2020版高考数学第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布（选修_3）第3节二项式定理应用能力提升.docx

第3节二项式定理【选题明细表】知识点、方法题号二项展开式的特定项或项的系数1,2,3,5,6,7,9,10二项式系数的性质、系数和4,8,12二项式定理的简单应用11,13,14,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2019陕西渭南市一模)在（x+）n的展开式中,各项系数与二项式系数和之比为64,则x3的系数为(C)(A)15 (B)45 (C)135 (D)405解析:令（x+）n中x为1得各项系数和为4n,又展开式的各项二项式系数和为2n,且各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,所以=64,解得n=6,所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1=3r.令6-r=3,求得r=2,故展开式中含x3的系数为32=135,故选C.2.(2018福建龙岩模拟)已知二项式（1+-2x）4,则展开式的常数项为(B)(A)-1(B)1(C)-47(D)49解析:二项式（1+-2x）4=1+（-2x）4=1+4（-2x）+6(-2x)2+4(-2x)3+(-2x)4,所以展开式中的常数项产生在1,6(-2x)2,(-2x)4中,分别是1,62(-2x),()2(-2x)2,它们的和为1-24+24=1.故选B.3.(2018郑州市质检)二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为-,则x2dx的值为(B)(A)(B)(C)3(D)解析:因为Tr+1=(ax)6-r()r=a6-r()rx6-r,所以第二项的系数为a5=-,所以a=-1,所以x2dx=x2dx=x3|=(-)-(-)=.4.(2018黑龙江大庆市二模)在二项式(x-)n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2的系数是(C)(A)35 (B)-35(C)-56(D)56解析:因为在二项式(x-)n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,所以展开式中第5项是中间项,共有9项,所以n=8.展开式的通项公式为Tr+1=x8-r（-）r=(-1)rx8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中含x2的系数是(-1)3=-56.故选C.5.(2018福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为(A)(A)100 (B)15 (C)-35 (D)-220解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r2r,令6-r=3,r=3,(x+2)6的展开式中x3的系数为8=160;令6-r=4,r=2,可得(x+2)6的展开式中x4的系数为-4,所以(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为8-4=160-60=100.故选A.6.(2017南平市一模)（x+）（2x-）5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(D)(A)-40(B)-20(C)20 (D)40解析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故原式为（x+）（2x-）5,其常数项为-22+23=40.故选D.7.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则=.解析:通项公式Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,令r=3,则a3=(-2)3=-80;令r=2,则a2=(-2)2=40,所以=-2.答案:-28.(2018柳州市、钦州市一模)已知a=dx,则在（+）10的展开式中,所有项的系数和为.解析:a=dx=4=2,令x=1,可得在（+）10的展开式中,所有项的系数和为310.答案:310能力提升(建议用时:25分钟)9. “n=5”是“（2+）n(nN*)的展开式中含有常数项”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为（2+）n(nN*)展开式的通项Tr+1=2n-r,（2+）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当n=5时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当n=10时,r=6,也有常数项,但是不满足n=5.故“n=5”是“（2+）n(nN*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选A.10.(2018安徽蚌埠第二次质检)二项式（-）n的展开式中,所有项的二项式系数之和为4 096,则常数项等于.解析:在（-）n的展开式中,所有项的二项式系数之和为2n=4 096,则n=12,所以（-）12的展开式的通项公式为Tr+1=()12-r（-）r=(-1)r,令4-r=0,解得r=3,所以其常数项为(-1)3=-220.答案:-22011.已知f(x)=x+在区间1,4上的最小值为n,则二项式（x-）n展开式中x2的系数为.解析:f(x)=1-=,x1,4. 令f(x)=0,解得x=3.所以x1,3时,函数f(x)单调递减;x(3,4时,函数f(x)单调递增.所以x=3时,函数f(x)取得最小值6.所以（x-）6的展开式的通项公式Tr+1=x6-r（-）r=(-1)rx6-2r,令6-2r=2,解得r=2,所以二项式（x-）n展开式中x2的系数为=15.答案:1512.如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4的系数为.解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-513.已知（-）n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为(-2)4,第三项的系数为(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式Tr+1=()8-r（-）r=(-2)r.令-2r=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.14.已知fn(x)=(1+x)n.(1)若f2 017(x)=a0+a1x+a2 017x2 017,求a1+a3+a2 015+a2 017的值;(2)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6的系数.解:(1)因为fn(x)=(1+x)n,所以f2 017(x)=(1+x)2 017,又f2 017(x)=a0+a1x+a2 017x2 017,所以f2 017(1)=a0+a1+a2 017=22 017, f2 017(-1)=a0-a1+a2 016-a2 017=0, -得2(a1+a3+a2 015+a2 017)=22 017,所以a1+a3+a2 015+a2 017=22 016.(2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.所以g(x)中含x6的系数为+2+3=99.15.(2017湖北武汉模拟)已知（+2x）n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解:(1)因为+=2,所以n2-21n+98=0.所以n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为（）423=,T5的系数为（）324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的