(精品论文)图像去噪处理毕业论文

图像去噪处理的研究及MATLAB仿真摘要 图像是一种重要的信息源，通过图像处理可以帮助人们了解信息的内涵。数字图像噪声去除涉及光学系统、微电子技术、计算机科学、数学分析等领域，是一门综合性很强的边缘科学，如今其理论体系已十分完善，且其实践应用很广泛，在医学、军事、艺术、农业等都有广泛且成熟的应用。MATLAB是一种高效的工程计算语言，在数值计算、数据处理、图像处理、神经网络、小波分析等方面都有广泛的应用。MATLAB是一种向量语言，它非常适合于进行图像处理。本文概述了小波阈值去噪的基本原理。对常用的几种阈值去噪方法进行了分析比较和仿真实现。最后结合理论分析和实验结果，讨论了一个完整去噪算法中影响去噪性能的各种因素。为实际的图像处理中，小波阈值去噪法的选择和改进提供了数据参考和依据。关键字：小波变换 图像去噪 阈值 MATLAB The Research of Image De-noising Based on MatlabAbstract Image is one kind of important information source, may help People through the imagery processing to understand the information the connotation. The digital image de-noise involves domains and so on optical system, microelectronic technology, computer science，mathematical analysis, its a very comprehensive interdisciplinary science, now its practice application is very widespread: In the medicine, the military, art, the agriculture and all have very extensive and ripe using so on. MATLAB is one kind of highly effective engineering calculation language，in aspects and so on value computation, data processing, imagery processing, neural network, wavelet analysis all has the widespread application.This article has stated the theory of wavelet threshold denoising ， then done comparing experiments using several good threshold denoising methodsFinally according to the theory analysis and simulation results，the paper discusses several kinds of factors which affect the denoising capability in a complete denoising algorithm That provides the date reference of threshold denoising methods in actual image processKeywords: Wavelet transformation; Image denoising; Wavelet threshold; MATLAB目 录前言第一章 图像与噪声 11.1 噪声图像模型及噪声特性1 1.1.1 含噪模型 1 1.1.2 噪声特性 11.2 图像质量的评价2 1.2.1 主观评价 2 1.2.2 客观评价 2第二章 图像去噪方法 42.1 传统去噪方法4 2.1.1 空域滤波 4 2.1.2 频域低通滤波法 52.2 小波去噪 8 2.2.1 小波去噪的发展历程 82.2.2 小波去噪的研究现状 9 2.2.3 小波去噪方法 11第三章 小波变换理论基础123.1 从傅里叶变换到小波变换123.2 小波理论的基本概念133.2.1 连续小波变换 133.2.2 离散小波变换 15第四章 小波阈值去噪及MATLAB仿真 184.1 小波阈值去噪概述 18 4.1.1 阈值去噪法简述 18 4.1.2 小波阈值去噪方法 184.2 基于MATLAB的小波去噪函数简介194.3 小波去噪对比试验 204.3.1 实验信号的产生 204.3.2 各参数下的去噪效果对比 224.4 利用小波去噪函数去除给定图像中的噪声25 总结与展望（本行顶头，下面的红色字去掉）281 全文工作总结282 工作展望28致谢语 30参考文献 31附录 34 前 言图像在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理(如分割、压缩和图像理解等)将产生不利影响。噪声种类很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。