线性回归的问题和分析方法扩展.ppt

1,第五章 线性回归的问题和分析方法扩展（下）,第一节 多重共线性 第二节 随机解释变量 第三节 误差项非正态分布 第四节 最大似然估计,2,第一节 多重共线性,一、问题的性质和种类 二、多重共线性的危害 三、发现和检验 四、多重共线性的克服和处理,3,一、问题的性质和种类,1、严格多重共线性 模型设定问题 识别问题 2、近似多重共线性 主要是数据问题，也有模型设定问题,4,二、 （近似）多重共线性的危害,*随着多重共线性程度的提高，参数方差会急剧上升到很大的水平，理论上使最小二乘法估计的有效性、可靠性和价值都受到影响，实践中参数估计的稳定性和可靠程度下降。 *证明：把 矩阵分为 根据分块矩阵的运算法则有,5,其逆矩阵 左上角的首项为 其中 因此参数 的最小二乘估计 的方差为,6,三、发现和检验,（一）方差扩大因子检验 （二）状态数检验,7,（一）方差扩大因子检验,分析已知 记 为 ， 为 。,8,当 时， 当 时， 方差扩大因子，记作 常以方差扩大因子是否大于10来判断第 个解释变量是否存在较强的、必须加以处理 的多重共线性。,9,（二）状态数检验,1、 状态指数 将 矩阵的每一列 用其模 相除以实现标准化，然后再求 矩阵的特征值，取其中最大的除以最小的后再求平方根，得到该矩阵的“状态数”，记为： 通常当 大于20或30时，认为存在较明显的多重共线性。,10,确定哪些解释变量的系数受到多重共线性的影响： 先计算各个特征值的“状态指数” 这些状态指数的水平在1到 之间，很可能有好几个超过20-30的“危险”水平。,11,2、回归系数方差分解:如果V是对角化 的(K+1) (K+1)对角矩阵：即 其中 是 的特征值构成的对角矩阵。 从而 两种理解：如果特征值之和反映对被解释变量解释程度，倒数之和反映引起估计量方差的比重。,12,四、多重共线性的克服和处理,（一）增加样本容量 （二）差分方程 （三）模型修正 （四）分步估计参数 （五）岭回归方法,13,（一）增加样本容量,原理：样本容量越大，变量相关性越小，相关越难。 注意局限，且不一定解决问题。,14,（二）差分方程,线性回归模型为 且已知 和 之间存在多重共线性问题。 作如下变换： 改用差分方程 进行回归，受多重共线性的影响比较小。,15,（三）模型修正,1、删减解释变量（利用检验结论、经验等） 2、整合解释变量（利用原模型回归信息、经验等） 3、先验信息参数约束,16,先验信息参数约束 例：生产函数 ，经对数变换为： 如果预先知道所研究的经济有规模报酬不变的性质，即函数中的参数满足 就可以克服多重共线性。,17,（四）分步估计参数,例：研究需求规律的模型 可以先求出模型中参数 的估计值（用截面数据等）。 前一个模型变为 整理这个模型可以得到 从而估计出 和 的估计值 和 ， 得到克服了多重共线性的回归直线,18,（五）岭回归方法,设一个多元线性回归模型为 普通最小二乘估计的公式为 当解释变量间存在严重的多重共线性时， 矩阵接近于奇异。 用 代替 代入最小二乘估计的公式，得到： 其中 称为“岭回归参数”，一般 ， 是用 矩阵对角线上元素 和 构成的对角线矩阵 。,19,（五）岭回归方法,估计量的数学期望为：,20,第二节 随机解释变量,一、解释变量的随机性 二、随机解释变量和参数估计的性质 三、工具变量法估计 四、参数估计量的分布性质和统计推断,21,一、解释变量的随机性和问题,解释变量有随机性是普遍的问题。 随机解释变量有不同的情况，关键是与误差项的相关性。 不同情况对回归分析的影响不同，处理也不同。,22,二、随机解释变量和参数估计的性质,设模型为 其中误差项符合古典线性回归模型的各个假设。 参数二乘估计的参数为： 把 代入 ，得到,23,如果 是随机变量，但与误差项不相关，那么： 以 为条件的 的条件方差 是最小方差，从而 的方差 也是 最小方差。,24,如果 是随机变量，与误差项小样本不独立，但大样本渐进不相关，即 那么因为 因此 是 的一致估计。虽然不是无偏估计。,25,三、工具变量法估计,设模型为 其中 不仅是随机变量，而且与 有强相关性。 对模型作离差变换得 两边乘 并求和得 然后两边除以 ，有,26,的“工具变量法估计”为 ，即 的估计可以利用 的估计得到,27,多元回归工具变量法估计 引进、选择多个关键变量。 向量、矩阵表示。 工具变量的选择问题： 与替代解释变量相关性强 与误差相相关性小 避免引起共线性问题,28,四、参数估计量分布问题和统计推断,问题：分布未知 两变量线性回归模型参数估计量 多元回归模型参数的最小二乘估计 影响：t、F检验等仍基本有效。 统计量 渐近t分布。 F统计量类似。,29,存在随机解释变量时相关统计推断受到一定的影响,30,第三节 误差项非正态分布,一、问题的提出 二、误差项正态性的检验,31,一、问题的提出,误差项正态分布假设也不一定成立。 误差项不服从正态分布时，称“非正态误差项” 影响：统计推断、假设检验的有效性等，相关统计推断、检验结论的可靠性降低。,32,二、误差项正态性的检验,（一）直方图检验 类似“高尔顿板”,33,（二）偏斜度和峰度检验 “偏斜系数” ： 用 代替 ，用 代替 。 “峰度”指标： 其中 用 代替。,，,34,第四节 最大似然估计,一、最大似然估计的原理 二、两变量线性回归模型参数的最大似然估计 三、多元线性回归模型参数的最大似然估计 四、随机解释变量模型的最大似然估计 五、最大似然估计的性质,35,一、最大似然估计的原理,根据事物出现的概率（几率、可能性）的大小，推断事物的真相，包括定性的和定量的（参数水平）真相。 例1：一个老战士和一个军训学生各射击一次，但只有一枪中靶。问可能是谁打中的。,36,例2：观测到一个服从未知参数的泊松分布的随机变量的10个数据的样本，这些数据分别为5、0、1、2、3、2、3、4、1、1，要求估计出该泊松分布的未知分布参数 。 根据泊松分布的概率公式，该随机变量的数值为 的概率为 10个数据出现的联合分布概率为,37,这个联合分布概率就是生成上述10个数据的似然函数，记作 ，即 它的对数似然函数是（对数函数的单调性） 求导可得 的最大似然估计 必须满足 所以 。,38,二、两变量线性回归模型参数的最大似然估计,设模型为 根据误差项服从正态分布的假设，有 因此这个模型参数的似然函数是,39,对数似然函数为 最大化的一阶条件为,40,解一阶条件方程组可以得到最大似然估计为,41,三、多元线性回归模型参数的最大似然估计,模型为 其中 似然函数为 对数似然函数为,42,求导可得 解这个方程组可得,43,四、随机解释变量模型的最大似然估计,只讨论解释变量的分布满足下面两个条件的模型 （1）随机解释变量的多元密度函数 的参数中，不包含需要估计的模型参数 、 或前者的部分。 （2）