【gct数学必备公式】

第一部分：算术、初等数学 一、绝对值 1、非负性：即 任何实数 a 的绝对值非负。,0a 归纳：所有非负性的变量 （1）正的偶数次方（根式） 01,4242a （2）负的偶数次方（根式） ,a （3）指数函数 0)1(ax且 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。 2、三角不等式，即 bb 左边等号成立的条件： a且0 右边等号成立的条件： 二、比和比例 1、 %)1(%papa 现 值增 长 率 原 值 现 值下 降 率 原 值 %, pp乙甲甲 是 乙 的乙 乙甲注 意 ： 甲 比 乙 大 2、 dbcamdcba1合 分 比 定 理 ： fefe等 比 定 理 ： 3、增减性 ， 1ba0mba1ba)0(mba 三、平均值 时 ， 等 号 成 立 。当 且 仅 当 何 平 均 值 ， 即平 均 值 不 小 于 它 们 的 几个 正 数 时 ， 它 们 的 算 术为、 当 ninxx n 212121 ,1,0,等 号 等 成 立另 一 端 是 常 数、 ,02baba 3、 （ab0 ）, ab 同号 2ab 4、n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这 n 个正数相等，且等于算术平均值。 四、方程 1、判别式（a,b,c,R） 无 实 根两 个 相 等 实 根两 个 不 相 等 的 实 根 042acb 2、图像与根的关系 0 =0 0acb4 f(x)=ax2+bx+c(a0) x1 x2 x1，2 f(x)=0 根 x1,2= x1,2= 无实根ab2ab2 f(x)0 解集 xx2 x xR f(x)0) x1 x2 x1，2 f(x)=0 根 x1,2= x1,2= 无实根ab2ab2 f(x)0 解集 xx2 x xR f(x)0 对任意 x 都成立，则有：a0 且 0 时 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 必不互斥（独立不互斥） 若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 必不独立（互斥不独立） 注意： 与任事件即互斥也独立 7、判断 A 与 B 相互独立的充要条件 （1）定义 P(AB)=P(A)P(B) （2）P(B|A)=P(B) (P(A)0)或 P(A|B)=P(A) (P(B)0)， 即：B 的发生不受 A 的影响 （3）00 (3) 参数方程： rsinyco0 4、椭圆 cax:l,x:l(4) 1e0,ace3 ,0babsinyox2 0ba,c,1a1221 222准 线 ： 满 足离 心 率 ： 是 参 数其 中 ，参 数 方 程 ： 满 足其 中标 准 方 程 ： 5、双曲线 cax:l,x:l(5)b-y,a41e,c)3( ,0a,tnsx2 0b,a,cb,1ya1221 222准 线 ：渐 近 线 ： 满 足离 心 率 ： 是 参 数其 中参 数 方 程 ： 满 足其 中标 准 方 程 ： 6、抛物线 2pyd,c,2px)b(,-)a(31lMFE2 02),0(yc pxybpa2 准 线 ： 的 距 离到离 心 率 ：标 准 方 程 ： 华章辅导联考考前辅导第一品牌 选择华章，选择成功 11 第三部分：微积分 一、一元函数微分学 1、导数的数学定义式 )(,lim,00000 函 数 ， 求 导 数 值用 于 表 达 式 给 定 的 具 体 否 可 导 ）（ 用 于 抽 象 函 数 判 定 是xfxfx 2、可导与连续的关系 f(x)在 x=x0连续存 在0xf 3、左右导数 AxffAxf xfff ffxfxfxxx 000 0000 limlilili0结 论 ：右 导 数 ：左 导 数 ： 4、导数的几何意义 设点 M0（x 0,f(x0)）是曲线 y=f(x)上的点，则函数 f(x)在 x0点处的导数 f(x0) 正好是曲线 y=f(x)过点 M0点的切线的斜率 k，这就是导数的几何意义。 （1）切线方程 y=f(x0)(x-x0)+f(x0),法线方程为 0001xffy （2）切线平行 x 轴 切线方程：y=f(x 0), 法线方程：x=x 0 （3）切线平行 y 轴 切线方程：x=x 0, 法线方程：y=f(x 0) 5、常见函数求导公式 C X ax ex ln|x|xf x1xalog f(x) 0 x-1 axlna ex 22ln1 6、 xgffxgf2 7、高阶导数（掌握二阶导数即可） 常见函数的二阶导数 C X ax ex ln|x|xf x1xalog f(x) 0 x-1 axlna ex 22ln1 f(x) 0 (-1)x-2 ax(lna)2 ex 2341x3 al22x 8、可导、可微、连续与极限的关系 可到一定连续，连续不一定可导 极限 连续 可导 可微 9、奇偶函数，周期函数的导数 （1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且 f(0)=0 （2）可导奇函数的导函数为偶函数 （3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数 10、微分公式（*核心*）： dxf 11、洛必达法则 ,0AxgfxfAxgfxgxf limli,lim 0lim,li 则， 且或或若 12、判断函数的增减性，求函数单调区间 华章辅导联考考前辅导第一品牌 选择华章，选择成功 13 （1）单调性定义 减为 单 调 递 增则时 ， 有当 xffxfxDx , 21212 （2）判别方法：用 f(x)判断 设 f(x)在（a,b）上可导，则 f(x)在(a,b)内单调增加（减少）的充分条件为 f(x)() 0 f(x)单调增 f(x)0 注意：设 f(x)在（a,b）区间内可导则 f(x)在（a,b）内严格单调增加（减少）的充分 条件 f(x)0（f(x)0 严格单调增加 f(x)0 ， （f(x)0） ，则称 x0 为极大值点（极小值点） 。 