在图像处理中，图像去噪是一个永恒的主题，为了抑制噪声，改善图像质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪预处理。计算机图像处理主要采取两大类方法：一是在空间域中的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间域中的图像经过正交变换到频域，在频域里进行各种处理然后反变换到空间域，形成处理后的图像。人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律， 发展了各式各样的去噪方法。其中最为直观的方法，是根据噪声能量一般集中于高频而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪，或对图像进行平滑处理等，这属于第一类图像处理方法。还有就是在频域进行处理，如：傅立叶变换、小波基变换。近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，实际应用也非常广泛。其中图像的小波阈值去噪方法可以说是众多图像去噪方法的佼佼者。基本思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈值，从而达到较好的去噪目的。而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈值，通过处理低于该阈值的小波系数同时保持其余小波系数值不变的方法来降噪，因而大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处理效果并不理想。线形运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较之传统的去噪具有明显的优势，且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。所以小波去噪具有无可比拟的优越性。小波去噪主要优点有：低熵性，小波系数的稀疏分布，使得图象变换后的熵降低；多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；去相关性， 因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势， 所以小波域比时域更利于去噪；选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基， 从而对不同应用场合、不同的研究对象，可以选用不同的小波函数，以获得最佳的效果。本文以图像去噪方法为研究对象，以小波图像去噪为研究方向，对比了传统去噪方法与小波去噪方法，比较深入地研究了基于小波阈值的图像去噪，对其在图像去噪中的应用做了进一步的探讨。全文安排具体如下:第一章主要介绍噪声的特性和噪声模型，图像质量的评价方法。第二章主要对传统的去噪方法进行了总结和对比，指出其去噪的不足，介绍小波变换，综述了小波去噪的发展历程、研究现状及其分类。第三章主要介绍连续小波变换、离散小波变换，并介绍了图像小波变换情况，为下个章节中图像小波去噪奠定理论基础。第四章详细介绍小波阈值在图像去噪中的应用，以及相应的MATLAB程序，并给出了相应的仿真实验结果。第五章是对全文的总结与展望，概括了全文的研究内容和创新之处；针对论文的不尽完善之处，提出了一些意见和建议，以供后续工作参考借鉴。48第一章 图像与噪声人类获取外界信息有视觉、听觉、触觉、味觉等多种方法，但绝大部分(约80%)是来自视觉所接收的图像信息，即所谓“百闻不如一见”。而图像处理就是对图像息进行加工处理，以满足人的视觉心理和实际应用的要求。因此，图像处理技术的广泛研究和应用是必然的趋势。在分析和使用图像之前，需要对图像信号进行一系列处理。比如调整图像存储的格式，对图像进行去噪等等。图像处理是针对性很强的技术，根据不同用途、不同要求采用不同的处理方法。采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、生理学、医学、计算机科学、通信理论、信号分析、控制论和系统工程等，各学科相互补充、相互渗透才使数字图像处理技术飞速发展。根据本文研究的内容，我们只探讨图像去噪这一图像预处理技术。一般来说，在图像采集、编码、传输、恢复的几个基本步骤中，影响图像质量的因素很多。例如，现实图像中无用的信息对我们而言就是噪声，设备、环境、获取方法等因素也会引入许多噪声干扰。如电磁干扰、相片颗粒噪声、采集图像信号的传感器噪声、信道噪声、甚至滤波器产生的噪声等等。所以，为了提高图像的质量以及后续更高层次的处理，对图像进行去噪处理是不可缺少的重要环节，而寻求一种行之有效的去噪方法也是人们一直在进行的工作。1.1 噪声图像模型及噪声特性1.1.1 含噪模型现实中的数字图像在数字化和传输过程中，常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响，成为含噪图像。去除或减轻在获取数字图像中的噪声称为图像去噪1,2,在图像去噪之前我们先要建立一个含噪图像的模型，为了简便，我们研究如下的加性噪声模型，即含噪图像仅由原始图像叠加上一个随机噪声形成: （1-1）表示图像，为噪声，含噪图像记为。