《万有引力》PPT课件.ppt

笫七章 万有引力 （一）质点在有心力场中的运动 （二）开普勒三定律 （三）万有引力定律 目 录 1 （一）质点在有心力场中的运动 一、有心力 所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力. 该固定中心称为力心.在许多情况下，有心力的大小 仅与考察点至力心的距离有关，即 有心力存在的空间称为有心力场，如万有引力场、 库仑力场、分子力场。 保守有心力 第六章 万有引力 2 二、有心力场质点运动的一般特征 在有心力场中，质点的运动方程为 其特征： 运动必定在一个平面上 当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢 径所构成的平面内运动.往往用平面极坐标描述运动.取力 心为原点，运动方程为 方向 方向 第六章 万有引力 3 有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒. 两个守恒量 对（2）式两边乘r，再对时间积分得 有心力为保守力，质点的机械能守恒 第六章 万有引力 即角动量守恒 4 有效势能与轨道特征 因 是运动常量，故机械能守恒定律可写为 设有两个质量分别为m、M 的质点， 则引力势能为 有效势能 第六章 万有引力 则有 5 u利用势能曲线对引力场轨道特征作定性讨论 第六章 万有引力 质点总能量E 的大小决定了质点在有心力场中的运动范 围，即质点可作不同类型的轨道运动. E r 拱点：质点的总能量为E的水平线 与有效势能曲线的交点 拱点的性质： 在拱点处，r 取极值，径向速度为 零，即 代入（3）式可得 6 1.若E=E10， E1 r1 E=E1 r1 r2 M O E r Veff 可证明此轨道为一双曲线； 第六章 万有引力 (r,) ，由方程（4）可得 7 第六章 万有引力 2.若E=E2=0， E=E2 r2 MO E r Veff E r2 可证明此轨道为一抛物线； (r,) ，由方程（4）可得 8 第六章 万有引力 3.若E=E30，此轨道为一双曲线； E1 r1 E=E1 r1 2.若E=E2=0，此轨道为一抛物线； E r2 E=E2 r2 3.若E=E3 1，双曲线方程，焦点:(0,0)，开口向左 12 (二)开普勒三定律 人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观 察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）进 行了连续20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据， 总结出三条行星运动规律。 一、开普勒行星运动定律 (1)轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一 个焦点上； (2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等； (3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴 a 的立方正比 于公转周期 T 的平方,即 第六章 万有引力 13 利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律 用 表示从O到速度矢量v的垂直 距离，则有 如图，行星对太阳的角动量大小为 其中 是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故 L O r mv 掠面速度 第六章 万有引力 14 由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零， 故角动量守恒，亦即 这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律.实 际上，此定律与角动量守恒定律等价. 如图，由解析几何知，椭圆方程为 太阳在焦点位置 两焦点在长轴上位置坐标为 c a 第六章 万有引力 15 设行星远日点和近日点的距离分别为 ，对应的速 度为 .由机械能守恒，有 由角动量守恒，有 第六章 万有引力 (1) (2) 16 其中考虑到 这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦点 位置.这一结果与天文观测资料的一致，证明了牛顿力学理论 的正确性,最为重要的是一举同时证明了引力二次方反比律和 运动定律两者的正确性. 解（1）、（2）和（3）得 根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有 第六章 万有引力 最后求得 (3) （其中： ） 17 (三)万有引力定律 一、由开普勒定律推导万有引力定律 若mms，可把太阳看作静止惯性系，行星轨道看作圆 形，而行星应作匀速圆周运动。由开普勒轨道定律得 而 ,故 取比例系数为k,则得 （注：下面推导中a用r代替） 第六章 万有引力 （注：这里a为向心加速度） 18 牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物 体之间都存在这种引力，称之为万有引力。 对地球和月亮之间的吸引力应有 根据牛顿第三定律，由以上两式得 其比值应是一个与地球和月亮都无关的普适常数，设为G,则 第六章 万有引力 19 于是，地球、月亮之间的引力为 普适的万有引力定律则可描述为 G称为万有引力常数.因为引力太弱，又不能屏蔽对它的 干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精 确的一个基本物理常量。 其量纲为 第六章 万有引力 20 卡文迪许扭秤实验（1789年） 亨利卡文迪许 (Henry Cavendish,17311810) 英国化学家、物理学家。 1760年卡文迪许被选为伦敦 皇家学会成员，1803年又被 选为法国研究院的18名外籍 会员之一 。 第六章 万有引力 21 第六章 万有引力 例7.1 试由地球向火星发射人造天体的发射速度。 E S M 解：采用双切轨道方案（霍曼轨道方案） 设地球轨道和火星轨道半径分别为re,rm, 则飞船运行的双切 椭圆轨道半长轴a是re,rm, 的平均值，即 双切轨道 22 第六章 万有引力 由 其中 C=Gmsm，ms，m分别为太阳和飞船质量； E为飞船摆脱地球的引力束缚后的总能量； 此时，飞船与太阳的距离仍为re，则此时飞船的动能为 由此解得飞船此时的速度 （注：此速度 相对于太阳） 23 相对于地球，飞船摆脱地球引力后的速度为 其中ve为地球公转速度，ve=29.6km/s 设飞船相对于地球的发射速度为v，由机械能守恒定律可得 于是可得 其中v2为第二宇宙速度，v2=11.2km/s 第六章 万有引力 24 第六章 万有引力 将有关数据代入，可得 以及 最后可得由地球向火星发射人造天体的发射速度为 25 解：考虑产生“黑洞”的条件： 令笫二宇宙速度取其等于光速c，则对质量为M的天体， 要成为“黑洞”，其半径需为 引力半径 第六章 万有引力 例7.2 引力半径与宇宙半径 若一物质均匀分布的半径为 r 的球体内，密度为 r， 则总质量为 又假设 r 正好是引力半径，则 此式表示光不可能发射到Rg以外的范围 宇宙环境的平均质量密