月4日36[7]3可降阶的微分方程.ppt

1,7-5 可降阶的微分方程 7-6 高阶线性微分方程,2,解,x,3,复习,1. 一阶线性齐次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,2. 一阶线性非齐次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,3. 伯努利方程,（1）一般式,（2）解法：,4,一阶微分方程,关键: 辨别方程类型 , 掌握相应的求解步骤.,5,高阶微分方程定义：,二阶及二阶以上的微分方程.,可降阶的高阶微分方程：,可以通过代换将它化为较低,阶的方程来解，,这种类型的方程称为可降阶的方程.,相应的解法称为降阶法.,一般形式：,特点：,解法：,可降阶的高阶微分方程,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,6,解,所以原方程通解为,P316例1,7,特点：,不显含未知函数 y.,解法：,代入原方程,得,这是一阶微分方程.,解,代入原方程,积分得,对它两端积分,得,原方程通解为,8,解,代入原方程,得,两边积分得:,P318例3,9,特点：,不显含自变量 x.,解法：,代入原方程,得,这是一阶微分方程.,10,解,P320例5,11,解,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,例5. 解初值问题,12,高阶线性微分方程解的结构,第七节,线性方程解的结构,13,的方程.,式叫二阶线性齐次微分方程,式叫二阶线性非齐次微分方程,n 阶线性微分方程的一般形式为,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,一、二阶线性微分方程的定义,形如：,14,回顾: 一阶线性方程,齐次通解Y,非齐次特解 y*,二阶线性微分方程,式叫二阶线性齐次微分方程,式叫二阶线性非齐次微分方程,15,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,16,说明:,不一定是方程(1)的通解.,就是它的通解.,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性,无关概念.,17,定义:,例如,线性无关.,线性相关.,特别地：,18,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,常数,思考:,相关,19,就是它的通解.,推论:,20,证明,2.线性非齐次方程解的结构,推论：,21,说明:,只须求它的一个特解,和,的两个线性无关的特解,则,的通解为,例如, 方程,有特解,且,故方程的通解为,又知 方程,有特解,因此 的通解为,22,设非齐次方程(2)的右端,是几个函数之和，,若,分别是方程,的特解，,那么,就是原方程的特解.,定理4.,解的叠加原理,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,23,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),通解是 ( ).,例1.,(89 考研 ),24,解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,例2.,25,一阶方程,可降阶的二阶方程,逐次积分求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握相应的求解步骤.,小结,26,1.二阶线性齐次方程解的结构:,2.二阶线性非齐次方程解的结构:,分别是方程,的特解，,那么,就是原方程的特解.,27,作业：P323:1(1)(5)(6)(8)2(1) (4) P331:3.,预习：P332340,28,29,30,12-8 常系数齐次线性微分方程,下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法.,定义,(p,q为常数),31,1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式,2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,(p,q为常数),(p,q为常数),通解为：,通解为：,即,一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：,32,二、二阶常系数齐次线性方程的解法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,(p,q为常数),则,33,两个线性无关的特解：,得齐次方程的通解为, 有两个不相等的实根,设特征根为,如：,特征方程为,且,常数,则通解为,34, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,如,特征方程为,知,取,则,则通解为,设另一特解为：,35, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,设特征根为,如,特征方程为,则通解为,36,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其,总之,通解的表达式,特征根情况,实根,实根,复根,通解的方法称为特征方程法.,37,解,特征方程为,解得,故所求通解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,求方程,的通解.,特征方程为,故所求通解为,解,38,解得,故所求特解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,39,例5,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,练习：,为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程 为,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,解,解,40,特征方程:,推广:,单实根r,给出一项:,一对单虚数根,给出两项:,k重实根r,给出k项:,一对k重虚数根,给出2k项:,41,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,注意：,n次代数方程有n个根,且每一项各一个任意常数,对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都,例6,求方程,的通解.,42,四、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,43,思考与练习,答案:,通解为,通解为,通解为,作业:P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (4) .,预习：P311-P319,44,思考题：,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,45,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,令,令,逐次积分求解,46,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,但有时用后者方便 .,例如：,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,思考：,47,作业:P285 1(5) (6) (7) (8) ;4 P292 1 (4) (6) (8) ; 2(2) ；3,预习：P293-P310,48,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,备用：,二阶可导, 且,上任一点 P(x, y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以,解:,于是,在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .,积记为,( 99 考研 ),利用,得,49,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,两边对 x 求导, 得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,50,解法1 化为线性方程.,原方程变形为,其