1.1.2 噪声特性在对这个含噪模型进行研究之前，我们有必要了解一下噪声的一些特性，经常影响图像质量的噪声源可分为三类。人们对其生成原因及相应的模型作了大量研究3:1、电子噪声。在阻性器件中由于电子随机热运动而造成的电子噪声是三种模型中最简单的，一般常用零均值高斯白噪声作为其模型，它可用其标准差来完全表征。2、光电子噪声。由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起，在弱光照的情况下常用具有泊松分布的随机变量作为光电噪声的模型，在光照较强时，泊松分布趋向于更易描述的高斯分布。3、感光片颗粒噪声。由于曝光过程中感光颗粒只有部分被曝光，而其余部分则未曝光，底片的密度变化就由曝光后的颗粒密集程度变化所决定，而算曝光颗粒的分布呈现一种随机性。在大多数情况下，颗粒噪声可用高斯白噪声作为有效模型。通过以上分析可以看出，绝大多数的常见图像噪声都可用均值为零，方差不同的高斯白噪声作为其模型，因而为了简便和一般化，我们采用零均值的高斯白噪声作为噪声源。1.2 图像质量的评价如何评价一个图像经过去噪处理后所还原图像的质量，对于我们判断去噪方法的优劣有很重要的意义。现有的评价方法一般分为主观和客观两种。1.2.1 主观评价主观评价通常有两种3:一种是作为观察者的主观评价，这是由选定的一组人对图像直接用肉眼进行观察，然后分别给出其对所观察的图像的质量作好或坏的评价，再综合全组人的意见给出一个综合结论。它只是一种定性的方法，没有定量的标准，而且受到观察者的主观因素的影响，评价结果有一定的不确定性。另一种是随着模糊数学的发展，可以用模糊综合评判方法来尽量减少主观因素的影响，实现对图像质量近似定量的评价，不过它仍然没有完全消除主观不确定性的影响，其定量计算公式中的参数往往要依赖专家经验确定。1.2.2 客观评价图像质量的客观评价由于着眼点不同而有多种方法，这里介绍的是一种经常使用的所谓的逼真度测量。对于彩色图像逼真度的定量表示是一个十分复杂的问题4。目前应用得较多的是对黑白图像逼真度的定量表示。合理的测量方法应和主观实验结果一致，而且要求简单易行。对于连续图像场合，设为一定义在矩形区域，的连续图像，其降质图像为，它们之间的逼真度可用归一化的互相关函数K来表示: (l-2)对于数字图像场合设为原参考图像，为其降质图像，逼真度可定义为归一化的均方误差值NMSE： （1-3）其中，运算符表示在计算逼真度前，为使测量值与主观评价的结果一致而进行的某种预处理。如对数处理、幂处理等，常用的为,、b均为常数。 (l-4)另外一种常用的峰值均方误差PMSE: (l-5)式中，A为的最大值。实用中还常采用简单的形式。此时，对于8比特精度的图像，A=255，M、N为图像尺寸。峰值均方误差PMSE也被表示成等效的峰值信噪PSNR: （1-6）主观评价和客观评价这两种图像质量评价标准有各自的优缺点。由于人眼视觉特性的准确模型还没有完全建立起来，因此主观评价标准还只是一个定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。峰值信噪比能够对图像质量给出定量的描述。它是一种数学上统计的处理方法，其缺点是它并不是总能反映人眼的真实感觉。一种折衷的方法是在衡量图像“去噪”算法的优劣时，将主观与客观两种标准结合起来考虑。第二章 图像去噪方法2.1 传统去噪方法对随时间变化的信号，通常采用两种最基本的描述形式，即时域和频域。时域描述信号强度随时间的变化，频域描述在一定时间范围内信号的频率分布。对应的图像的去噪处理4方法基本上可分为空间域法和变换域法两大类。前者即是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域法是在图像的变换域上进行处理，对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换达到图像去噪的目的。2.1.1 空域滤波1 均值滤波邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像为的阵列，处理后的图像为，它的每个像素的灰度级由包含领域的几个像素的灰度级的平均值所决定，即用下式得到处理后的图像: (2-l)式中；s是以点为中心的邻域的集合，M是s内坐标总数。图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径愈大，则图像模糊程度也愈大。另外，图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模越厉害。2 中值滤波中值滤波是一种非线性滤波5-7，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被二维图像信号处理技术所应用。在一定的条件下，可以克服线性滤波器所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波的方法。中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。设有一个一维序列，取窗口长度为m(m为奇数)，对此序列进行中值滤波，就是从输入序列中相继抽出m个数，其中为窗口的中心位置，再将这m个点按其数值大小排列，取其序号为正中间的那作为出。