《实验应力分析》--基础理论

课程基本情况 n 总学时： 48学时（ 理论课 :36学时 +实验 :12学时 ） n 教材： n 参考资料： n 先修课程： 材料力学 、 弹性力学 1. 实验力学 ，戴福隆，清华大学出版社， 2010.7 2. 实验力学 ，张天军，西北工业大学出版社， 2008.8 1. 实验应力分析 ，张如一，机械工业出版社， 1986 2. 实验应力分析 ，赵清澄，科学出版社， 1987 一、实验应力分析的任务 实验应力分析 ，又名 实验力学 。是用实验的方法测定构件 中的应力和变形的一门学科。 1、解决工程上的力学问题有三种方法 解析法： 用弹性力学或塑性力学进行求解。即首先建立力学模型 然后用数学方法进行求解。用数学方法求解工程问题时， 常遇到数学和计算方面的困难，只能对有限的一些简单 问题给出精确解。 计算法： 用有限差分法或有限元法等数值计算求解工程上的力学 问题。 实验法： 用实验的方法求解工程上的力学问题。 2、 实验的特点： （ 1）验证理论推导或计算结果的正确性。 用解析法或计算法得出的结果，必须经过实验的验证， 否则结果的正确性不被认可。 （ 2）解决工程中的复杂问题。 用解析法和计算法求解时，首先要建立力学模型，但有 时力学模型很难建立，直接用实验法更方便。 （ 3）探索未知的科学。 通过长期对实验结果的观察、总结并归纳为理论。 如：虎克定理和散斑（最初是由于散斑对照片的质量有 影响，所以设法消除掉，最后发现它是求位移的一种重 要的方法）。 以上三种方法，解析法是最重要的，而计算法与实验法并列 成为解析法的工具。对于工科的学生这三种能力必须具备。 二、主要方法 1、电学法 包括电阻、电容和电感。其中电阻是重点， 通过电阻应变片来测量应变已很成熟。 2、光学法 光弹性法： 光学 +弹性力学。 现代光测法： 包括全息、散斑、云纹和云纹干涉法。 3、声学法： 包括声弹法和超声波。因为用声学法测量时设备比较贵， 测量的准确性较差，因此这部分内容用的比较少。 三、学科的发展趋势 微观：称为纳米，即 ， 纳米与原子同数量级 细观：细观称为微米，即 ， 宏观： 即向小的方向发展。 细观力学已被认为是近年来 理论与应用力学中振奋人心的新领 域之一。国内许多学者与工程界人士也逐步从各个不同侧面开 展了细观力学的研究，并取得了大量的研究成果，使细观力学 日趋成熟。特别是一些学者正在进行微观力学的研究工作。 1、向微观方向发展： 2、向宏观方向发展： 3、实验力学随仪器而发展： 实验技术发展的快慢主要依赖于设备，随着计算机的发展及 数据处理的自动化，使得实验力学向着功能强、精度高、自 动化和媒体化的方向发展。 即向大的方向发展。 如高层建筑物、天体现象等。 第一篇 实验应力分析基础 实验应力分析基础 误差分析和实验数据处理 结构的相似性 一、真值、实验值和误差 （ 1）真值： 客观上真正存在的物理量。 如：桌子的尺寸，室内的温度等。在测量真值时，由于仪 器、测量方法、环境、人的观察力都不是完美的，所 以严格说真值是无法测得的。 （ 2）实验值： 用实验的手段来测量真值。只能测得真值的近似值。 （ 3）误差： 实验误差是实验值与真值的差值。实验误差简称为误差。 实验误差 = 实验值 真值（未知） 第一章 误差分析和实验数据处理 1-1 基本概念 二、准确度和精密度 （ 1）准确度： 指测量值与真值的偏差。 既指测量值与真值的接近程度。 （ 2）精密度： 指多次测量所得数据的重复程度。 重复性好即精密度高，但不一定准确度高，即所测 数据可能都与真值相差较大。 这两者的区别可用打靶的例子来说明， 图 (a)表示准确度和精密度都高； 图 (b)表示精密度高但准确度不高，即打靶较集中但 离靶心较远； 图 (c)表示两者都不高。 （ 3）精确度： 指准确度和精密度的统称。 三、有效数字 在测量数据时，确定用几位数字代表测量结果十分重要。测量数据 的位数与测量的准确度有关，取得位数太多或太少都是不对的。测 量时要估读到仪表刻度上最小一格中的分数，而不能将它略去。 