高中数学第二章双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案（含解析）新人教A版.docx

第2课时双曲线几何性质的应用学习目标1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题知识点一直线与双曲线的位置关系思考直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案不能梳理设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离知识点二弦长公式若斜率为k(k0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|.1若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()2直线l：yx与双曲线C：2x2y22有两个公共点()类型一直线与双曲线的位置关系例1已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且过点(，1)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解(1)由e，可得，所以a23b2，故双曲线方程可化为1.将点P(，1)代入双曲线C的方程，解得b21，所以双曲线C的方程为y21.(2)联立直线与双曲线方程，消去y，得(13k2)x26kx90.由题意得，解得1k0，m23.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2m，x1x2.由弦长公式|AB|x1x2|，得，即m5，满足m23，直线l的方程为yx5.(2)设直线l与双曲线交于A(x3，y3)，B(x4，y4)两点，点P(3,1)为AB的中点，则x3x46，y3y42.由x4y4，x4y4，两式相减得(x3x4)(x3x4)4(y3y4)(y3y4)0，l的方程为y1(x3)，即3x4y50.把此方程代入双曲线方程，整理得5y210y0，满足0，所求直线l的方程为3x4y50.反思与感悟(1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法跟踪训练2设双曲线的顶点是椭圆1的焦点，该双曲线又与直线x3y60交于A，B两点，且OAOB(O为坐标原点)(1)求此双曲线的方程；(2)求|AB|.考点直线与双曲线的位置关系题点弦长及弦中点问题解(1)已知椭圆的焦点为(0，1)，即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2mx21(m0)，又直线x3y6，A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程组成的方程组的两个解由得x2x30，当m时，显然不满足题意当m时，则又OAOB，0，x1x2y1y20，x1x2y1y2x1x2(x1x2)40，40，m，经验证，此时0.双曲线的方程为y21.(2)|AB|4.类型三由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解(1)设双曲线方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2，所以b1.故所求双曲线方程为y21.(2)将ykx代入y21，可得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点，得故k2且k22，得x1x2y1y22.又因为y1y2(kx1)(kx2)k2x1x2k(x1x2)222.所以22，所以0.又因为k2且k21，所以k21.所以k的取值范围是.反思与感悟当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解跟踪训练3已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即28，解得k0或k.又k0，符合题意，所求直线方程为3x4y50.5过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则满足条件的直线l有_条考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案3解析当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a2，而|AB|4，故可有两条若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1双曲线C与椭圆1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x2y0，则双曲线C的标准方程为()A.y21B.y21或y21Cx21或y21Dy21考点双曲线性质的应用题点双曲线与椭圆结合的有关问题答案B2设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C2D3考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案B解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，直线l的方程为xc或xc，代入1，得y2b2，y，故|AB|.依题意4a，2，e212，e.3双曲线1(ab0)的一条渐近线与椭圆1交于点M，N，则|MN|等于()AabB.aC.D.考点双曲线性质的应用题点双曲线与椭圆结合的有关问题答案C解析双曲线1的一条渐近线方程为yx，由得xa.所以|MN|x2x1|a4已知F1，F2分别为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2等于()A.B.C.D.考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案C解析由双曲线定义知，|PF1|PF2|2，又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4.|F1F2|2c2 4.cosF1PF2.5已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A4B3C2D1考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案B解析由双曲线x21的渐近线方程为y2x，点P(1,0)是双曲线的右顶点，则直线x1与双曲线只有一个公共点，过点P(1,0)且平行于渐近线y2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条6已知双曲线E：1(a0，b0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N(12，15)，则E的方程为()A.1B.1C.1D.1考点直线与双曲线的位置关系题点弦长及弦中点问题答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减可得.线段AB的中点坐标为N(12，15)，.直线的斜率为1，1.右焦点为F(3,0)，a2b29，解得a24，b25，E的方程为1.7已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.考点双曲线的几何性质题点双曲线范围的应用答案A解析由题意知a22，b21，所以c23，不妨设F1(，0)，F2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0)，所以x3y3y10，所以y00，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A，若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.B4C.D.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案A解析因为ABF2为等边三角形，不妨设|AB|BF2|AF2|m，A为双曲线上一点，|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，B为双曲线上一点，则|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，|F1F2|2c，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由用余弦定理，得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，则e27，即e.二、填空题9双曲线1的离心率e，则其两条渐近线方程为_考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案yx解析双曲线1，b3，又双曲线的离心率e，解得a4，双曲线的两条渐近线方程为yxx.10双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案解析双曲线右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是，则直线FB的方程是y(x5)，与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为，故AFB的面积为|AF|yB|2.11若双曲线1(a0，b0)与直线y2x无交点，则离心率e的取值范围是_考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案(1，解析由题意可得，双曲线的渐近线的斜率2，所以e.又e1，则离心率e的取值范围是(1，12过P(8,3)作双曲线9x216y2144的弦AB，且P为弦AB的中点，那么直线AB的方程为_考点直线与双曲线的位置关系题点弦长及弦中点问题答案3x2y180解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(8,3)为弦AB的中点，可得x1x216，y1y26，又9x16y144,9x16y144，两式相减，可得9(x1x2)(x1x2)16(y1y2)(y1y2)0，即为9(x1x2)6(y1y2)0，可得kAB，则直线AB的方程为y3(x8)，即3x2y180.三、解答题13已知双曲线的渐近线方程为y2x，且双曲线过点(3,4)(1)求双曲线的方程；(2)若直线4xy60与双曲线相交于A，B两点，求|AB|的值考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解(1)双曲线的渐近线方程为y2x，则设双曲线的方程为x2(0)，把(3,4)代入方程，得9，解得1，双曲线的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则整理得3x212x100，由根与系数的关系，得x1x24，x1x2，由弦长公式可知|AB|，|AB|的值为.四、探究与拓展14过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F作一条与其渐近线平行的直线l，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.15直