高中数学 第三章 三角恒等变换疑难规律方法学案 苏教版必修4

第三章 三角恒等变换1三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例1设、为锐角，且满足cos ，tan()，求cos 的值.分析利用变换()寻找条件与所求之间的关系.解、为锐角，且tan()0，0.sin() ，cos()，sin .cos cos()cos cos()sin sin()().二、利用目标中的角表示条件中的角例2设为第四象限的角，若，则tan 2_.分析要求tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，代入到，首先求出cos 2的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2.解析由2cos2cos 2.2cos2cos 212cos 2.cos 2.为第四象限的角，2k2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 2，2在第四象限，sin 2，tan 2.答案三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3已知sin，0x，求的值.分析转化为已知一个角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题.这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数.解原式2sin2cos，sin，且0x，x.cos，原式2.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4求函数f(x)sin(x20)cos(x40)的最大值.分析观察角(x40)(x20)60，可以把x40看成(x20)60后运用公式展开，再合并化简函数f(x).解f(x)sin(x20)cos(x20)60sin(x20)sin(x20)cos(x20)cos 60sin(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x65)，当x65k36090，即xk360155(kZ)时，f(x)有最大值.2三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招单角化复角例1已知sin ，是第二象限的角，且tan()，则tan 的值为_.解析因为sin ，为第二象限的角，所以cos ，所以tan .所以tan tan().答案点评将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：()，()，(2)()，()()，()()等.第二招复角化单角例2化简：2cos().解原式.点评由于该式含有2和，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可.第三招复角化复角例3已知，0，cos()，sin()，求sin()的值.解因为，所以sin().又因为0，0，sin0，故原式sin.点评一般地，在化简求值时，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2常常化为平方式：2cos2、2sin2、(sin cos )2、(sin cos )2.三、灵活变角例3已知sin()，则cos(2)_.解析cos(2)2cos2()12sin2()12()21.答案点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“”表示待求角“2”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例4已知tan ，则的值是_.解析3.答案3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin 和cos 的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5求值：sin 10sin 30sin 50sin 70.解原式cos 20cos 40cos 80.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4聚焦三角函数最值的求解策略一、化为yAsin(x)B的形式求解例1求函数f(x)的最值.解原函数变形得：f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函数ysin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.解原函数化简得：ysin 2xcos 2x2sin2.当2x2k，kZ，即xk，kZ时，ymin2.此时x的集合为x|xk，kZ.点评形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成yAsin(x)B的形式求最值.二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3求函数y的值域.解原函数整理得：sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.例4求函数y的值域.解原函数整理得：sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得：y.点评对于形如y或y的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5设关于x的函数ycos 2x2acos x2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.当1，即a1，即a2时，f(a)ymin14a，此时cos x1.综上所述，f(a).点评形如yasin2xbsin xc的三角函数可转化为二次函数yat2btc在区间1，1上的最值问题解决.例6试求函数ysin xcos x2sin xcos x2的最值.解设sin xcos xt，t， ，则2sin xcos xt21，原函数变为yt2t1，t， ，当t时，ymin；当t时，ymax3.点评一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin xcos xt，则sin xcos x(t21)；sin xcos xt，则sin xcos x(1t2).四、利用函数的单调性求解例7求函数y的最值.解y(sin x2)，令tsin x2，则t1，3，yt.利用函数单调性的定义易证函数yt在1，3上为增函数.故当t1即sin x1时，ymin0；当t3即sin x1时，ymax.例8在RtABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设ABa，ABC，ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值.解ACatan ，PABACa2tan .设正方形边长为x，AGxcos ，BC.BC边上的高hasin ，即，x，Qx2.从而1.易知函数y在区间(0，1上是单调减函数，从而，当sin 21时，min.点评一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.5行百里者半九十 三角恒等变换一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1已知sin ，sin ，和都是锐角，求的值.错解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin cos cos sin .因为，则(0，).所以或.剖析由sin ，sin ，和都是锐角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin()在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos()的值.正解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因为，则(0，)，所以.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2已知tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求的值.错解由题意知tan 、tan 是方程x26x70的两根，由根与系数的关系得：tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0.角、都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.正解由易知tan 0，tan 0.、(0，)，.0，B，且sin B.由sin A，得cos A，当cos A时，cos A.sin B，B，B.故当cos A时，AB，与A、B是ABC的内角矛盾.cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.温馨点评涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和ABC180这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现.四、忽略三角函数的定义域而致错例4判断函数f(x)的奇偶性.错解f(x)tan ，由此得f(x)tantan f(x)，因此函数f(x)为奇函数.剖析运用公式后所得函数f(x)tan 的定义域为.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错.正解事实上，由1sin xcos x0可得sin xcos x1，即sin1，从而sin，所以x2k且x2k(kZ)，故函数f(x)的定义域是，显然该定义域不关于原点对称.因此，函数f(x)为非奇非偶函数.温馨点评判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.五、误用公式asin xbcos xsin(x)而致错例5若函数f(x)sin(x)cos(x)，xR是偶函数，求的值.错解f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos sin.f(x)sin(x)cos(x)是偶函数.|f(0)|f(x)max.f(0)sin，sin1，k，kZ.即k，kZ.剖析x与x是不同的角.函数f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值误当作来处理.正解f(x)sin(x)cos(x)是偶函数.f(x)f(x)对一切xR恒成立.即sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立.sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0恒成立.即2sin x(cos sin )0恒成立.cos sin 0.cos sin sin0.k，即k，kZ.温馨点评注意公式asin xbcos x的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.例如：函数f(x)sin(x)r(3)cos(x)(xR)的最大值不是2.6平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解.一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a(2cos x2sin x，1)，b(y，cos x)，且ab.若f(x)是y关于x的函数，则f(x)的最小正周期为_.解析由ab得2cos2x2sin xcos xy0，即y2cos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，所以f(x)2sin(2x)1，所以函数f(x)的最小正周期T.答案点评解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a(4，5cos )，b(3，4tan )，(0，)，若ab，则cos(2)_.解析因为ab，所以435cos (4tan )0，解得sin .又因为(0，)，所以cos .cos 212sin2，sin 22sin cos ，于是cos(2)cos 2cossin 2sin.答案点评解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理.三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m(sin ，1cos )(0)与向量n(2，0)的夹角为，则_.解析由条件得|m|，|n|2，mn2sin ，于是由平面向量的夹角公式得cos ，整理得2cos2 cos 10，解得cos 或cos 1(舍去).因为0，所以.答案点评解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解.四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_.解析由条件可得|a|1，|b|2，abcos sin ，则|2ab|4，所以|2ab|的最大值为4.答案4点评解答平面向量的模与三角函数交汇的题目一般要用到向量的模的性质|a|2a2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解.五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f(x)2sin(x)(2x10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则