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第21讲函数应用题1.某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为E=cvnT,其中v为探测器在静水中行进时的速度,T为行进的时间(单位:小时),c为常数,n为能量次级数.如果水的速度为4km/h,该生物探测器在水中逆流行进200km.(1)求T关于v的函数关系式;(2)(i)当能量次级数为2时,求该探测器消耗的最少能量;(ii)当能量次级数为3时,试确定使该探测器消耗的能量最少的v的大小.2.(2017江苏南京二十九中模拟)某商店经销一种纪念徽章,每枚徽章的成本为30元,并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元(a为常数,2a5),设每枚徽章的售价为x元(35x41).根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时,日销售量为10枚.(1)求该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x之间的函数关系式;(2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.3.(2018江苏丹阳中学等三校高三下学期联考(实验班)2017年6月以来,某地区多次爆发“流感”疫情,引起某种消毒液热销.该消毒液原来每瓶的成本为8元,售价为10元,月销售量为6万瓶.(1)据市场调查,若售价每提高0.5元,则月销售量相应减少0.4万瓶,要使提价后月利润不低于原来的月利润,则消毒液每瓶售价最高为多少元?(2)为了提高月利润,厂家决定下月投入部分资金进行广告促销,计划每瓶的售价为x(x12)元,并投入345(x-12)万元作为广告费用.据市场调查,售价每瓶每提高0.5元,月销售量将相应减少1.8(x-10)2万瓶.当售价x为多少元时,下月利润最大?并求出最大利润.答案精解精析1.解析(1)由题意得,该探测器相对于河岸的速度为200Tkm/h,又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h,即v-4,所以200T=v-4,即T=200v-4km/h(v4).(2)(i)当能量次级数为2时,由(1)知E=200cv2v-4,v4,E=200c(v-4)+42v-4=200c(v-4)+16v-4+8200c2(v-4)16v-4+8=3200c当且仅当v-4=16v-4即v=8时,取等号,所以该探测器消耗的最少能量为3200c.(ii)当能量次级数为3时,由(1)知E=200cv3v-4,v4,由E=200c2v2(v-6)(v-4)2=0得v=6,当v6时,E6时,E0,所以当v=6时,Emin=21600c.2.解析(1)设日销售量为kex枚,则ke40=10,所以k=10e40,则日销售量为10e40ex枚.每枚徽章的售价为x元时,每枚徽章的利润为(x-30-a)元,则L(x)=(x-30-a)10e40ex=10e40x-30-aex(35x41).(2)由(1)知,L(x)=10e4031+a-xex(35x41),令L(x)=0,得x=31+a.当2a4时,3331+a35,而35x41,所以L(x)0,此时L(x)在35,41上单调递减,则当x=35时,L(x)取得最大值,最大值为10(5-a)e5.当4a5时,350,L(x)在35,a+31上单调递增;当x(a+31,41时,L(x)0,L(x)在(a+31,41上单调递减.所以当x=a+31时,L(x)取得最大值,最大值为10e9-a.综上,当2a4,每枚徽章的售价为35元时,该商店的日利润L(x)最大,L(x)max=10(5-a)e5;当4a5,每枚徽章的售价为(a+31)元时,该商店的日利润L(x)最大,L(x)max=10e9-a.3.解析(1)设每瓶售价提高a个0.5元,由题意得,(10+0.5a-8)(6-0.4a)(10-8)6,解得0a11,所以a=11时,最高售价10+110.5=15.5元,所以最高售价为15.5元.(2)由题意,下月利润为y=(x-8)6-x-100.51.8(x-10)2-345(x-12)=(x-8)6-185(x-10)-345(x-12).y=-154x2-190x+1536x-10,y=-45x2-20x+91(x-10)2=-45(x-7)(x-13)(x-10)2
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