北师大版初一上期第五章总结.docx

第五章总结一一元一次方程概念：等式：用“=”符号将字母或数字连成的式子 方程：含有未知数的等式 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。 分式方程：未知数在分母上的方程叫做分式方程。例题：1. 下列给出的方程：3x-y=2 x+2x=2 x-52=1 x-2x-3=0 7x-25=x+1，其中一元一次方程有（B） 。A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个分析：判断一个式子是否为一元一次方程要注意：未知数个数（1个） 未知数指数（1） 未知数系数（不为0） 是否为分式方程（分式方程非一元一次方程）2. 在下列方程中，解为x=2的是（D）。A. 3x=x+3 B. x+3=0 C. 2x=3 D. 5x-2=8二等式的性质概念： 若a=b，则a+m=b+m, a-m=b-m；若a+m=b+m, 则a=b 若a=b，则am=bm；若a1m=b1m，则a=b 若a=b，则a=b；若a=b，则a=b 若a=b，则b=a例题：1. 下列等式变形，正确的是（C）.A. 若m=n，则2-m=n-2 B. 若m=n，则mm-2=nm-2C. 若m3=n2，则3n=2m D. 若m=n，则mn=12. 解方程：4-2x=3x-1解：方程两边同时减去3x，得：4-2x-3x=3x-1-3x化简得：4-5x=-1方程两边同时减去4，得：4-5x-4=-1-4化简得：-5x=-5 x=1三移项概念： 把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边的过程。例题：1. 对于方程3x-2=3-2x，移项正确的是（D）.A. 3x-2x=3-2 B. 3x-2x=-3+2 C. 3x+2x=3-2 D. 3x+2x=3+2分析：移项就一定要改变符号，不动就不改变符号2. 解方程：0.01x-0.010.03-0.2x+0.30.5=1.5解：原方程可化为：x-13-2x+35=1.5方程两边同时乘以15，得：15（x-13-2x+35）=1.515整理：5（x-1）-3（2x+3）=22.5去括号：5x-5-6x-9=22.5化简：-x-14=22.5移项：-x=22.5+14化简：-x=36.5 x=-36.5分析：解含小数的分数方程步骤为：将原方程分数中的小数化为整数 同乘以公倍数 整理 去括号 化简 移项 化简 将x系数化为13. 已知x=3是方程ax+6=-4x-12的解，b满足关系式2b+a=14，求a+b的值。解：将x=3代入方程ax+6=-4x-12得：3a+6=-43-12解得：a=-10将a=-10代入2b+a=14 得：2b+(-10)=14当2b+（-10）=14时，解得b=12当2b+（-10）=-14时，解得b=-2当b=12时，a+b=-10+12=2当b=-2时，a+b=-10+(-2)=-12综上所述：a+b=2或-12四 日历中的方程例题：1. 在一份日历中，用正方形圈出4个数的和是76，这4天分别是多少？解：设最小数为x，则其它三个数为x+1，x+7，x+8由题：x+x+1+x+7+x+8=76解得：x=15因此：这四天分别为15号、16号、22号、23号。2有一个两位数，两个数位上的数字和是9，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大63，求原两位数。解：设个位为x，则十位为9-x由题：10（9-x）+x+63=10x+（9-x）解得：x=8因此：个位为8，十位为1 这个数为183. 儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的4倍？解：设过x年后父亲年龄是儿子的4倍。由题：40+x=4（13-x）解得：x=-4因此：4年前父亲年龄是儿子的4倍。五. 我变胖了例题：1. 将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？解：设锻压后圆柱的高为x厘米。由题：900=100x解得：x=92. 一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽40厘米，高24厘米。水箱里水深20厘米，现放进一个棱长为20厘米的正方形铁块后，水面上升了多少厘米？解：设水面上升高度为x厘米。由题：4040x=20解得：x=5因为水面高为25厘米，大于24厘米，故有水溢出，水面上升高度实际为4厘米。六. 浓度问题概念： 溶质：溶液中被溶剂溶解的物质。溶质=溶液浓度 溶液：由溶质和溶剂组成的混合物。溶液=溶质+溶剂 溶剂：溶化溶质的液体。