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上一节课内容复习,1)熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望. (下面三组公式是本章最重要的基础公式),设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数,,2)掌握数学期望的性质,会用性质求期望,3)熟练掌握方差的定义和性质;,称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。,则 EY = 0, DY = 1。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,方差的定义 方差的性质 切比晓夫不等式,一、方差的定义,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度, 可用E|X-EX|,但不方便;所以通常用,设 X 是随机变量,若 存在,,来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。,称其为随机变量 X 的方差,记作 DX,或 Var ( X ) ,即:,1)定义:,离散型:,连续型:,第四章 随机变量的数字特征,2)方差公式,注:方差描述了随机变量的取值与其均值的偏 离程度。,由此式还可得:,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例1,甲、乙两人射击,他们的射击水平由下表给出:,X:甲击中的环数;,Y:乙击中的环数;,试问哪一个人的射击水平较高?,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例1(续),解:,比较两个人击中的平均环数,甲击中的平均环数为,乙击中的平均环数为,由于,这表明乙的射击水平比甲稳定,因此,从平均环数上看,甲乙两人的射击水平是一样的,但两个人射击环数的方差分别为,二、方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,证3):,第四章 随机变量的数字特征,称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。,则 EY = 0, DY = 1。,性质4)的证明将在后面给出。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14,解:,第四章 随机变量的数字特征,先求:,例 14(续),2 方差,第四章 随机变量的数字特征,则:,第四章 随机变量的数字特征,三、定理:(切比晓夫不等式),则对任意,设随机变量 X 有数学期望,证明:(只证 X 是连续型),例如:在上面不等式中,取 ,有:,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下,事件,的概率的一种估计方法。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例15,设种子的良种率为1/6,任选600粒,试用切比晓 夫(Chebyshev)不等式估计:这600粒种子中良种所 占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。,解:,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例16,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例16(续),2 方差,第四章 随机变量的数字特征,小结: 1)方差的定义; 2)方差的性质; 3)切比晓夫不等式。,第四章 随机变量的数字特征,3.几种重要随机变量 的数学期望及方差,两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布,第四章 随机变量的数字特征,2) 二项分布,1)两点分布,3 几种期望与方差,方法1:,第四章 随机变量的数字特征,,,所以,方法1说明了二项分布与两点分布的关系。,即,3 几种期望与方差,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,方法2:,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3)泊松分布,设 X 服从参数为 的泊松分布,,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,4)均匀分布,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,5)正态分布,作变换,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,说明:,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,注意:在上一节用切比晓夫不等式估计概率有,因此,对于正态随机变量 X 来说,它的
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