第四章扭转(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第 四 章 扭 转同济大学航空航天与力学学院 顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）（6）。2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。三、教学方式 通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时 6学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：图4-1*扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。I 圆轴扭转时的应力和强度计算一、外力偶矩、扭矩和扭矩图1、外力偶矩(T)的计算 KNm (7-1)Pp指轴所传递的功率（马力） n指轴的转速（转/分、r/min） KNm (7-2)PkW指轴所传递的功率（千瓦、Kw） n指轴的转速（转/分、r/min）2、扭矩（Mn）的确定及其符号规定（1）Mn的确定 截面法图4-3 （2）Mn的符号规定 右手螺旋法则图4-43、扭矩图 扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。作法：轴线（基线）x 横截面的位置纵坐标 Mn的值正、负 正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。图4-5解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。 （2）作扭矩图，见图4-5，b一、 圆轴扭转时横截面上的应力1、实心圆轴（1）的分布规律(a) (b) 图4-6（2）的方向由Mn确定，与M n同向（见图4-6，a） 注意半径（3）的计算 (7-3)式中Mn- 横截面上的扭矩； -指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; Ip-指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为。（4）计算公式的讨论：对于某一根受扭的圆轴而言，一定发生在所在段；在确定的截面上，一定发生在处（周边上）；Ip的意义从的计算公式讨论Ip ：Ip愈大，愈小；从应力分布状况讨Ip ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。 2、空心圆轴（1）的分布规律（2）的计算图4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同空心圆轴的Ip空计算 式中的（3）的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。3、薄壁圆筒（1） 界限及误差当时，可用薄壁圆筒公式计算，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。（2） 的分布规律 图4-8（3）的计算 （r0见图4-8） （7-4） 三、圆轴扭转时斜截面上的应力横截面上：发生在周边各点，=0圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:图4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn上的应力：设斜截面mn的面积为dA,则mb面和bn面的面积：选取参考轴、写出平衡方程： 利用，整理上两式，得： (a) (b)据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于。 （2）由（a）式知：即：图4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。 （低碳钢） （ 铸铁 ）图4-11四、圆轴扭转时强度条件 （7-5）-等直圆轴受扭时的强度条件对于实心圆截面 对于空心圆截面 而 ：（1）可通过扭转试验测定：S-塑性材料b-脆性材料（2）例题4-2 已知：主传动轴AB由45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,=60MPa,工作时承受Mnmax=1.5KNm试：校核该轴的强度。图4-12解：1、 按薄壁圆管公式计算：2、 按空心圆轴公式计算：校核结果：强度足够。两种计算方法的误差比较：例题4-3 若将AB轴改为实心轴，应力条件相同（即），试确定实心轴的直径D1=？并比较空心轴和实心轴的重量。解：两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比则： （用料） （重量）小结：在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。图4-13、圆轴扭转时的变形计算1、扭转角与剪切角的概念图4-142、圆轴扭转时的变形计算扭转角的计算rad（弧度） （7-6）（度） （7-7）单位长度扭转角的计算Rad/m （7-8）/m （7-9）3、扭转时刚度条件Rad/m （7-10）/m （7-11）例题4-4 某轴AB段是空心轴，内外径之比；BC段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的=80MPa、=1、G=80GPa,试设计D和d 应等于多少？图4-15解：1、作扭矩图 2、根据强度条件设计D、dAB段：BC段：3、根据刚度条件设计D、dAB段：BC段：4 结论：D=61.1mm 刚度条件确定。d=48.1mm 刚度条件确定。 扭转超静定例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, =50MPa、=2.5、G=,试对此轴进行强度和刚度校核。图4-16解：截面的几何性质计算：AC段：CE段：求约束反力:解除A端约束，建立变形协调条件： 图4-17，即：将G、代入上式运算，得 再由静力平衡方程解出 强度校核BC段： DE段： 刚度校核BC段： DE段： 均 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别（a） (b)图4-18圆截面杆受扭：平面假定非圆截面受扭：截面翘曲图a所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图b）。说明：原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。二、非圆截面杆扭转的两种情况1、自由扭转等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转。因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。2、约束扭转由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形1、矩形截面杆（1）截面上剪应力的分布规律图4-19最大剪应力发生在截面长边的中点处 -与截面尺寸比值（h/t）的有关系数（短边中点）-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数式中： 、可按截面尺寸比值从教材提供的表格中查取。截面周边各点处的剪应力方向一定与周围平行（相切）。截面凸角点处的剪应力一定为零。（2）单位长度扭转角的计算式-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数2、狭长矩形截面杆当矩形截面的h/t10时，称为狭长矩形。（1）截面上的应力分布规律最大剪应力发生在截面长边除靠近顶点外的各点。 长边上除靠近顶点以外均相等长边各点处的剪应力方向均与长边相切。截面凸角点的剪应力为零。图4-20（2）单位长度扭转角的计算式 例题4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面I-I上的可近似地按矩形截面杆受扭计算。若t=23