用数学公式表示为: (2-2)例如：有一个序列为0，3，4，0，7，则中值滤波为重新排序后的序列0，0，3，4，7中间的值为3。此例若用平均滤波，窗口也是取5，那么平均滤波输出为。因此平均滤波的一般输出为: (2-3) 对于二位序列进行中值滤波时，滤波窗口也是二维的，但这种二位窗口可以有各种不同的形状，如线状、方形、圆形、十字形、圆环形等。二维数据的中值滤波可以表示为： (2-4)在实际使用窗口时，窗口的尺寸一般先用再取逐渐增大，直到其滤波效果满意为止。对于有缓变的较长轮廓线物体的图像，采用方形或圆形窗口为宜，对于包含尖顶角物体的图像，适宜用十字形窗口。使用二维中值滤波最值得注意的是保持图像中有效的细线状物体。与平均滤波器相比，中值滤波器从总体上来说，能够较好地保留原图像中的跃变部分。2.1.2 频域低通滤波法在分析图像信号的频率特性时，一幅图像的边缘，跳跃部分以及颗粒声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声使图像得到平滑由卷积定理可知: (2-5)式中，是含噪声图像的傅里叶变换，是平滑后图像的傅里叶变换，是低通滤波器传递函数。利用使的高频分量得到衰减，得到后再经过反变换就得到所希望的图像了。低通滤波平滑图像的系统框图2-1所示。图2-1 频域空间滤波框图下面介绍几种常用的低通滤波器。1.理想低通滤波器(LIPF)一个理想的低通滤波器的传递函数由下式表示: (2-6)式中是一个规定的非负的量，称为理想低通滤波器的截止频率。代表从频率平面的原点到点的距离，即: (2-7)理想低通滤波器平滑处理的概念是清楚的，但它在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这是由于在处由1突变到0，这种理想的对应的冲激响应在空域中表现为同心环的形式，并且此同心环半径与成反比。越小，同心环半径越大，模糊程度愈厉害。正是由于理想低通滤波器存在此“振铃”现象，使其平滑效果下降。2.巴特沃思低通滤波器巴特沃思低通滤波器(BLPF)又称作最大平坦滤波器。与ILPF不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性，因此它的空域响应没有“振铃”现象发生，模糊程度减少。一个n阶巴特沃思低通滤波器的传递函数为: （2-8）或 （2-9）与理想低通相比，它保留有较多的高频分量，所以对噪声的平滑效果不如理想低通滤波器。一般情况下，常采用下降到最大值的那一点为低通滤波器的截止频率点。3.指数低通滤波器(ELPF)ELPF的传递函数表示为: （2-10）或 （2-11）当、时，以上两式的传递函数分别为和H，所以两者的衰减特性仍有不同。由于ELPF具有比较平滑的过滤带，经此平滑后的图像没有振铃现象，而ELPF与BLPF相比，它具有更快的衰减特性，因此ELPF滤波后的图像比BLPF处理的图像稍微模糊上些。除了上述滤波方法外，学者们还提出了其它的基于频域滤波的图像去噪方法，如Wiener滤波8等。综上所述，图像的经典去噪方法主要有两大类，一种是基于空间域的处理方法，一种是基于频域的处理方法。基于空域的平均滤波法和非线性的中值滤波都是通过对图像像素的灰度值进行运算，达到平滑图像的效果。平均滤波是以点邻域像素灰度平均值来代替该点的灰度值，而中值滤波则以点邻域像素灰度值中值来代替该点的灰度值，因此，对于随机噪音的抑制能力，中值滤波器的性能要比均值滤波器的差些。但对于脉冲干扰来讲，特别是脉冲宽度小于滤波器的窗口宽度一半，中值滤波还是很有效的。不过，他们在平滑图像的同时亦会使图像轮廓变得模糊，它们的噪音平滑效果与窗口的宽度有关，窗口宽度越宽，噪音平滑效果越好，但图像就越模糊，这个矛盾难于解决，也是均值滤波和中值滤波的缺点。基于频域的处理方法主要是用滤波器，把有用的信号和干扰信号分开，它在有用信号和干扰信号的频谱没有重叠的前提下，才能把有用信号和干扰信号完全区别开来。但在实际的情况中，有用信号和干扰信号的频谱往往是重叠的，因为无论是高斯白噪声还是脉冲干扰，它们的频谱几乎都是分布在整个频域。而图像的像素灰度一般是光滑的，只有在图像轮廓细节处像素才会突变，所以可以用具有低通的滤波对图像进行平滑，不过在平滑的同时亦会使图像变得模糊。这是用低通滤波器对图像进行平滑难于解决的矛盾。如果要噪声平滑效果好，必然会引起图像模糊，要图像轮廓清晰，噪声平滑效果必然不好。在使用时，必须权衡得失，在两者中选择其一。各种低通滤波器的性能比较如表2-1所示:表2-1 各种低通滤波器的性能比较振铃程度图像模糊程度噪声平滑程度理想低通滤波器严重严重最好巴特沃斯滤波器无很轻一般指数低通滤波器无较轻一般由上述经典去噪方法要么完全在频率域，要么完全在空间域展开。这两类消噪方法造成了顾此失彼的局面，虽然抑制了噪声，却损失了图像边缘细节信息，造成图像模糊9。因此，提出了基于小波变换的去噪方法研究。小波分析由于在时域频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，能有效地把信号和噪声区别开来，因此不仅能满足各种去噪要求如低通、高通、陷波、随机噪音的去除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析信号的数学显微镜。