2018届高三数学一轮复习平面解析几何第三节圆的方程课件理.pptx

理数 课标版,第三节 圆的方程,1.圆的定义及方程,教材研读,2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)若M(x0,y0)在圆外,则 (x0-a)2+(y0-b)2r2 . (2)若M(x0,y0)在圆上,则 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 . (3)若M(x0,y0)在圆内,则 (x0-a)2+(y0-b)2r2 .,1.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 由题意得圆的半径为 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故 选D.,2.以线段AB:x+y-2=0(0x2)为直径的圆的方程为 ( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8 答案 B 直径的两端点分别为(0,2),(2,0),圆心为(1,1),半径为 ,故 圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.,3.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是 ( ) A.-1a1 B.0a1 C.-1a D.- a1 答案 D 由(2a)2+(a-2)25得- a1.,4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为 . 答案 (x-2)2+y2=10 解析 易得线段AB的中垂线方程为2x-y-4=0,与x轴的交点坐标为(2,0), 即为圆心C的坐标,所以半径为|CB|= ,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.,5.(2016浙江文,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆, 则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);5 解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2 时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+ =0,亦即 +(y+1)2=- ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25, 故圆心为(-2,-4),半径为5.,考点一 求圆的方程 典例1 (1)(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点, 且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 ; (2)(2016百校联盟2月联考)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程为 . 答案 (1) +y2= (2)(x-2)2+(y-1)2=10 解析 (1)由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2). 易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐 标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程为 +y2= . (2)解法一:圆过A(5,2),B(3,-2)两点,考点突破,圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 易知线段AB的垂直平分线方程为y=- (x-4). 设所求圆的圆心为C(a,b),则 解得 C(2,1),半径r=|CA|= = , 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 则 解得,所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.,方法技巧 常见的求圆的方程的方法:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半 径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法.如果给定的条件易求圆 心坐标和半径长,那么选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径 关系不密切或涉及圆上多点,那么常选用一般方程求解.,1-1 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直 线2x-y=0的距离为 ,则圆C的方程为 . 答案 (x-2)2+y2=9 解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得 解得 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9,1-2 (2017广州四十七中期中)圆C通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1), 已知圆C在点P处的切线斜率为1,则圆C的方程为 . 答案 x2+y2+x+5y-6=0 解析 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则k,2为x2+Dx+F=0的两个根, k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k, 又圆过R(0,1),故1+E+F=0.E=-2k-1. 故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为 . 圆C在点P处的切线斜率为1,kCP= =-1, k=-3.D=1,E=5,F=-6. 圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.,考点二 与圆有关的最值问题 典例2 (1)已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点,点C是圆x2+y2-2x-2y+1= 0的圆心,那么|PC|的最小值是 ;,(2)若实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则 的最大值为 ,最小值 为 . 答案 (1)3 (2) ;- 解析 (1)点C到直线3x+4y+8=0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x +4y+8=0的距离,又圆心C的坐标是(1,1),因此最小距离为 =3. (2)原方程可化为(x-2)2+y2=3. = , 表示点P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的连线 的斜率,如图.,由图知 的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜 率. 又kPA= = = ,kPB=- =- =- , 的最大值为 ,最小值为- .,方法技巧 最值问题的几何转化法 (1)形如= 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的 平方的最值问题. 变式2-1 在若本例(1)的条件下,设点A为圆上的动点,试求|PA|的最小 值.,解析 易知|PA|的最小值=|PC|的最小值-圆的半径.由例题知圆心C与点 P的最小距离为3.又因为圆x2+y2-2x-2y+1=0的半径为1,所以|PA|的最小 值为3-1=2.,变式2-2 在本例(2)的条件下,求y-x的最大值和最小值. 解析 y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时, 纵截距b取得最大值或最小值,此时 = ,解得b=-2 . 所以y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- .,变式2-3 在本例(2)的条件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解析 x2+y2表示圆上的点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在 原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 =2, 所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 , x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .,考点三 与圆有关的轨迹问题 典例3 已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上 的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合); (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程. 解析 (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). 因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x2). (2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接 ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.,故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,方法技巧 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接 法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程; (3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点 的关系,代入已知点满足的关系式,从而得出方程.,3-1 已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以 OM、ON为两边作平行四边形MONP,求动点P的轨迹. 解析 四边形MONP为平