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课堂达标(五十四) 几何概型A基础巩固练1(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.解析由题至少等15秒遇绿灯的概率为P.故选B.答案B2(2018贵阳市监测考试)在4,4上随机取一个实数m,能使函数f(x)x3mx23x在R上单调递增的概率为()A. B. C. D.解析由题意,得f(x)3x22mx3,要使函数f(x)在R上单调递增,则3x22mx30在R上恒成立,即4m2360,解得3m3,所以所求概率为,故选D.答案D3在区间上随机取一个数x,则sin xcos x1,的概率是()A. B. C. D.解析因为x,所以x,由sin xcos xsin1,得sin1,所以x,故要求的概率为.答案B4(2018石家庄模拟)已知O、A、B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘O地为一磁场,距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A. B.C1 D1解析由题意知在等腰直角三角形OAB中,以O为圆心,为半径的圆截AB所得的线段长为2,而|AB|2,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是11.答案D5(2018山西四校联考)在面积为S的ABC内部任取一点P,则PBC的面积大于的概率为()A. B. C. D.解析设AB,AC上分别有点D,E满足ADAB且AEAC,则ADEABC,DEBC且DEBC. 点A到DE的距离等于点A到BC的距离的,DE到BC的距离等于ABC高的.当动点P在ADE内时,P到BC的距离大于DE到BC的距离,当P在ADE内部运动时,PBC的面积大于,所求概率为2.答案D6(2018佛山二模)已知函数f(x)x2bxc,其中0b4,0c4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.解析由题意,得即表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为,故选C.答案C7如图,正四棱锥SABCD的顶点都在球面上,球心O在平面ABCD上,在球O内任取一点,则这点取自正四棱锥内的概率为_解析设球的半径为R,则所求的概率为P.答案8如图,四边形ABCD为矩形,AB,BC1,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为_解析当点P在BC上时,AP与BC有公共点,此时AP扫过ABC,所以P.答案9在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥SAPC的体积大于的概率是_解析由题意可知,三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同作PMAC于M,BNAC于N,则PM,BN分别为APC与ABC的高,所以,又,所以,故所求的概率为(即为长度之比)答案10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M.(1)求四棱锥MABCD的体积小于的概率;(2)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率解(1)正方体ABCDA1B1C1D1中,设MABCD的高为h,令S四边形ABCDh,S四边形ABCD1,h.若体积小于,则hn.如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n),点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线mn恰好将矩形平分,所求的概率为P.答案5甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出”,则0x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x,y)|yx1或xy2,x0,24,y0,24A为图中阴影部分,全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).C尖子生专练已知关于x的二次函数f(x)b2x2(a1)x1.(1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求yf(x)恰有一个零点的概率(2)若a,b1,6,求满足yf(x)有零点的概率解(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(6,5),(6,6),共36个用A表示事件“yf(x)恰有一个零点”,即|(a1)|24b20,则a12b.则A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个,所以P(A).即事件“yf(x)恰有一个零点”的概率为.(2)用B表示事件“y
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