2.2 小波去噪近年来，小波理论得了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多分辨率特性，小波理论成功地在许多领域得到了广泛的应用。现在小波分析已经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域。在图像去噪领域中，应用小波理论进行图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。2.2.1 小波去噪的发展历程1992年，Donoho和oJhnostne提出了小波阈值收缩方法(Wavelet Shrinkage)，同时还给出了小波收缩阈值，并从渐近意义上证明了它是小波收缩最佳阈值的上限11。以上小波收缩算法的一个严重的缺陷是:在去噪之前必须知道噪声的大小(方差)。而在实际应用中噪声大小是无法预先知道的，于是Maarten Jasen等提出了GCV(generalized cross validation)方法12，这种方法无需知道噪声大小的先验知识，较好地解决了这一问题。另外，由于Donoho和Johnstone给出的阈值有很严重的“过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究20一30，并提出了多种不同的阈值确定方法。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值13-16；但是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的假设，并且这些方法大多是从Donoho和Johnstone给出的方法发展而来的，从而它们最后的去噪性能也依赖于用wavelet shrinkage确定阈值时，对噪声服从独立正态分布的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更严重的噪声情况下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式17。目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先验信息18，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。另外，除了阈值收缩方法外，Kivnac，John和Xu等人还提出了不同的去噪方法l9，例如利用LiPschitz指数的方法和基于最大后验概率MAP的比例收缩法等，这些都丰富了小波去噪的内容。2.2.2小波去噪的研究现状在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为： 由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图2-2所示。图2-2 小波去噪的等效框图在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上，虽然这种方法同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性，小波变化后，由于对应图像特征(边缘等) 处的系数幅值变大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小波噪声对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而便于系统的理论分析。在许多国内外研究学者的努力下，小波去噪技术在信号处理领域中不断得到发展和完善。早期的小波去噪工作类似有损压缩技术，即先对含噪信号进行正交小波变换，再选定一个固定的阈值与小波系数比较进行取舍，低于此阈值的小波系数设为零，然后进行小波重构恢复原信号，上述算法中的阈值选取完全取决于经验和实际应用24-28。1992年，由S.Mallat和Zhong提出了小波模极大值方法40，具体来说，就是利用有用信号与噪声小波变换的模极大值在多尺度分析中呈现不同的奇异性，用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下属于噪声的模极大值，然后利用属于有用信号的模极大值重构小波，模极大值方法可使信噪比提高4-7dB。由于受到各种因素的干扰，这种跟踪是很困难的，在实际工作中需要一些经验性的判据。奇异点重建信号分为过零点重建小波变换和模极大值重建小波变换，其缺点:用过零点或极大值来重建信号只是一种逼近，结果不太精确。1995年，Stanford大学的学者D.L.Donoho和M.Johnstone提出了通过对小波系数进行非线性阈值处理来恢复噪声中的信号24-27，称为“小波收缩”。在此基础上，他们提出了软阈值和硬阈值的准则，并从统计学的角度出发，不断完善这一理论。他们算法的去噪效果超过了一般的线性去噪技术，算法中的阈值选取取决于噪声能量的大小，换句话说，是取决于带噪信号的信噪比的。和固定阈值算法一样，分解后的每一层小波系数和这一阈值比较后进行非线性处理，要么保留或收缩，要么归零。有文献表明34，与Mallat的模极大值法相比较，阈值法去噪后有噪信号的信噪比提高10dB以上，实验结果表明，阈值法去噪效果优于模极大值法，而且实现起来更为简单。