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第七节,一、最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,第二章,定义,例如,一、最大值最小值定理,定理2.18(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的,即: 设,则,使,函数在该区间上一定有最大值和最小值.,(证明略),1 若区间是开区间, 定理不一定成立; 2 若区间内有间断点, 定理不一定成立.,注,f (x)在0, 2上无最大值和最小值,推论 (有界性定理),在闭区间上连续的函数在该区,间上一定有界.,例1,证,- X,X,定理2.19 ( 零点定理 ),至少存在一点,使,( 证明略 ),定义 如果,则称,为 f (x) 的零点.,二、零点定理与介值定理,定2.20 ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的,任一数 C , 至少有一点,证 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,使,推论,在闭区间上连续的函数,必取得介于最大值 M,与最小值 m 之间的一切值 .,例2,至少有一个不超过 4 的,证,证明方程,令,且,由零点定理 , 知,原命题得证 .,显然,正根 .,使,例3,证,由于 f (x)在a, b上连续,有最大值 M 和最小值 m，,故 f (x) 在,由介值定理的推论知，,则,使得,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的一切值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,2. 设,一点,备用题 例2-1,证明方程,证 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有一个根 .,例2-2,证,证明任一奇数次代数方程至少有一个实根.,设奇数次代数方程为,由于,又,由零点定理知,即方程至少有一个实根.,例2-3,证,令,由零点定理，知 (0, a + b), 使,证,由零点定理,例2-4,上连续 , 且恒为正 ,例2-5,在,证明:,对任意的,必存在一点,使,分析,证,令, 则,使,故由零点定理知,即,取,或,则有,例2-6,证,令,方法1 (用反
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