浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.6对数与对数函数讲义（含解析）.docx

3.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用3.了解对数函数的变化特征.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质N；logaaNN(a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称概念方法微思考1根据对数换底公式：说出logab，logba的关系？化简.提示logablogba1；logab.2如图给出4个对数函数的图象比较a，b，c，d与1的大小关系提示0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga (xy)()(3)函数ylog2x及y3x都是对数函数()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()题组二教材改编2P74T3lglg7.答案解析原式lg4lg2lg7lg8lg7lg52lg2(lg2lg5)2lg2.3P82A组T6已知a，blog2，c，则a，b，c的大小关系为答案cab解析0a1，b1.cab.4P74A组T7函数y的定义域是答案解析由(2x1)0，得02x11.0，log5ba，lgbc,5d10，则下列等式一定成立的是()AdacBacdCcadDdac答案B6.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1答案D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c0且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案B解析由题意ylogax(a0且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3xx，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知fg，即2，所以a的取值范围为.引申探究若本例(2)变为方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例2设alog412，blog515，clog618，则()AabcBbcaCacbDcba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log2(x1)2log2(x1)的解为答案x解析原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，即x214，解得x，又x1，所以x.(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是答案解析原不等式或解不等式组得x0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.(2)函数f(x)log2log(2x)的最小值为答案解析依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当log2x，即x时等号成立，所以函数f(x)的最小值为.思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用跟踪训练2(1)设alog32，blog52，clog23，则()AacbBbcaCcbaDcab答案D解析alog32log331，blog52log221，所以c最大由1log23，即ab，所以cab.(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为答案1,2)解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上单调递减，则有即解得1a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1在区间1,2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，且82a0，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，则f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.a4，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例 (1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBabcCbacDacb(2)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbca(3)(2018浙大附中模拟)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是()AabcBbacCcbaDacb(4)(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0Babab0Cab0abDab0ab答案(1)C(2)B(3)A(4)B解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以ba1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.故选B.(3)由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbalog0.210，blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310，01，abab0.1log29log34等于()A.B.C2D4答案D解析方法一原式4.方法二原式2log23224.2(2018杭州教学质检)设函数f(x)|lnx|(e为自然对数的底数)，满足f(a)f(b)(ab)，则()AabeeBabeCabDab1答案D解析|lna|lnb|且ab，lnalnb，ab1.3(2019丽水模拟)下列不等式正确的是()Alog30.20.2330.2Blog30.230.20.23C0.23log30.230.2D30.2log30.20.23答案A解析因为log30.20,00.231,30.21，所以log30.20.2330.2，故选A.4(2018浙江名校协作体联考)若ab1,0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc答案C解析因为ab1,0c1，所以cbca，则blogaclogacblogbcblogbcaalogbc，故选C.5若m2n20(m，n0)，则lgm(lgnlg2)的最大值是()A1B.C.D2答案A解析lgm(lgnlg2)lgmlg2n2，又因为m2n202，所以mn50，从而lgm(lgnlg2)1，当且仅当m10，n5时，等号成立，故选A.6(2018浙江部分重点中学调研)已知函数f(x)x4，若对任意的x，f(x)6恒成立，则实数a的最大值为()A1B1C2D2答案A解析令tx，因为x，所以t(0,2，则问题可转化为对任意的t(0,2，t2at46恒成立，即at对任意的t(0,2恒成立因为yt在t(0,2上单调递减，所以ymin121，所以a1，即实数a的最大值为1.故选A.7(2018浙江绍兴一中模拟)设函数f(x)则f，方程f(f(x)1的解集为答案1，ee解析由于fln，则ff.由f(f(x)1可得f(x)0或f(x)e，又当x0时，f(x)ex(0,1；当x0时，由f(x)0可得lnx0，解得x1；由f(x)e可得lnxe，解得xee，故对应方程的解集为1，ee8(2018杭州第二中学仿真考试)已知m，n4x，则log4m；满足lognm1的实数x的取值范围是答案解析由于m，则log4mlog2m；由于1，由lognm1可得mn1，则22x1，则2x0，解得x0.9(2018宁波期末)若实数ab1，且logablogba，则logab；.答案1解析令logabt，由于ab1，则t(0,1)，logablogba即为t，解得t(t2舍去)，则logab，b，ab2，1.10(2019浙江名校协作体联考)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则xy的最大值是答案解析由题意得lg2xlg8ylg(2x23y)lg2x3ylg2(x0，y0)，所以x3y1，则xyx3y2，当且仅当x3y时，等号成立，所以xy的最大值为.11已知函数f(x)(ax23xa1)(1)当a0时，求函数f(x)的定义域、值域及单调区间；(2)对于x1,2，不等式f(x)3x2恒成立，求正实数a的取值范围解(1)当a0时，y(3x1)，函数定义域为，值域为R，递减区间为，无递增区间(2)原命题可化为x1,2，ax2a1恒成立，即a在x1,2上恒成立，即amax，x1,2，y在x1,2上单调递减，当x1时，ymax.因此a.12(2018浙江名校协作体联考)已知奇函数f(x)loga(a0且a1)(1)求b的值，并求出f(x)的定义域；(2)若存在区间m，n，使得当xm，n时，f(x)的取值范围为loga6m，loga6n，求a的取值范围解(1)由已知f(x)f(x)0，得b1，当b1时，f(x)logaloga(1)，舍去，当b1时，f(x)loga，定义域为.故f(x)的定义域为.(2)当0a1时，f(x)logaloga在上单调递减故有而y在上单调递增，所以，又6m6n与矛盾，故a1，所以故方程6x在上有两个不等实根，即6ax2(a6)x10在上有两个不等实根设g(x)6ax2(a6)x1(a1)，则化简得解得a1812，故1a1812.13(2018浙江三市联考)下列命题正确的是()A若lnalnba3b，则ab0B若lnalnba3b，则0abC若lnalnb3ba，则0baD若lnalnb3ba，则ba0，b0，可排除A，D；设t，则abt，若lnalnba3b，则有lntbt3b，b，由b0，得0t3，不能确定a0,1t1，ab，C正确，故选C.14定义区间x1，x2(x1x2)的长度等于x2x1.函数y|logax|(a1)的定义域为m，n(mn)，值域为0,1若区间m，n的长度的最小值为，则实数a的值为答案4解析作出函数y|logax|的图象(图略)，要使定义域区间m，n的长度最小，则m，n或m，n1，a若1，则a4，此时a13，符合题意若a1，则a，此时1，不符合题意，所以a4.15(2018浙江杭州二中月考)若函数ylg的图象关于点M对称，则点M的坐标是()A.B.C.D.答案D解析设M(m,0)，点P(x，y)是函数ylg的图象上任意一点