溶剂=溶液-溶质 =溶液-溶液浓度 =溶液（1-浓度） 浓度：溶质在溶液中所占的百分比。浓度=溶质溶液100%例题：1. (1)现在含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐10%的盐水，需要加水多少斤？解：设加水x斤。由题：16%30=10%（30+x）解得：x=18(2)现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20%的盐水，需要蒸发掉多少斤水？解：设蒸发掉y斤水。由题：3016%=20%（30-x）解得：x=6(3)现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20%的盐水，需要加盐多少斤？解：设加盐x斤。由题：30（1-16%）=（30+x）（1-20%）解得：x=1.52. 有甲乙两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是30%，乙种盐水的浓度是6%，现准备配成浓度为10%的盐水溶液60千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？解：设取甲x千克，则取乙（60-x）千克。由题：30%x+6%（60-x）=6010%解得：x=10因此：取甲10千克，取乙50千克。七.打折销售概念： 进价：指商店进货的价格，即成本价。 售价：指商店出售时的实际价格。售价=标价折率 =利润+成本 =成本利润率+成本 =成本（1+利润率） 标价：指在商店出售时所标明的价格。 利润率：利润占成本的百分比。利润率=利润成本100%例题：1. 某商店经销一种商品，由于进货价格比原来进价降低6.4%，从而使利润率增加了8个百分点，求这种商品原来的利润率。解：设原来进货价格为a元，利润率为x。由题：a+ax=a（1-6.4%）（x+8%）+a（1-6.4%）解得：x=17%2. 某商场展开促销活动，凡一次性购物不超过200元的一律九折优惠。超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算。小华第一次去购物付款72元，第二次又去购物享受了八折优惠，他查看所卖物品的定价，发现这两次购物总共节省了34元，请问小华第二次购物实际付款多少元？解：设第二次购物实际付款x元。由题：34-（7290%-72）=（x-20090%）80%+200-x解得：x=204八.“希望工程”义演例题：1. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，筹得票款6950元，其中成人票8元，儿童票5元。问成人票与儿童票共售出多少张？解：设儿童票售出x张，成人票售出（1000-x）张。由题：5x+8（1000-x）=6950解得：x=350因此：儿童票售出350张，成人票售出650张。2. 六一儿童节，幼儿园为学生发放小红花，如果每人3朵则剩下23朵，若每人4朵则还少2朵，问该幼儿园有多少个学生？共有多少朵小红花？解：设该幼儿园有x名学生，则共有小红花（3x+23）朵。由题：3x+23=4x-2解得：x=25因此：该幼儿园有25名学生，共有小红花98朵。3.某车间22名工人生产螺母和螺钉，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应该分配多少工人去生产螺钉，多少名工人生产螺母？解：设分配x人生产螺钉，（22-x）人生产螺母。由题：1200x2=2000（22-x）解得：x=10因此：应分配10人生产螺钉，12人生产螺母。九.工程问题概念： 工作效率时间=工作总量 工作效率=工作总量工作时间（设工作总量为“1”，则工作效率=1工作时间） 工作时间=工作总量工作效率例题：1. 一项工程，甲独立完成要20天，乙独立完成要12天，先让甲做4天，再让甲、乙合作。问：甲、乙合作多少天完成。解：设甲、乙合作x天完成。由题：1204+（120+112）x=1解得：x=6十.追及问题概念： 速度差追及时间=追及路程 甲路程乙路程=追及时相差的路程例题：1. 小明每天早上要在7：50之前赶到离家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多长时间？解：设用了x分钟。由题：180x-80x=805解得：x=4（2）追上小明时，离学校还有多远？解：设离学校还有x米。由题：80（5+4）+x=1000解得：x=280（3）小明爸爸要在小明到校之前追上，则他速度至少为多米米/分？解：设速度为x米/分。由题：1000=x（1000-80580）解得：x=13313十一.