这之后的小波去噪方法主要是从阈值函数的选择或最优小波基的选择出发，提高去噪的效果。比较有影响的方法有：Eero P.Se moncelli和E H.Adelson提出的基于最大后验概率的贝叶斯估计准则确定小波阈值的方法31。Elwood T.Olsen等在处理断层摄影图像时，提出了三种基于小波相位去噪方法：边缘跟踪法、局部相位方差阈值和尺度相位变动阈值法32；学者Kozaitis结合小波变换和高阶统计量的特点，提出对一维信号进行去噪和信号重建的基于高阶统计量的小波阈值去噪方法33；G.P.Nason等利用原图像和小波域图像的相关性用GCV(general cross vali-dation)法对图像进行去噪34.Huang.X和Woolsey等提出结合维纳滤波器和小波阈值的方法对信号进行去噪35,VasilyStrela等人将一类新的特性良好多小波(约束对)应用于图像去噪的方法34，这些方法均取得了良好的效果，对发展小波去噪的理论和应用起着重大的作用。2.2.3 小波去噪方法小波去噪的方法有多种，如利用小波分解与重构的方法滤波降噪、利用小波变换模极大值的方法去噪、利用信号小波变换后空域相关性进行信噪分离、非线性小波阈值方法去噪、平移不变量小波去噪法，以及多小波去噪等等。归结起来主要有三类:模极大值检测法、阈值去噪法和屏蔽(相关)去噪法。其中最常用的就是阈值法去噪，本文主要研究阈值去噪。第三章 小波变换理论基础3.1 从傅里叶变换到小波变换傅立叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号的傅立叶变换表示信号的频谱。正是傅立叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。从数学角度来看，傅立叶变换是通过一个基函数的整数膨胀而生成任意一个周期平方可积函数。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的信号可转化为频域中的信号，因此傅立叶变换反映的是整个信号在全部时间下的整体频域特征，但不能反映信号的局部特征。傅立叶变换有如下不足：（1）当我们将一个信号变换到频域的时候，其时间上的信息就失去了。当观察一个信号的傅立叶变换，我们不可能知道特定的事件何时发生；（2）为了从模拟信号中提取频谱信息，需要取无限的时间量，使用过去的和将来的信号信息只是为了计算单个频率的频谱；（3）因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，对于高频谱的信息，时间间隔要相对较小以给出比较好的精度。而对于低频谱的信息，时间间隔要相对较宽以给出完全的信息，亦即需要一个灵活可变的时间频率窗，使在高“中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动变宽，傅立叶变换无法达到这种要求，它只能作全局分析，而且只对平稳信号的分析有用。但是，在实际应用中，常常有些非平稳信号，如音乐、语音信号等它们的频域特性都随着时间的变化而改变，这时傅立叶变换明显表现出了其中的不足。为此，D.Gabor于1946年提出了著名的Gabor变换，之后又进一步发展为短时傅立叶变换(Short Time Fourier Trans-form)，简记为STFT，又称窗口傅立叶变换。窗口傅立叶变换(STFT)克服了傅立叶变换不能同时进行时间频域的局部分析，在非平稳信号的分析中起到了很好的作用。其主要特点是：用一窗口函数对信号作乘积运算，实现在附近平稳和开窗，然后再进行傅立叶变换。其变换如下： (3-1)由于窗口傅立叶变换所定义的窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持不变，在实际应用中也存在其局限性。主要有两方面：一是因为高频信号一般持续时间短，而低频信号持续时间长，因此需对高频信号采用小时窗，对低频信号采用大时窗。二是在进行数值计算时，为了便于计算，需对基函数进行离散化，但Gabor基无论怎样离散都不能组成一组正交基，因此会给计算带来不便。为了克服这些缺陷，使窗口具有自适应特性和平稳功能，1984年，法国地球物理学家J.Morlet在分析地震数据时提出将地震波通过一个确定函数的伸缩和平移来展开。之后，他与A.Grossman共同研究，发展了连续小波变换的几何体系，将任意一个信号可分解成对空间和尺度的贡献。1985年，YMeyer,A.G.rossman与Daubechies共同寻找了连续小波空间的一个离散子集，得到了一组离散的小波基(称为小波框架)。1986年，由Y.Meyer发现了构成希尔伯特空间的规范正交基，从而证明了小波正交系的存在。1987年，Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相应的分解和重构快速算法Mallat算法，从而统一了以前所有具体正交小波基的构造。小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功地应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越受到人们的重视，其应用领域来越来越广泛，如：信号处理、图像处理、模式识别、语音识别等，并取得了可喜成果。