天津市红桥区2017届高三二模数学试题（理）含答案

高三数学（理工类） 第卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 2 | 1 , | 0 A x x B x x x ，则 A | 1 1 B | 0 1 C | 0 1 D | 0 1 2、设变量 ,0302 3 0 ，则目标函数 2z x y 的最大值为 A 6 B 32C 0 D 12 3、根据如下图所示的框图，对大于 2 的正数 N，输出的数列的通项公式是 A 2 2( 1)C 2D 124、某几何体的三视图如上图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值 A 2 B 3 C 32D 925、设 : | l g ( 1 ) , : | 2 1 xp x x y x q x x ，则 p 是 q 的 A 充分且不必要条件 B 必要且不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6、在 中， 01 2 0 , 2 , 3 , ,A B C B A B C D E 是线段 三等分点，则 E 的值为 A 659B 119C 419D 1397、将函数 2 s i n ( 2 )4f x x 的图象向右平移 ( 0) 个单位，再讲图象上没一点的横坐标缩短到原来的 12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x 对称，则 的最小值为 A 18B 14C 38D 128 、 已 知 函 数 2l o g , 0 2s i n ( ) , 2 1 04 ， 若 存 在 实 数1 2 3 4, , ,x x x 3 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x ，且1 2 3 4x x x x ，则3412( 1)( 1)的取值范围是 A (9,21) B (20,32) C (8,24) D (15,25) 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 9、设 i 为虚数单位，则复数 32i i 10、在371(2 )x x的展开式中常数项是 11 、在 中，角 , 对 边 分 别 为 ,已知1( s i n s i n ) ( ) ( ) s i a b a c C ， 则 12、曲线 C 的极坐标方程是 2 ，则曲线 C 上的点到直线 33:(32 为参数）的 最短距离是 13、如图，12,2 1 ( 0 , 0 )xy 的左右焦点， 过12 等边三角形，则双曲线的离心率为 14、已知下列命题： 函数 22122f x x x 有最小值 2； “ 2 4 5 0 ”的一个必要不充分条件是“ 5x ”； 命题 : , t a n 1p x R x ；命题 2: , 1 0q x R x x ，则命题“ () ”是假命题； 函数 3231f x x x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 3y . 其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分 13 分） 已知函数 22 s i n ( 2 ) 6 s i n c o s 2 c o s 1 ,4f x x x x x x R . （ 1）求 （ 2）求 0, 2上 的最大值和最小值 . 16、（本小题满分 13 分） 摩拜单车和 黄车等各种共享自行车已经遍布大街小巷，给我们的生活带来了便利，某自行车租车点的收费标准是：每年使用 1 小时之内是免费的，超过 1 小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算），有甲乙两人相互对立来该租车点租车（各组一车一次），设甲、乙不超过 1 小时还车的概率分别为 11,42； 1 小时以上且不超过 2 小时还车的概率分别为 11,24；两人租车时间都不会超过 3 小时 . （ 1）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率； （ 2）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求的分布列及数学期望 E . 17、（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P 中，底面 边长为 2 的正方形，侧面 底面 且 2 ,2P A P D A D E F分别为 ,D 的中点 . （ 1）求证：平面 /面 （ 2）求证：平面 平面 （ 3）在线段 是否存在点 G ，使二面角 C 的余弦值为 13？说明理由 . 18、（本小题满分 13 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 63，且过点 6(1, )3. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设与圆 223:4O x y相 切的直线 l 交椭圆 C 于 , 面积的最大值， 及取得最大值时直线 l 的方程 . 19、（本小题满分 14 分） 设n 项和，且 21 1 34 2 4n n nS a a . （ 1）求数列 （ 2）是否存在等比数列 11 1 2 2 ( 2 1 ) 2 2b a b a b n 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论 . （ 3）设 1 ()1n nC n ，且数列 n 项和为比较6的大小 . 20、（本小题满分 14 分） 已知函数 l n ( , )bf x x a x a b ，且对任意 0x ，都有 1( ) 0f x . （ 1）用含 a 的表达式表示； （ 2）若 12求出 a 的取值范围，并证明 2( ) 02； （ 3）在（ 2）的条件下，判断 y f x 两点的个数，并说明理由 . 高三数学（理） (1705) 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A B C A 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9 10 14114112 1 13 7 14 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （ 15）（本小题满分 13 分） （ ） 解： (1)f(x) 2 x c o s 2 c o s 2 s i 3x x 2x 2x 2 2 s i n 24x.以 ， f(x)的最小正周期 T 22 . ） 因为 f(x)在区间 30,8上是增函数，在区间 3 ,82上是减函数 . f(0) 2， 3 228f ， 22f ， 故函数 f(x)在区间 0,2上的最大值为 22，最小值为 2. 16）（本小题满分 13 分） （ ） 甲乙两人租车时间超过 2 小时的概率分别为：41,41.乙两人所付的租车费用相同的概率 p=4121+2141+4141=165. ） 随机变量 的所有取值为 0， 2， 4， 6， 8.(=0)=2141=81P(=2)=4141+2121=165P(=4)=2141+2141+4141=165P(=6)=2141+4141=163P(=8)=4141=161.学期望 652+1654+1636+1618=27. 17）（本小题满分 13 分） （ ） 连接 ， 为正方形， 为 中点， 为 中点 所以在 中， ，且 ， 所以 . ） 因为 ， 为正方形， ， 所以 .以 ， . ， 所以 是等腰直角三角形， 且 即 .且 所以 又 ， 所以 . ） 如图，取 的中点 ，连接 ， 因为 ，所以 因为 ， 所以 ， . ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， 又 是正方形，故 因为 ， 所以 ， 以 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， .有 ， ， ， 若在 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ， 连接 ， 设 由 （ ） 知平面 的法向量为 设平面 的法向量为 因为 ， ， 所以由 ， 可得 ， 令 ，则 ， ， 故 ， 所以 ， .得， 所以，在线段 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 . 18） （本小题满分 13 分） （ ） 由题意可得：22121363 .2 2 23 , 1 , 13xa b y . ） 当 k 不存在时， 33,22 ， 1 3 332 2 4O A .当 k 存在时，设直线为 y kx m， 1 1 2 2, , , ,A x y B x 21 , ( 1 3 ) 6 3 3 03x yk x k m my k x m .1 2 1 2226 3 31 3 , 1 3k m mx x x .24 3 (1 )d r m k . 2 4 2222 2 2 4 2 46 1 2 ( 1 ) 1 1 0 9 4| | 1 ( ) 3 3 11 3 1 3 1 6 9 1 6 9k m m k k kk k k k k k 2243 1 21 96 .且仅当 221 9, 即 33k 时等号成立 . 1 3 322 2 2 2O A B r ， 积的最大值为 32 ，此时直线方程 3 13 . . 19）（本小题满分 14 分） （ ） 由 得 ， .减并整理得 又由于 ， 则 ，故 .为 ， 所以 故 . ） 当 ， 时， ， 可解得 ， ， .想 使 成立 .明： 恒成立 令 得： ， 故存在等比数列 . ）.故 . 20） （本小题满 分 14 分） （ ） 法一：根据题意：令 ，可得 ， 所以 经验证，可得当 时，对任意 ，都有 ， 所以 .二：因为 所以要使上式对任意 恒成立，则须有 即 . ） 由 （ ） 可知 ，且 ， 所以 ， . ，要使 存在两个极值点 ， ，则须有 有两个不相等的 正数根，所以 解得 或无解，所以 的取值范围 ，可得 ， .题意知 ， 令 ，则 而当 时， ，即