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课时跟踪检测(十八)利用导数证明不等式1(2019唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x,a0.(1)求函数f(x)的最小值;(2)当x2a时,证明:a.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)x.当x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x(a,)时,f(x)0,f(x)单调递增所以当xa时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)a2a2ln a.(2)证明:由(1)知,f(x)在(2a,)上单调递增,则所证不等式等价于f(x)f(2a)a(x2a)0.设g(x)f(x)f(2a)a(x2a),则当x2a时,g(x)f(x)axa0,所以g(x)在(2a,)上单调递增,当x2a时,g(x)g(2a)0,即f(x)f(2a)a(x2a)0,故a.2(2018黄冈模拟)已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数,求的取值范围;(2)求证:当0x1x2时,e1x2e1x11.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xex,f(x)ex,函数f(x)是单调函数,f(x)0或f(x)0在(0,)上恒成立,当函数f(x)是单调递减函数时,f(x)0,0,即xex0,xex.令(x),则(x),当0x1时,(x)0;当x1时,(x)0,则(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,当x0时,(x)min(1),.当函数f(x)是单调递增函数时,f(x)0,0,即xex0,xex,由得(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,又(0)0,当x时,(x)0,0.综上,的取值范围为0,)(2)证明:由(1)可知,当时,f(x)ln xex在(0,)上单调递减,0x1x2,f(x1)f(x2),即ln x1ex1ln x2ex2,e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11,只需证ln x1ln x21,即证ln 1,令t,t(0,1),则只需证ln t1,令h(t)ln t1,则当0t1时,h(t)0,h(t)在(0,1)上单调递减,又h(1)0,h(t)0,即ln t1,故原不等式得证3(2019贵阳模拟)已知函数f(x)kxln x1(k0)(1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;(2)求证:当nN*时,1ln(n1)解:(1)f(x)kxln x1,f(x)k(x0,k0);当0x时,f(x)0;当x时,f(x)0.f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minfln k,f(x)有且只有一个零点,ln k0,k1.(2)证明:由(1)知xln
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