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空间解析几何 2013年大学数学竞赛相关知识复习,雷澜,1、相关知识要点,2、往年实际赛题演练,3、模拟赛题演练,本讲内容,1.1.1 平面的点法式方程,得:,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,称方程(1) 为平面的点法式方程.,(1),1.1. 平面的方程,1.1. 2 平面的一般方程,1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n = A, B, C,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2),称为平面的一般方程.,(3)即平面的截距式方程。,1.1. 3 平面的截距式方程,(3),1.1. 4 平面方程的几种特殊情形,(1) 过原点的平面方程,由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:,Ax + By + Cz = 0,(2) 平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特别: D = 0时, 平面过坐标轴.,(3) 平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是,平行于xOz 面的平面方程是,平行于yOz 面的平面方程是,Cz + D = 0;,By + D = 0;,Ax + D = 0.,一.2 空间直线的方程,空间直线可看成两平面的交线,(4)称为空间直线的一般方程,1.2.1 空间直线的一般方程,1.2.2 直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0, y0, z0)点,方向向量 s =m, n, p,所以得比例式,(5),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,1.2.3 空间直线的参数式方程,得:,(6)称为空间直线的参数方程.,(6),令,定理 如果两个平面,2：A2x+B2y+C2z+D2=0,1：A1x+B1y+C1z+D1=0,交于一条直线L，则以直线L为轴的有轴平面束的 方程为,m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0,其中m,n是不全为零的任意实数。（证略）,一.3 平面束,解: 所求直线L看以看做 过 L1且垂直于的平面1与平面的交线.,例1* 求直线 在平面 内的投影直线L的方程.,则 由例1可得,投影直线L的方程为:,例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2 的平面的方程。,解：,设所求平面的方程为,3x+y-z+=0,因为平面在Oz轴上的截距为-2，故平面过点(0,0,-2).,由此得,2+=0, 即 =-2,故所求平面的方程为,3x+y-z-2=0,解 设的方程为：,(*),例4 试证两直线,在同一平面上的充要条件是,与,证,因为通过 的任意平面的方程为,而通过 的任意平面为,因此两直线在同一平面上的充要条件是存在 不全为零的实数,使(1)与(2)的左端仅相差,一个不为零的数因子,，即,化简整理得,所以,所以得,而,因此两直线共面的充要条件为,即,例5 设三平面的方程：,其中,为参数，试求,（1）三平面交于一点的充要条件；,（2）三平面通过同一直线的充要条件；,（3）三平面无公共点的充要条件。,解（1）三平面交于一点，就是由三平面的方程构成的,方程组有惟一解的问题，,从代数学中知道，其充要条件,为其系数行列式不为零。,即,（2）三平面通过同一直线，,由(1)知必有,且平面,属于以,的交线,为轴的平面束，,因此有,由此得,解得,因此三平面通过同一直线的充要条件为,（3）由(1)与(2)知，三平面无公共点的充要条件为,观察柱面的形成过程:,定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.,1.4 柱面,母线,准线,一般柱面,注意：柱面的准线不唯一。,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (10),从（9）（10）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（7）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。,例1.4.1,解法一,母线的方向数即为轴的方向数1，2，2.,问题也就解决了.,因为圆柱面的母线平行于其轴，,所以,如果能求出圆柱面的准线圆，,那么再运用前面的解法，,因为空间的圆,总可以看成是某一球面与某一平面的交线.,已知圆柱面的轴为 ，,这里的圆柱面的准线圆，,可以看成是,(0,1,-1)为中心，,以轴上的点,点(0,1,-1),到已知点,(1,-2,1),与过已知点,且垂直于轴,(1,2,1),1，2，2 ,的交线.,的距离,为半径的球面,的平面,轴上的定点为 而圆柱面上的为 ， 所以,因此 到轴的距离为,例1.4.1 已知圆柱面的轴为,点(1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。,解法2：轴的方向向量为 v=（1,-2,-2),M0(0,1,-1),M1(1,-2,1),即准线圆的方程为,（11）,再设 为准线圆（11）上的任意一点，那么有,且过 的母线为,由上四式消去参数 即得所求的圆柱面的方程为,再设 为此圆柱面上的任意点，那么有,即,化简整理得所求圆柱面的方程为,柱面举例,抛物柱面,平面,定理1.4.1 在空间直角坐标系中,只含两个元(坐标)的三元方程所表示的曲面是一个柱面,它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴.,1.5 锥面,1.5.1 定义 通过一定点且与定曲线相交的一族直线 所产生的曲面叫做锥面.,这些直线都叫做锥面的母线.,那个定点叫做锥面的顶点.,锥面的方程是一个三元方程.,定曲线称为锥面的准线,F(x,y,z)= 0,准线,顶点,锥面是直纹面,锥面的准线不惟一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.,1.5.2 锥面的方程,设锥面的准线为,顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为：,设锥面的准线为,顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为：,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 （14）,从（13）（14）中消去参数x1,y1,z1得三元方程,F(x,y,z)=0,这就是以（12）为准线，以A为顶点的锥面方程。,定理1.5.2 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标 原点的锥面。,1.6.1 旋转曲面,定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的轴. 曲线C称为放置曲面的母线.,1.6 旋转曲面,1.6.2 旋转曲面的方程,在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：,旋转轴为直线：,其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。,设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线。,所以过M1的纬圆的方程为：,当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面。,又由于M1在母线上，所以又有：,从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一 个三元方程：,F(x,y,z)=0,这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。,规律：,当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个 坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将 曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的 坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代 替方程中的另一坐标。,1.6.3 特殊的旋转曲面的方程,例,在空间直角坐标系下,由方程,所表示的曲面叫做椭球面,或称椭圆面,通常假定abc0.,该方程叫做椭球面的标准方程.,1.7 椭球面,2009年,2010年,（2011年）,2012年 非数学类,一(2)（6分）求通过直线,的两个相互垂直的平面,使其中一个平面过点,解,设通过直线L的平面方程为,又因其中一个平面过点,所以,即,得,平面 的方程为,即,平面 的法向量为,又因两平面相互垂直，,平面 的法向量为,故,即,得,平面 的方程为,所以，,2012年 数学类,一（15分）设 为椭圆抛物面,求切锥面的方程,解法一,于是有,并且这个关于 t 的方程只有一个根,从原点作 的切锥面，,设 为切锥面上的点（非原点)，,存在唯一 t 使得 落在椭圆抛物面上,所以，判别式,即 为所求的切锥面方程,2012年 数学类,一（15分）设 为椭圆抛物面,求切锥面的方程,解法二,从原点作 的切锥面，,椭圆抛物面与yoz 面的交线为抛物线,所以，切线方程为,设从原点作 的切锥面与该抛物线的切点为,又可知，切线斜率为,切点既在抛物线上，又在直线