2020版高考数学第三章三角函数、解三角形第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案新人教A版.docx

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式2019考纲考题考情1两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin。(2)cos()coscossinsin。(3)tan()。2两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sincoscossinsin()。(2)coscossinsincos()。(3)tan()。3二倍角公式(1)sin22sincos。(2)cos22cos2112sin2cos2sin2。(3)tan2。4常用公式的变化形式(1)asinbcossin()，其中cos，sin或asinxbcosxcos(x)，其中cos，sin。(2)tantantan()(1tantan)。(3)tan。(4)tan。1两角和与差的正切公式的变形：tantantan()(1tantan)。2二倍角余弦公式的变形：sin2，cos2。3一般地，函数f ()asinbcos(a，b为常数)可以化为f ()sin()或f ()cos()。一、走进教材1(必修4P131练习T5改编)计算：sin108cos42cos72sin42_。解析原式sin(18072)cos42cos72sin42sin72cos42cos72sin42sin(7242)sin30。答案2(必修4P137A组T5改编)已知sin，则sin的值为()ABCD解析因为，所以，cos0，cos，所以sinsinsincoscossin。故选D。答案D二、走近高考3(2018全国卷)已知tan，则tan_。解析tan，解得tan。解析：因为tan，所以tantan。答案三、走出误区微提醒：不会逆用公式找不到思路；不会合理配角出错；忽视角的范围，用错公式。4化简：_。解析原式。答案5若tan，tan()，则tan_。解析tantan()。答案6已知，且sin，则tan2_。解析sin，得sincos，平方得2sincos，可求得sincos，所以sin，cos，所以tan，tan2。解析：因为且sin，所以cos，所以tan，所以tan，故tan2。答案考点一公式的基本运用【例1】(1)(2019贵阳市监测考试)sin15cos15的值为()ABCD(2)sin415cos415()ABCD(3)(2018全国卷)已知sincos1，cossin0，则sin()_。解析(1)sin15cos15sin60。故选A。解析：sin15cos15。(2)sin415cos415(sin215cos215)(sin215cos215)sin215cos215cos30。故选D。(3)因为sincos1，cossin0，所以sin2cos22sincos1，cos2sin22cossin0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sincoscossin)1，所以sin()。答案(1)A(2)D(3)1使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征。2使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值。【变式训练】(1)已知sin，则cos的值为()ABCD(2)计算的值为_。解析(1)因为sin，所以cos，sin22sincos2，cos212sin21221，所以cos。故选A。(2)。答案(1)A(2)考点二公式的逆用与变形【例2】(1)若，则(1tan)(1tan)_。(2)(2019四省八校双教研联盟联考)f (x)(1tanx)的最小正周期为_。解析(1)tantan()1，所以1tantantantan，所以1tantantantan2，即(1tan)(1tan)2。(2)f (x)(1tanx)2(cosxsinx)4sin，则最小正周期T2。答案(1)2(2)2运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形。公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力。【变式训练】(1)sin42cos18cos138cos72_。(2)(1tan20)(1tan21)(1tan24)(1tan25)_。解析(1)sin42cos18cos138cos72sin42cos18cos42sin18sin(4218)sin60。(2)(1tan20)(1tan25)1tan20tan25tan20tan251tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan252，同理可得(1tan21)(1tan24)2，所以原式4。答案(1)(2)4考点三角的变换问题【例3】(2018江苏高考)已知，为锐角，tan，cos()。(1)求cos2的值；(2)求tan()的值。解(1)cos2。(2)因为，为锐角，所以(0，)。又因为cos()，所以sin()，因此tan()2。因为tan，所以tan2，因此，tan()tan2()。1解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示。当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系。2常见的配角技巧：2()()，()，等。【变式训练】(1)(2019南充模拟)已知，且cos，cos()，则sin_。(2)设090，若sin(752)，则sin(15)sin(75)_。解析(1)因为已知，且cos，cos()，所以sin，sin()，则sinsin()sin()coscos()sin。(2)因为090，所以75752255。又因为sin(752)0，所以180752255，角752为第三象限角，所以cos(752)。所以sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)sin(302)sin(752)45sin(752)cos45cos(752)sin45。答案(1)(2)1(配合例1使用)已知f (x)sinxcosx，实数满足f ()3f ()，则tan2()ABCD解析由f (x)cosxsinx，所以f ()cossin。由f ()3f ()，得cossin3sin3cos，所以2sin4cos，即tan2。所以tan2。故选A。答案A2(配合例2使用)已知atanb(abtan)tan，且与的终边相同，则的值为()ABCD解析已知等式可化为atanbatanbtantan，即b(1tantan)a(tantan)，所以tan()，又因为与的终边相同，即2k(kZ)，所以tan()tantan，即，故选B。答案B3(配合例3使用)已知，为锐角，tan，cos()。(1)求sin；(2)求2。解(1)因为所以sin2，又因为为锐角，所以sin。(2)因为，为锐角，cos()0。所以，所以sin()。由(1)可知sin，cos，所以sin(2)sin()sincos()cossin()0，又因为，所以2，所以2。以黄金分割为背景的三角函数求值众所周知，0.618叫做黄金分割比，黄金分割最早起源于几何学，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的。黄金分割的定义：把任一线段分割成两段，使，如图，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。设此黄金比为x，不妨设全段长为1，则大段长为x，小段长为1x，故有，即x2x10，解得x，其正根为x0.618 034 00.618为黄金分割比。【典例】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m2sin