3.2 小波理论的基本概念3.2.1 连续小波变换设，其傅里叶变换为，当满足允许条件(完全重构条件)： (3-2)时，我们称为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。其中，当时，有=0，即同时有。因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零(即 )且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。将母函数经过伸缩和平移后得到： (3-3)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。通常情况下，基本小波以原点为中心，因此是基本小波以为中心进行伸缩得到。基本小波被伸缩为(时变宽，而时变窄)可构成一组基函数。在大尺度a上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a则搜索细节特征。对于任意的函数的连续小波变换为： (3-4)当此小波为正交小波时，其重构公式为： (3-5)在小波变换过程中必须保持能量成比例，即 (3-6)由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件： (3-7)故是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(3-2)，在原点必须等于零，即 (3-8)此即说明具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求的傅立叶变换满足如下稳定性条件： (3-9) 式中，。连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。（2）平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。（3）伸缩共变性：若的小波变化为，则的小波变换为，（4）自相似性：对应于不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似性的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度redundancy，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择(例如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的(Compact Support)，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。连续小波变换式(3-4)是用内积来表示的，而数学上的内积表示与的相似程度，所以由式(3-4)，当尺度a增加时，表示以伸展了的波形去观察整个；反之，当尺度a减小时，则以压缩的波形去衡量局部。可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例(尺度)参数看全局而小的比例(尺度)参数看局部细节。因此，有人对小波变换特性作如下形象比喻：人们希望既看到森林，又看清树木。所以，先通过望远镜看清全貌，进而通过显微镜观察我们最感兴趣的细节。小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦镜头。3.2.2 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此有必要讨论连续小波）和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数b的，而不是针对时间t的。这一点与我们以前的习惯不同。在公式(3-3)中，a ,b R; a0是容许的。为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值。通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定。所以对应的离散小波函数即可写作： (3-10) 而离散化小波变换系数则可表示为： (3-11)其重构公式为： (3-12)C是一个与信号无关的常数。如何选择和，才能保证重构信号的精度呢?显然，网络点应尽可能密(即和尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。令表示一个二维信号，分别是其横坐标和纵坐标，表示二维的基本小波，对应的尺度函数为 。若尺度函数可分离，即：。令是与对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数： （3-13） （3-14） （3-15）这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿方向分别用和做分析，把分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿方向用和做同样分析，所得到的四路输出中经，处理所得的一路是第一级平滑逼近，其它三路输