F=P(1+i)n=P(1+ er-1)n=Pern =100e 0.15164.887（万）,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,12,间断计息与连续计息的理论与实际意义,从理论上讲，资金是在不停地运动着的，每时每刻都会在生产和流通环节中增值，应采用连续复利计算资金的时间价值。而实际的经济活动中，计息周期不可能无限缩短，通常都采用比较简便易算的间断计息法计算利息。尽管如此，这种连续复利的概念对投资决策、制定其数学模型极为重要。因为在高深的数学分析中，连续是一个必要的前提，故以连续性为出发点去对技术方案作更进一步的分析还是可取的。比如用连续复利计算的利息高于普通复利，故资金成本偏高，可以提醒决策者予以注意。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,13,3、名义利率与有效利率的应用,1）计息期为1年 有效年利率与名义利率相同，可直接利用6个复利计算公式进行计算。 例题：年利率为6，每年年末借款500元，连续借款12年，求年金终值和年金现值各位多少？ 解：F=A(F/A,i,n)=A(F/A,6%,12) =50016.86998434.95（元） P=A(P/A,i,n)=A (P/A,6%,12) =5008.38384191.9（元）,例题：年利率为9，每年年初借款4200元，连续借款43年，求其年金终值和年金现值。,A=4200,A=4200(1+9%),F=A(F/A,i,n)=4200(1+9%)440.8457 2018191.615（元）,P=A(P/A,i,n)=4200(1+9%)10.838 49616.364（元）,解：本题年金发生在年初，而等额支付年金公式中年金均发生在年末，因此，应将现金流量作如下等额变换，然后在计算等额年金终值（现值）公式进行计算。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,15,例题：年利率为12，每年年末支付1次，连续支付8年，8年末累积金额15000元，求其相应的等额支付。,解：A=F(A/F,i,n) =150000.2013 3019.5（元）,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,16,2）计息期短于一年,（1）计息期与支付期相同 有效利率i=r/m, 计息期数n=m年数。 例题：年利率为12，每半年计息1次，从现在起连续3年每半年等额年末存款200元，问与其等值的第0年的现值是多少？ 解：计息期为半年的有效利率i=r/m1226, 计息期数n=m年数236次 则P=A （P/A, i, n）200 （P/A, 6, 6） 2004.9173983.46元,（2）计息期短于支付期,例题：年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多少？,分析：计息期为一个月，支付期为一个季度，即3个月，计息期短于支付期。这样，计息期末不一定有支付，所以不能直接采用利息公式计算，需要进行修改，使之符合计息公式，修改方法有如下三种：,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,18,方法一：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列。,将年度支付转换为计息期末支付,A=F(A/F,i,n)=1000(0.2390)=239（元）,r=12%,n=4,则I=12%43,经过转变后，计息期和支付期完全重合，可直接利用利息公式进行计算，并适用于后两年。,F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12) =23914.1923392元,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,20,F=1000(1.267)+1000(1.126)+1000=3392元,方法二：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。,F/P,3,8,F/P,3,4,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,21,支付期为1年，名义利率为12，计息4次 年有效利率： ieff= (1+r/m)m 1 = (1+12/4)4 112.55 由此可得： F=A(F/A,i,n) =A(F/A,12.55%,3) =10003.39233392元,方法三：先求出支付期的有效利率，然后在此基础上进行计算。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,22,（3）计息期长于支付期,由于计息期内有不同时刻的支付，通常规定存款必须存满一个计息周期时才计利息，即在计息周期间存入的款项在该期不计算利息时，要在下一期才计算利息。因此，原财务活动的现金流量图应按以下原则进行整理：计息期间的存款放在期末，计息期间的提款放在期初，计息期分界点处的支付保持不变。,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,23,计息期间的存款放在期末，计息期间的提款放在期初，计息期分界点处的支付保持不变。,现金流量如图所示：年利率为12%,每季度计息1次，求年末终值F是多少？,F=（-300+200）（1+124）4 +300（1+124）3 +100（1+124）2 -300（1+12%4） +100 112.36元,2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,25,本章小结,现金流量图 资金的时间价值 单利 F = P(1+ni) 复利 复利终值 F = P(1+i)n = P(F/P, i, n) 复利现值 P = F (1+i)-n = F(P/F, i, n),2019/9/21,东南大学交通学院 冒刘燕,26,等额支付复利终值 F= A (1+i)n-1/ i = A(F/A, i, n) 等额支付现值计算 P= A (1+i)n-1/ i(