《D23高阶导数》PPT课件.ppt

,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数、隐函数及由参数 方程所确定的函数的导数,第二章,四、由参数方程确定的函数的导数,三、隐函数的导数,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 . 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,推导 目录 上页 下页 返回 结束,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),提示: 令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. (填空题) (1) 设,则,提示:,各项均含因子 ( x 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 试从,导出,解：,同样可求,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,四、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,例. 设, 且,求,已知,解:,解:,注意 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求,解：,例. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,注意 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,三、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解: 设,取,则,例3. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解:,例4. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,机动