一次函数及其图像知识点总结.docx

第一部分：变量与函数1、 函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。2、 函数的三种表示方法：3、 学习函数在现阶段我们主要关注函数的哪些特征及性质：（1） 定义域（即自变量的取值范围或者说的取值范围）（2） 值域 （即因变量的取值范围或者说的取值范围）（3） 图像与轴和轴的交点坐标及其意义（与轴的交点，表示当；与轴的交点表示当）（4） 极值点：包括最大值及最小值（5） 单调性：文字语言数学语言图像表现单调递增随的增大而增大爬坡型单调递减随的增大而减小下坡型不等号的开口方向相同时，单调递增；不等号的开口方向相反时，单调递减 （6）、对称性研究：包括点关于轴、轴和原点的对称；以及图像的关于轴、轴和原点的对称。 （7）、位置关系：主要包括直线的平行与垂直。特别是平行，以及平移的研究：包括点的上、下、左、右平移及及直线的上、下、左、右平移。 （8）、函数与方程、不等式之间的关系。第二部分：函数的图像1、 直角坐标系组成；以及各象限上点的特征。2、 点的表示（横坐标，纵坐标）注意：不要丢了括号和中间的逗号；表示的意思：当时，如点A（2，1） 表示：当时，同时要注意轴上点的特征：即纵坐标等于0;轴上点的特征：即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。3、 点到轴的距离为_；到轴的距离为_在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。如下列求阴影部分的面积：4、 点的对称性研究：（如果忘记了，可以自己作一个直角坐标系研究一下）关于轴对称_；关于轴对称_；关于原点对称_思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90之后的坐标。5、 点的平移：向上平移2格_；向下平移3格_；向右平移1格_；向右平移5格_（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）6、 两点之间的距离在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离概括：A、B两点之间的距离为：或当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。A、B两点之间的距离：A、 B两点的中点坐标为：7、 1）、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面确定的取值范围，特别要小心有些情况下并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。判断函数图像是直线、曲线、还是双曲线（可以通过的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）最后从函数与轴（未必一定会有）、轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如关于轴、轴、原点对称或者关于某一条直线对称等）；分段性；从而画出比较准确的草图。2）、作图的一般步骤：列表、描点，连接注意：在列表的过程中，我们应该去体会方程的解与函数图像上的点之间的关系；同时要学会如何判断一个点是否会在该函数图像上。列表：并绘制出下列两个函数的图像。当-3-2-101231250-3-4-30-8-6-4-2024描出图像上的点，我们挑出其中一个点（-2，-6）显然这个点在其函数图像上，同时这个点所表示的意义：当时，时方程（或）这个二元一次方程的一组解。3）、如何判断一个点是否在该函数图像上（其本质就是判断这个点所代表的的值是不是方程的解。如：判断点是否在函数图像上，即相当于是不是方程的解。或者说：当，是否会等于6。4）、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标如：的图像上 已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4；求点A、B的坐标。解析：A点相当于问你，当 时，；B点相当于问你：时，。第三部分：一次函数与反比例函数1、 一次函数： 正比例函数： 反比例函数（共三种表示方式）： 其中更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。提醒：关于中等于多少该如何判断得引起大家的重视；如中的是多少呢？2、 一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。通常的作法是：取与轴和轴的两个交点。如：作函数的图像 当时， 即为一次函数与轴的交点坐标。 当时，即为一次函数与轴的交点坐标。3、 会判断点是否在直线上，正比例函数上和反比例函数上；并且已知横坐标要懂得求纵坐标，反之，已知纵坐标要懂得求横坐标。4、正比例和反比例函数图像匀关于原点对称。而且正比例函数一定经过原点正比例函数反比例函数：经过象限单调性草图经过象限单调性草图一、三单调递增一、三单调递减二、四单调递减二、四单调递增越大，直线越陡越大，双曲线离轴越远5、一次函数的四种草图，其中越大，直线越陡；6、直线的平移（大家自己整理出更一般的结论）如：向上平移5个单位_；向下平移2个单位_备注：上下平移（即值不变，值的变化），我们可以从函数与轴交点的变化更容易观察出结论。 向左平移1个单位_；向右平移2个单位_备注：左右平移（即值不变，值的变化），我们可以从函数与轴交点的变化更容易观察出结论。7、 直线之间的位置关系已知直线：平行的充要条件：且重合的充要条件：且垂直的充要条件：8、 直线位置关系与方程组的解之间的关系、两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。方程组的解为。而交点坐标为。方程组无解，如图所示：图像没有交点。、通过方程无解来说明直线平行的方法：方程组无解，则，当且时方程无解，所以我们可以得到当且时直线平行。备注：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数，当图像必经过一、三象限，但单调性二者存在着区别；时，必经过二、四象限，但单调性二者存在着区别。9、 解析式的求解、解析式的求解步骤：首先要先判断它是一次函数（直线或线段）还是正比较函数（直线或给段，但经过原点），或者反比较函数（双曲线，也可能只有其中一支）；其次，设函数解析式，如下：、一次函数：需要两个条件（或者两个点坐标）来列方程组，求的值。而正比例函数： 反比例函数：反比例函数：都只需要一个条件（或者一个点坐标）去求解的值。例课本46习题第5题。、写出满足下列条件的一个函数关系式：(1) 图像过点(1，1)、(3，2)的一次函数；(2) 图像过点的正比例函数；(3) 图像过点的反比例函数；10、正比例函数与反比例函数有交点的条件(如上图所示)：反比例函数和正比例函数经过相同的象限，即：、同号；或者说：并且两个交点关于原点对称。11、 反比例有关的面积问题（图7三角形AOB的面积有多种方法） 12、 函数与方程、不等式之间的关系指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。例1：画出函数的图像，根据图像，指出：（1）取什么值时，函数值等于0（2）取什么值时，函数值大于0例2、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4) 求不等式的解集（请直接写出答案）；例3、如图，直线与反比例函数（x0）的图像交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的纵坐标为2。（1）试确定反比例函数的关系式；（2）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出来）（3） 求AOC的面积。13、函数中设点的一般方法（1） 直接设（2）当该点在某上解析式对应的图像上时：如我们就可以假设该直线上某点的坐标为，当然也可以是其他字母，关键点在于把纵坐标也用横坐标表示出来。再比如：上的某个点可设为例、如图所示：直线与、轴轴分别交于点、，其中点E的坐标为点A的坐标。点P 为直线上的一动点。（1）、求的值（2）、若点是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出OPA的面积与轴的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（2） 、探究：当点P运动到什么位置时，OPA的面积为，并说明理由。14、点旋转90度与两条直线垂直的探讨1） 点顺时针旋转90后的坐标_（如图利用全等可求得的坐标）2） 直线与直线互相垂直，那么之间的关系？得用1）中的结论求得的坐标，而且点在直线上，即：15、一次函数与三角设一次函数经过点与那么我们可以列出方程组：则可以得到：16、补充知识1、点到直线的距离设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，PPSS由三角形面积公式可知：SPPS所以 在初中可以写成：2、