2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.3.3.1直线与圆的位置关系学案湘教版.docx

第1课时直线与圆的位置关系学习目标1理解直线和圆的三种位置关系2会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系知识链接1直线的点斜式方程为yy0k(xx0)，直线恒过定点(x0，y0)2圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆的一般方程为x2y2DxEyF0(其中D2E24F0)3点(x0，y0)到直线AxByC0的距离d预习导引直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，圆心为C(2，1)，半径r2.圆心C(2，1)到直线mxym10的距离d.当d0或m2时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点规律方法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性跟踪演练1已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3，0)的直线，则()Al与C相交 Bl与C相切Cl与C相离 D以上三个选项均有可能答案A解析将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32024391231，所以点A在圆外(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy34k0.因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.规律方法1.求过一点P(x0，y0)的圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式yy0k(xx0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程2一般地圆的切线问题，若已知切点，则用k1k21(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不知切点，则用dr(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式跟踪演练2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程解因为12(7)25025，所以点(1，7)在圆外由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.要点三圆的弦长问题例3求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长解法一由得交点A(1，3)，B(2，0)，弦AB的长为|AB|.法二由消去y得x23x20.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x23，x1x22.|AB|，即弦AB的长为.法三圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标(0，1)，半径r，点(0，1)到直线l的距离为d，所以半弦长为，所以弦长|AB|.规律方法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2，即|AB|2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|，其中k为直线l的斜率跟踪演练3直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D4答案C解析圆的方程可化为C：(x1)2(y2)25，其圆心为C(1，2)，半径R.如图所示，取弦AB的中点P，连结CP，则CPAB，圆心C到直线AB的距离d|CP|1.在RtACP中，|AP|2，故直线被圆截得的弦长|AB|4.1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心 B相切C相离 D相交但不过圆心答案D解析圆心(1，1)到直线3x4y120的距离d0)相切，则m的值为()A0或2 B2C. D无解答案B解析由圆心到直线的距离d，解得m2.3设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A1 B. C. D2答案D解析直线yx过圆x2y21的圆心C(0，0)，则|AB|2.4由点P(1，3)引圆x2y29的切线的长是_答案1解析点P到圆心O的距离为|PO|，又r3，切线长为1.5过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_答案2xy0解析圆的方程可化为(x1)2(y2)21，故圆的半径为1，圆心为(1，2)因为弦长为2，所以所求直线过圆心(1，2)，又所求直线过原点，因此所求直线方程是2xy0.1判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷2一般地，在解决直线和圆相交问题时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l|x1x2|.3研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条一、基础达标1以(2，1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的标准方程为()A(x2)2(y1)23 B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29 D(x2)2(y1)29答案C解析根据题意知点(2，1)到直线3x4y50的距离与半径长相等，所以r3，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)29.2圆x2y24上的点到直线xy20的距离的最大值为()A2 B2C. D0答案A解析圆心(0，0)到直线xy20的距离d，所求最大距离为2.3直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的关系是()A相离 B相切或相交C相交 D相切答案C解析l过定点A(1，1)，1212210，点A在圆上直线x1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，l与圆一定相交，故选C.4已知圆C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于()A. B2C.1 D.1答案C解析因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即1，解得a1，因为a0所以a1.故选C.5已知过点P(2，2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1C2 D.答案C解析由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0，由切线xayc0过点P(2，2)，c22a，解得a2.6以点P(4，3)为圆心的圆与直线l：2xy50相离，则圆的半径r的取值范围是_答案(0，2)解析P点到直线l的距离d2，若满足以P点为圆心的圆与直线l相离，则0r2.7求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离解圆的方程化为标准式为(x3)2y24，故圆心(3，0)到直线xmy30的距离d，圆的半径r2.(1)若相交，则dr，即2，所以m2；(2)若相切，则dr，即2，所以m2；(3)若相离，则dr，即2，所以2m2.二、能力提升8在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为的点共有()A1个 B2个 C3个 D4个答案C解析由圆的方程知圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到直线的距离d，故圆上有3个点满足题意9直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.0，)C. D.答案A解析设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|2时，|AC|1.当|MN|2时，圆心C到直线ykx3的距离d1.1，(3k1)2k21.k0.10直线l：yxb与曲线C：y有两个公共点，则b的取值范围是_答案1，)解析如图所示，y是一个以原点为圆心，半径长度为1的半圆，yxb是一组斜率为1的直线系，要使直线与半圆有两个交点，连结A(1，0)和B(0，1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b1；当直线l与半圆相切时，b.所以b的取值范围是1，)11(1)直线2xy50与圆C切于点(2，1)，且直线2xy150也与圆C相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且直线yx被圆C截得的弦长为2，求圆C的方程解(1)设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2.两切线2xy50与2xy150平行，2r4，r2，r2，即|2ab15|10，r2，即|2ab5|10，又过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，由解得所求圆C的方程为(x2)2(y1)220.(2)设圆心坐标为(3m，m)圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m272m2，m1，所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.三、探究与创新12已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程(1)证明因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，由解得所以l恒过定点A(3，1)因为圆心为C(1，2)，所以|AC|5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点(2)解由题意可知弦长最小时，lAC.因为kAC，所以l的斜率为2.又l过点A(3，1