2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例教案理新人教A版.docx

第7讲解三角形的应用举例基础知识整合1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角如B点方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90)如北偏东，南偏西.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45角称为西南方向、东北方向等(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围是.1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10答案B解析由题可知ABC50，A，B，C位置如图故选B.2(2019武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC()A10 n mile B. n mileC5 n mileD5 n mile答案D解析由题意可知，CAB60，CBA75，所以C45，由正弦定理得，所以BC5.3(2019厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A10 mB5 mC5(1) mD5(1) m答案D解析直角三角形中，根据三角函数的定义得10，解得AB5(1)(m)故选D.4如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为_km.答案7解析8252285cos(D)3252235cosD，cosD.AC7(km)5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.核心考向突破考向一测量距离问题例1(2019江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20 海里B40 海里C20(1) 海里D40 海里答案A解析由题意可知，BDC904545，又BCD90，BCCD40(海里)在ADC中，ADC105，ACD906030，DAC45，由正弦定理可得AC20(1)(海里)在ABC中，由余弦定理得AB20(海里)故选A.触类旁通求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解即时训练1.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa.考向二测量高度问题例2(2019湖北模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.答案100解析依题意有AB600，CAB30，CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，得，有CB300，在RtBCD中，CDCBtan30100，则此山的高度CD100 m.触类旁通处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.即时训练2.要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解如图设电视塔AB高为x，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120.即(x)2x24022x40cos120，解得x40，电视塔高为40米考向三测量角度问题例3(2019沈阳模拟)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.触类旁通解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.即时训练3(2019山东泰安模拟)如图，A，B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45且相距5 海里的D处有一艘轮船发出求救信号此时在A处观测到D位于其北偏东30处，位于A北偏西30且与A相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意可得：BD5