第五节---基本不等式与柯西不等式(选修4—5)

知识能否忆起 一、 基本不等式 a 基本不等式成立的条件： _ . 2. 等号成立的条件：当且仅当 _ 时取等号 a 0 ， b 0a b 2 几个重要的不等式 _ _ _ ( a ， b R) ；ba_ _ ( a ， b 同号 ) A b _a a ， b R) ；a _a ， b R) 3 算术平均数与几何平均数 设 a 0 ， b 0 ，则 a ， b 的算术平均数为 _ _ ，几何平均数为 _ ，基本不等式可叙述为： _ _ _ _ 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 a 利用基本不等式求最值问题 已知 x 0 ， y 0 ，则： ( 1) 如果积 定值 p ，那么当且仅当 _ 时， x _ .( 简记：积定和最小 ) ( 2) 如果和 x y 是定值 p ，那么当且仅当 _ 时， 最大值是 _ .( 简记：和定积最大 ) x y 2 p x y 平均值不等式 a b a ， b ， c 0) 二、 柯西不等式 1 柯西不等式的二维形式 ( 1) 柯西不等式的代数形式：设 ( _ _ _ _ _ _ ( 当且仅当 号成立 ) ( 2) 柯西不等式的向量形式：设 ， 为平面上的两个向量，则 | | | | . ( a 1 b 1 a 2 b 2 ) 2( 3) 二维形式的三角不等式：设 R ，那么 2 柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 ， b1， ( ( ( . 小题能否全取 1 ( 教材习题改编 ) 函数 y x 1x( x 0) 的值域为 ( ) A ( ， 2 2 ， ) B (0 ， ) C 2 ， ) D (2 ， ) 解析： x 0 ， y x 1x 2 ，当且仅当 x 1 时取等号 答案： C 2 已知 m 0 ， n 0 ，且 81 ，则 m n 的最小值为 ( ) A 18 B 36 C 81 D 243 解析： m 0 ， n 0 ， m n 2 18. 当且仅当 m n 9 时，等号成立 答案： A 3 ( 教材习题改编 ) 已知 01 ，则 x 4x 1 的最小值为 _ 解析： x 4x 1 x 1 4x 1 1 4 1 5. 当且仅当 x 1 4x 1，即 x 3 时等号成立 答案： 5 5 已知 x 0 ， y 0 ， l g x lg y 1 ，则 z 2x5_ 解析： 由已知条件 lg x lg y 1 ，可得 10. 则2x5y 2 102 ，故2x5y m 2 ，当且仅当 2 y 5 10 ，即 x 2 ， y 5 时等号成立 答案： 2 1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是 “ 一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得 ” ，若忽略了某个条件，就会出现错误 2 对于公式 a b 2 a 弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 a b 的转化关系 3 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 2 用就是 a a ， b 0) 逆用就是 a a ， b 0) 等还要注意“ 添、拆项 ” 技巧和公式等号成立的条件等 4 柯西不等式的形式特点 从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为 “ 方和积不小于积和方 ” 例 1 ( 1) 已知 x 0 ，则 f ( x ) 2 4x x 的最大值为 _ _ _ ( 2) ( 2012 浙江高考 ) 若正数 x ， y 满足 x 3 y 5 则 3 x 4 ( ) 5 D 6 自主解答 (1) x 0 ， x 0 ， f ( x ) 2 4x x 2 4 x x . 4x ( x ) 2 4 4 ，当且仅当 x 4 x，即 x 2时等号成立 f ( x ) 2 4 x x 2 4 2 ， f ( x ) 的最大值为 2. ( 2) x 0 ， y 0 ，由 x 3 y 5 15 1y3x 1. 3 x 4 y 15 ( 3 x 4 y )1y3x15 3 4 9 12 3515 3 2 3515 23 2 5( 当且仅当 x 2 y 时取等号 ) ， 3 x 4 y 的最小值为 5. 答案 ( 1) 2 ( 2) C 本例 ( 2) 条件不变，求 最小值 解： x 0 ， y 0 ，则 5 x 3 y 2 x 3 y ， 1225，当且仅当 x 3 y 时取等号 最小值为1225. 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件 1 ( 1) ( 2012 辽阳模拟 ) 函数 f ( x ) 3 x 12 x 0) 的最小值为_ ( 2) ( 201 1 天津高考 ) 已 知 1 ，则 3a 9_ ( 3) 已知 x 0 ， y 0 ， x 2 y ，若 m 2 恒成立，则实数 m 的最大值是 _ _ 解析： ( 1) f ( x ) 3 x 123 2 3 33 2 9 ， 当且仅当3 2即 x 2 时等号成立 ( 2) 由 1 得 l 1 ， 即 2 ， 3a 9b 3a 32 b 2 3a 2 当且仅当 3a32 b，即 a 2 b 时取等号 ) 又 a 2 b 2 2 4( 当且仅当 a 2 b 时取等号 ) ， 3a 9b 2 32 18. 即当 a 2 b 时， 3a 98. ( 3) 由 x 0 ， y 0 ， x 2 y 2 2 得 8 ，于是由 m 2 成立，得 m 2 8 ，即 m 10. 故 m 的最大值为10. 答案： ( 1) 9 ( 2) 18 ( 3) 10 例 2 ( 2012 江苏高考 ) 如图，建立平面直角坐标系 xO y ， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 y 120(1 k 0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 ( 1) 求炮的最大射程； ( 2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 自主解答 ( 1) 令 y 0 ，得 120(1 0 ，由实际意义和题设条件知 x 0 ， k 0 ， 故 x 20 20k 1k202 10 ，当且仅当 k 1 时取等号 所以炮的最大射程为 10 千米 ( 2) 因为 a 0 ，所以炮弹可击中目标 存在 k 0 ，使 120(1 关于 k 的方程 20 64 0 有正根 判别式 ( 20 a )2 4 64) 0 a 6. 