高考数学总复习第五章平面向量、复数第28讲平面向量的概念及线性运算练习理新人教版.docx

第五章平面向量、复数【p60】1平面向量2复数第28讲平面向量的概念及线性运算夯实基础【p60】【学习目标】1理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示；2掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义；3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；4了解向量线性运算的性质及其几何意义【基础检测】1下列说法错误的是()A向量与的长度相同B单位向量的长度都相等C向量的模是一个非负实数D零向量是没有方向的向量【解析】选项A中，向量与互为相反向量，故长度相同，因此A正确；选项B中，单位向量的长度都为1，因此B正确；选项C中，由于0，因此C正确；选项D中，零向量的方向任意，不是没有方向，因此D不正确【答案】D2.()A0 B0C2D2【解析】由向量加法的运算法则可知0.【答案】B3如图，已知a，b，3，则()A.abB.abC.abD.ab【解析】由3可以得到3()，整理得ab.【答案】D4已知m，nR，a，b是向量，有下列命题：m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.其中正确的是()A BC D【解析】由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以正确；当m0时，a，b不一定相等，当a0，m，n未必相等，所以错误【答案】D5设e1，e2是两个不共线的向量，且ae1e2与be2e1共线，则实数()A1 B3 CD.【解析】ae1e2与be2e1共线，存在实数t，使得bta，即e2e1t(e1e2)，即e2e1te1te2，t1，t，即.【答案】D【知识要点】1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab.3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.典例剖析【p61】考点1平面向量的概念给出下列结论：两个单位向量是相等向量；若ab，bc，则ac；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若，则ab；若a与b共线，b与c共线，则a与c共线其中正确结论的个数是()A1个 B2个C3个D4个【解析】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，错误；若ab，bc，则ac，向量相等具有传递性，正确；一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，正确；若，则ab，还要方向相同才行，错误；a与b共线，b与c共线，则a与c共线，当b为零向量时不成立，错误【答案】B【点评】向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度(2)非零共线向量：方向相同或相反(3)单位向量：长度是一个单位长度(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等考点2平面向量的线性运算(1)如图，ABC中，记a，b，则_(用a和b表示)【解析】ba(ab)(ba). 【答案】(ba)(2)平面直角坐标系中，O为原点，A，B，C三点满足，则()A1 B2C3 D.【解析】，3.【答案】C(3)如图所示，下列结论正确的是()ab; ab；ab; ab.A B C D【解析】由ab，知ab，正确；由ab，从而错误；b，故ab，正确；2bab，错误综上，正确的为.【答案】C(4)如图，在ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD, E为线段AD的中点，若mn，则mn_【解析】()()，又mn，mn.【答案】【点评】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理，属于中档题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握考点3共线向量定理的应用已知非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)若kab和akb共线，求实数k的值【解析】(1)因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，所以与共线又，有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使得kab(akb)，即kabakb，所以(k)a(k1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以kk10，所以k210，所以k1.经检验，k1均符合题意【点评】利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这两个向量的公共点在ABC中，已知a，b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足ab，则动点P的轨迹为_【解析】依题意，由ab，得(ab)，即()如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，则，所以A，P，D三点共线，即点P的轨迹是AD所在的直线，即BC边上的中线所在直线【答案】BC边上的中线所在直线【点评】共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值方法总结【p62】1向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义2向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线走进高考【p62】1(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A.B.C.D.【解析】法一：如图所示，()().法二：().【答案】A2(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_【解析】因为向量ab与a2b平行，所以abk(a2b)，则所以.【答案】考点集训【p208】A组题1在ABC中，ABAC, D，E分别是AB，AC的中点，则()A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等【解析】本题考查的是共线向量和相等向量的概念，根据概念，选B.【答案】B2在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对【解析】由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形【答案】C3如图，已知OAB，若点C满足2，(，R)，则()A.B.C.D.【解析】2，即2()，故.【答案】D4已知A，B，C三点不共线，且点O满足0，则下列结论正确的是()A.B.C.D.【解析】0，O为ABC的重心，()()()(2).【答案】D5e1，e2是平面内不共线两向量，已知e1ke2，2e1e2，3e1e2，若A，B，D三点共线，则k_【解析】e12e2，又A，B，D三点共线，则，即k2.【答案】26已知点P，Q是ABC所在平面上的两个定点，且满足0，2，若|，则正实数_【解析】0，点P是线段AC的中点，2，22，点Q是线段AB的中点，|，.【答案】7如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线【解析】(1)延长AD到G，使.连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线B组题1已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()AaBbCcD0【解析】依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0.【答案】D2在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_【解析】由题意可求得AD1，CD，所以2.点E在线段CD上，(01)，又2，1，即.01，0.即的取值范围是.【答案】3如图，将两个直角三角形拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若，当取最大值时，的值是_【解析】如图所示，设AMBN，且AMBN，由题意知，当取最大值时，点E与点B重合RtA