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,第一章,二 、收敛数列的性质,一、数列极限的定义,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数列的极限,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆 ,求圆面积。,逼近圆面积 S .,当 n 无限增大时,无限逼近 S, S就叫做这列数的极限,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 收敛数列与其子数列间的关系：,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K =N,于是当,时, 有,从而有,由此证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果数列 收敛于 则它的任一子数列也收敛，且极限也是 a .,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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