所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标 利用基本不等式求解实际应用题的方法 ( 1) 问题的背景是人们关心的社会热点问题，如 “ 物价、销售、税收、原材料 ” 等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解 ( 2) 当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 2 ( 2012 福州质检 ) 某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件 ( 1) 据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ ( 2) 为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入16( 600) 万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价 解： ( 1) 设每件定价为 依题意，有8 t 251 0.2 t 25 8 ， 整理得 65 t 1 000 0 ，解得 25 t 40. 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元 ( 2) 依题意， x 25 时， 不等式 25 8 50 16( 600) 15x 有解， 等价于 x 25 时， a 150x16x 15有解 150x16x 2 150x16x 10( 当且仅当 x 30 时，等号成立 ) ， a 因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元 例 3 ( 2012 福建高考 ) 已知函数 f ( x ) m | x 2| ， m R ，且 f ( x 2) 0 的解集为 1 , 1 ( 1) 求 m 的值； ( 2) 若 a ， b ， c R ，且1a12 b13 c m ，求证： a 2 b 3 c 9. 自主解答 ( 1) 因为 f ( x 2) m | x |， f ( x 2) 0 等价于| x | m ， 由 | x | m 有解，得 m 0 ，且其解集为 x | m x m 又 f ( x 2) 0 的解集为 1 , 1 ，故 m 1. ( 2) 证明：由 ( 1) 知1a12 b13 c 1 ，又 a ， b ， c R ，由柯西不等式得 a 2 b 3 c ( a 2 b 3 c )1a12 b13 ca 1a 2 b 12 b 3 c 13 9. 1 使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明 2 利用柯西不等式求最值的一般结构为： ( 1 1(1 1 1)2 注意右边为常数且应注意等号成立的条件 3 已知 x ， y ， z 均为实数， ( 1) 若 x y z 1 ，求证： 3 x 1 3 y 2 3 z 3 3 3 ； ( 2) 若 x 2 y 3 z 6 ，求 解： ( 1) 证明：因为 ( 3 x 1 3 y 2 3 z 3 )2 (12 12 12)(3 x 1 3 y 2 3 z 3) 27. 所以 3 x 1 3 y 2 3 z 3 3 3 . 当且仅当 x 23， y 13， z 0 时取等号 ( 2) 因为 (12 22 32)( ( x 2 y 3 z )2 36 ， 即 14( 36 ， 87， 当且仅当 x 37， y 67， z 97时取等号 所以 典例 ( 201 1 重庆高考 ) 已知 a 0 ， b 0 ， a b 2 ，则 y 1a4 ( ) 4 5 尝试解题 a b 2 ， a 1. 1a4b1a4ba 22 abb2 a52 2 2 abb2 a92 当且仅当2 abb2 a，即 b 2 a 时，等号成立 . 故 y 1a4 答案 C 1. 解答本题易两次利用基本不等式，如： a 0 ， b 0 ， a b 2 ， ( a b )24 1. 又 y 1a4b 2441 又 1 ， y 411 4. 但它们成立的条件不同，一个是 a b ，另一个是 b 4 a 不正确 . 2. 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提 “ 一正、二定、三相等 ” 的忽视 . 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 . 3. 在运用基本不等式时，还要特别注意 “ 拆 ”“ 拼 ” “ 凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ” “ 等 ” 的条件 . 针对训练 1 (2012 福建高考 ) 下列不等式一定成立的是 ( ) A 4 lg x ( x 0) B si n x 1x 2( x k ， k Z) C 1 2| x |( x R) 1 1( x R) 解析： 取 x 12，则 4 l g x ，故排除 A ；取 x 32，则 s x 1 ，故排除 B ；取 x 0 ，则11 1 ，故排除 D. 答案 ： C 2 ( 2012 郑州质检 ) 若 a b 0 ，则代数式 b a b 的最小值为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析： 依题意得 a b 0 ，所以代数式 b a b b a b 22 2 4 ，当且仅当b a b 0 ， a 2 ， b 22时取等号，因此 b a b 的最小值是 4. 答案 ： C 教师备选题 （给有能力的学生加餐） 1 函数 y x( a 0 ，且 a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 1 0( 0) 上，则1m1 解析： 因 y 0 ,1) ，则 A ( 1,1) ，又 A 在直线上，所以 m n 1( 0) 故1m1nm m 4 ， 当且仅当 m n 12时取等号 答案 ： 4 2 已知直线 x 2 y 2 分别与 x 轴、 y 轴相交于 A 、 B 两点，若动点 P ( a ， b ) 在线段 ，则 最大值是 _ 解析： A ( 2,0) ， B ( 0,1) ， 0 b 1 ， 由 a 2 b 2 ，得 a 2 2 b ， (2 2 b ) b 2( 1 b ) b 2 1 b 2. 当且仅当 1 b b ，即 b 12时等号成立，此时 a 1 ， 因此当 b 12， a 1 时， ( m a x12. 答案 ： 12 3 若 x ， y (0 ， ) ， x 2 y 30. ( 1) 求 取值范围； ( 2) 求 x y 的取值范围 解： 由 x 2 y 30 ， (2 x ) y 30 x ， 则 2 x 0 ， y 30 x 0,0 x 30. ( 1) 30 2 2 x 32 x 64 6