第二充分条件： 设 f(x)在 x0 点的某一领域内可导且 f(x0)=0, f(x0)0 若 f(x0)0 则 x0是极小值点，f(x 0)为极小值 若 f(x0)1) ax(01) logax(00，则(x 0, y0)不是极值点 2 若 =B2-AC0 时为极小值点 3若 =B 2-AC=0，则不一定 第四部分：线性代数 一、矩阵 1、矩阵的乘法一般没有交换律，即 ABBA；常见可交换矩阵： （1）逆 A-1：AA -1=A-1A=E （2）单位矩阵 E：AE=EA=A （3）数量矩阵 kE: A(kE) = (kE)A=KA （4）零阵 0：A0=0A=0 （5）幂：A mAn=AnAm=Am+n （6）伴随 A*：AA *=A*A=|A|E（重要） 2、AB=0 A=0，或 B=0，当且仅当 A 或 B 可逆时才成立；对于 AB=0，应该 认识到 B 的每一列都是齐次方程组 AX=0 的解，若 B0，则齐次方程组有非零解； 3、AB=AC B=C，当且仅当 A 可逆时，才成立； 4、A 2=A A=E 或 A=0，当且仅当 A 可逆时，有 A=E；当 A-E 可逆时，有 A=0； A2=0 A=0，仅当 A 为对称矩阵，即 A=AT 时，命题才成立； 5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：|kA|=k n|A| k|A|。 6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式 逆 转置 伴随 （A -1） -1=A （A T） T=A （A *） *=|A|n-2 A (kA)-1=k-1A-1(k0) (kA)T=k AT(kR) (kA)*=kn-1A* (kR) (AB)-1=B-1A-1 (AB)T=BTAT (AB)*=B*A* |A-1|=|A|-1 |AT|=|A| |A*|=|A|n-1(n2) 一般(A+B) -1A-1+B-1 (A+B)T=AT+BT 一般(A+B) *A*+B* 互换性：(A -1)T=(AT)-1 , (A-1)*=(A*)-1 , (A*)T=(AT)* , (A k)*=(A*)k ; 即这四种符号 （-1， T ， *，k）可以进行互换，以简化运算。 7、重要结论与公式 （1）对于 Amn r(A)minm, n （2）r(A)=r(A T) （3）A 行 B 有 A 与 B 的行向量相互等价 不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩） r(A)=r(B) （4）r(A+B)r(A)+r(B) 华章辅导联考考前辅导第一品牌 选择华章，选择成功 19 类似 |x + y| |x| + |y| P(A+B)P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B) （5）r(AB)min(r(A)，r(B) BrA （6） B 可逆 r(AB)=r(A) B 不可逆 r(AB)n 时，则其线性相关 （2）m=n 时，令 Amn= 判 断 相 关 性根 据， 0A)(21n 三、线性方程组 （一）关于方程组解的性质 的 解为即 的 解 ，为分 析 ： 若 的 解任 何 两 个 解 之 差 为、 的 解为时 ，当分 析 ： 的 解为时 ，当 的 解为、 若分 析 ： 的 解为的 解 ， 则为、 若 0AX 0)(A, 0X3 0AX2A11X2 0X0,21 2121212121 2121 2121 21221 x xxxAkk kkkk kk kk 华章辅导联考考前辅导第一品牌 选择华章，选择成功 21 （二）含有参数的线性方程组的求解 1、齐次线性方程组 AX=0 解题提示：对系数矩阵 A 进行初等变换， 化成阶梯型，然后按两步进行讨论 ; (1) 线性方程组只有零解，即 r(A)=n (2) 线性方程组有非零解，即 r(A)n,并将非零解求出来。 2、非齐次线性方程组 AX= 解题提示：对增广矩阵 进行初等交换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：A 并 将 解 求 出 来 。， 即线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解 即线 性 方 程 组 有 唯 一 解 ，线 性 方 程 组 无 解 ， 即 ,3 ;2;1 nArr 不 唯 一 。 线 性 表 示 ， 且 表 示 方 式若 有 无 穷 多 解 ， 则 能 够够 唯 一 线 性 表 示示 ； 若 有 唯 一 解 ， 则 能 不 能 线 性 表解 的 情 况 ， 若 无 解 ， 则组转 化 为 非 齐 次 线 性 方 程 线 性 表 示 ， 可 以，是 否 可 以 由， 则，、 如 果 有 一 组 向 量 ;21 21s21 s sxx 4、有关基础解系的问题 解题提示：某一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件： （1） 该向量组中的每个向量都满足方程 AX=0 （2） 该向量组线性无关 （3） 该向量组中向量的个数等于 n-r(A)；或方程组得任一解向量都可由该向量组线 性表示。 四、特征值和特征向量 （一）概念 的 特 征 向 量为线 性 相 关 ， 称与，满 足、 定 义 ： 若 向 量 AA2011 的 非 零 解为， 即， 令 、 表 达 式 ： 0BXE-B0E-A2 3、特征值 () 4、求特征向量 的 非 零 解向 量 ， 即 对 应 的 特 征特 征 向 量再 求 出 对 应 特 征 值 下 的求 出先 由 0XE-Ai1 in （二）性质 1、属于不同特征值的特征向量线性无关 2、 的 特 征 向 量为， 其 非 零 组