相遇问题概念： 相遇路程速度和=相遇时间 速度和相遇时间=相遇路程 相遇路程相遇时间=速度和例题：1.A,B两地相距480km，一列慢车从A地开出，每小时走60km；一列快车从B地开出，每小时走65km。（1）两车同时开出，相向而行，请问他们几小时后相遇？解：设x小时两车相遇。由题：60x+65x=480解得：x=384（2）若慢车开出一小时后，快车才出发，两车相向而行，请问快车开出几小时后与慢车相遇？解：设快车出发y小时后与慢车相遇。由题：60y+65y=480-601解得：y=3.36十二.环形追及、相遇问题概念： 相遇问题：甲路程+乙路程=一圈长 追及问题：甲路程-乙路程=一圈长例题：1.小红和小明绕周长为1000米的湖晨练，小红的速度为100米/分，小明比她快50米/分。（1）如果两人同时背向开炮，多少分钟两人会相遇？解：设x分钟两人相遇。由题：100x+（100+50）x=1000解得：x=4（2）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟后两人会相遇？解：设x分钟后两人会相遇。由题：（100+50）x-100x=1000解得：x=20十三.船行问题概念： 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=12（顺水速度+逆水速度） 水速=12（顺水速度-逆水速度）例题：1.一艘船航行在两城市之间，水流速度为24千米/时，该船顺水航行时需要2小时50分，逆水航行时需要3小时，请问两个城市间的航程为多少千米？解：设航程为x千米。由题：x25060-x3=224解得：x=2882.一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆行恤行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流航行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度从A港漂流到B港需要多少小时？解： 设A到B的距离为a千米，则逆水速度为a6km/h， 逆水速度为a8km/h， 水流速度为12（a6+a8）km/h=a48km/h，故从A到B的时间为aa48=48小时。（2）救生圈是在何时掉入水中的？解：设出发后y小时落水。由题：a6y+a48（6-y+1）+a81=a解得：y=5十四.火车行驶问题概念： 错车：甲车长+乙车长=车长和 超车：甲车长-乙车长=车长和例题：1.一列火车匀速通过一个隧道，火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用了30秒，整列火车完全在隧道里的时间是20秒，隧道长500米，求这列火车的长度。解：设这列火车长x米。由题：500+x30=500-x20解得：x=2502.一列快车和一列慢车相向行驶在平行的两条轨道上，快车长150m，慢车长200m，坐在慢车上的乘客见快车驶过窗口的时间为6秒，问坐在快车上的乘客见慢车驶过窗口的时间是几秒？解：设时间为x秒。由题：1506=200x解得：x=83.甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒；然后在乙身旁开过，用了17秒。已知两人的步行速度都是3.6千米/时，问这列火车有多长？解： 3.6km/h=3.61000m3600s=1m/s设火车速度为x米/秒，则火车长为（15x+15）米。由题：15x+115=17x-117解得：x=16因此：火车速度为16米/秒，火车长度为255米。十五.储蓄问题概念： 本金：存入银行或贷与他人以带来利息的钱。 利息：因存款、放款而得到的本金以外的钱。税前利息=本金利率期数；税后利息=税前利息-利息税=税前利息（1-利息税） 本息和=本金+税后利息=本金+本金利率期数（1-税率）=本金 1+利率期数（1-税率） 期数：存入的时间。利率：每个期数内的利息与本金的比。利率=利息本金100%利息税：指对个人储蓄存款利息所征收个人所得税。征收利息税是一种国际惯例。例题：1.两年期定期储蓄的年利率为2.25%，所得利息要缴纳20%的利息税，王大爷于2010年6月存入一笔钱，两年到期后，共得税后利息540元，则王大爷2010年6月的存款为（C）。A.20000元 B.18000元 C.15000元 D.16000元2.为了准备小刚6年后上大学的学费10000元，他的父母现在想参加教育储蓄，下面有两种储蓄方式：直接存一个6年期，年利率为2.88%；先存一个3年期，3年后将本息和自动转存一个3年期，3年级年利率为2.70%。比较两种储蓄方式，你认为小刚的父母最好采用哪种储蓄方式？为什么？解：设本金为x元。方案一：x+2.88%x6=10000解得：x8527方案二：x+2.70%3+（x+2.70%