必修5第二章《数列》基础知识总结.doc

数列基础知识总结一、要点透视数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联系密切。在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等。等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心。由于数列可以看成是正整数集或其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列。二、知识复习（1） 有关概念：1数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。2数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。3数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前n项，且任一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。4若数列an的前n项和为Sn则 （2）等差与等比数列等差数列等比数列定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。即an-an-1=d，公差d可为正数、负数和零（A.P） 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即，公比q是一个不等于零的常数。（G.P）通项公式（来源：定义，迭加，迭代）（证明）(定义,迭乘，迭代）中项 若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G2=ab。（a, b是同号）前n项和（倒序相加）（错位相减）性质（1）（2）（3）若an为等差数列，则an，a2n，a3n也为等差数列（4）若an为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列（5）若an，bn都是等差数列，则an+c，kan，an+bn也是等差数列（其中k、c为任何常数）(1)（2）（3）若an为等比数列，则an，a2n，a3n也为等比数列。（4）若an为等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等比数列。（5）若an，bn都是等比数列，则kan（k0），也是等比数列。等价条件（1）（常数）an为等差数列（2）（k、b不同时为0的常数）an为等差数列（3）不同时为0的常数）为等差数列（4）为等差数列（1）（q0常数）an为等比数列。（2）常数）an为等比数列。（3）（）an为等比数列。设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系真数等比，对数等差; 指数等差，幂值等比。（3）数列求和及数列实际问题1数列求通项与和（1）求通项常用方法：观察，归纳，叠加，叠乘，数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。（2）数列前n项和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=等。错位相减法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则， 例如：求这个数列的前n项和：并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。通项分解法 （4）数列有关结论1.由Sn求an，an= 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；2.等差数列 ；3.等比数列 4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.5.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；或者由利用二次函数的性质来确定的值，进而求出前n项和最值。6.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；7.等差数列中, am=an+ (nm)d, ; 等比数列中，an=amqn-m; q=;8.当m+n=p+q（m、n、p、qN）时，对等差数列an有：am+an=ap+aq；对等比数列an有：aman=apaq；9.若an、bn是等差数列，则kan+bbn(k、b、a是非零常数)是等差数列；若an、bn是等比数列，则kan、anbn等也是等比数列；10.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；11.对等差数列an,当项数为2n时，S偶S奇nd；项数为2n1时，S奇S偶a中（nN*）；12.若一阶线性递归数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、典型例题例1数列中，求该数列的通项公式。解：由有： 故数列是以为公比的等比数列，且首项为 评注：一般地，形如为非零常数，可变形为，其中，则是一个公比为的等比数列。例2设是首项为1的正项数列，且，则其的通项公式 。解：， 即 是各项为正的数列，, 评注：本题先得到，再采用连乘，从而得到数列的通项。当然，若将变形为，视为整体，则，构成一个常数列，故，。例3已知等差数列前三项为，4，前n项和为，若(1)求a及k的值；(2)求解：(1)设等差数列为，则，由已知有，公差，代入得即 （舍去），(2) 由例4、设数列的前n项和，设，求证数列是等比数列。解：当时，当时，而,数列是以为首项，为公比的等比数列。习题1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式.2.已知，求及3.已知， 求及4.求和.5.数列1,3,5,7,(2n1)+的前n项之和为Sn，则Sn等于( )(A)n2+1(B)2n2n+1(C)n2+1(D)n2n+16.求和: .7.等差数列a n中，已知，a n =33，则n为（ ）(A)48 (B)49 (C)50 (D)518. 在等比数列中,则9.和的等比中项为( ) 10. 在等比数列中，求，11.在等比数列中,和是方程的两个根, 则( ) 12.已知等差数列满足,则有( ) 13. 已知数列的前项和，求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式14. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.15. 在等比数列，已知，求.16.设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn.17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.18. 在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和.19. 设an是等差数列，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an.20. 已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是( )(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9答案1. 当时，,当时，,经检验 时 也适合,2. 解：, ,设 则是公差为1的等差数列,又 ,当时 ,3 解： 从而有, ,.4.解：5.A 6. 解: -， 当时,;当时，7.C 8.192 9.C 10. 解： 另解：是与的等比中项，11.D 例12.C 13.解：,当时,时亦满足 , 首项且 成等差数列且公差为6、首项、通项公式为14. 解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 15. 解：，16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设an首项为a1，公差为d，则 此式为n的一次函数 为等差数列 法二: an为等差数列,