如： 0.002340 -有效数字是 4位 其中最后一个 0为可疑位， 4为准确位。 0.00234 - 有效数字是 3位。 其中 最后一个数 4为可疑位， 3为准确位。 最后一位可疑到什么程度，认为不会可疑到 最小一格 的一半。 四、舍入法 在一般计算中是 4舍 5入，而在实验中是 4舍 6入，何谓 4舍 6入呢？ 末位有效数字后的第一位数字 5 则向前一位入 1。 5 则舍去。 = 5 末位有效数字为奇数则向前入 1。 末位有效数字为偶数则舍去。 如：下面的数均保留 2位有效数字 0 .1 2 4 0.12 0 .1 2 6 0.13 0 .1 2 5 0.12 0 .1 3 5 0.14 五、加减乘除运算 加减运算： 各项所保留的小数点后的位数应与各项中小数点 后位数最少的相同。 如： 乘除运算： 各因子保留的位数以有效数字最少的为准，所得 积或商的准确度不应高于准确度最低的因子。 如： 一、误差的来源 1、系统误差（又称恒定误差） 系统误差是由人为或某一固定因素造成的误差。系统误差可以 消除。如：尺子长了，则测出的数据均偏小；杆秤准心偏了， 秤出的重量总是偏小。系统误差有固定的偏向和一定的规律 性，可根据具体原因采取适当的措施予以校正和消除。 2、偶然误差（又称随机误差） 偶然误差由多种因素引起，要找到原因很难。当测量多次时， 偶然误差时大、时小、时正、时负，没有固定的大小和偏向。 常围绕某一中间值上下波动。当测量次数足够多时，发现偶然 误差服从统计规律。 1-2 误差的来源及处理方法 3、间接测量误差： 在实验中，对长度、重量、位移等物理量能直接测量，但对应 力等物理量一般不能直接测量，必须通过一些能直接测量的物 理量按一定公式计算求得。这计算出的间接测量的结果具有一 定的误差，如何由直接测量误差计算间接测量误差，这就是误 差传递规律的问题。 二、偶然误差的理论 1、误差的正态分布 实验时希望测量值尽量接近真值，在消除系统误差和过失误 差之后，实验数据中仍包含偶然误差。既然偶然误差很难消 除掉就要找到它的规律。随机变量与其均值的偏差的概率成 正态分布。 从误差分布曲线，可看出偶然误差有下列特性： （ 1）小误差出现的概率高，大误差出现的概率低，绝对值 很大的误差出现的概率接近于零。 （ 2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 高斯于 1795年找出了描述偶然误差的函数形式为： S - 标准误差； h - 精密度指数； 高斯概率分布定律 p（ x） - 概率密度。 高斯误差分布曲线 高斯误差分布曲线 误差分布曲线上的最高点。与 h成正比，与 S成反比。 因此 h越大 S越小时曲线中部越高，两边下降越快； 反之，曲线变的越平坦。 特点： 1、 越大， 值越小，曲线越平坦。 越小， 值越大， 曲线越陡峭。 2、当 时， 2、偶然误差表示法 （ 1）算术平均值 偶然误差的特点：正、负误差出现的概率相等，则计算真 值的最佳方法是取算术平均值，因为正负误差相互抵消。 （ 2）标准方差公式（均方根误差） 测量误差： 第 i次的测量值； 算术平均值； 测量次数， 当 时， ， 真值。 第 i次的测量值； 真值。 标准方差公式： 当 时，才能计算出真值 ，所以标准方差公式适用于测 量次数足够多的情况。 对较大或较小的误差反映比较灵敏，它是表示测量精密度较好的一 种方法。 （ 3）有限次测量时的标准误差 当测量次数无限多时，算术平均值就是真值 有限次测量时， 只是真值的近似值。 测量误差： 第 i次的测量值； 真值的近似值。 由于测量中正负误差出现的概率相等，可推出下列公式： 有限测量次数中从算术平均值计算的偏差平方和，小于从真值计 算的误差平方和，由此得出有限次测量时标准误差的计算公式。 有限次测量时的标准误差： 三、间接测量误差 已知直接测量值的误差，求间接测量值的误差， 即已知自变量的误差求函数的误差。 设函数 其自变量 为 r个直接测量的物理量， 其标准误差分别为 对 各作了 n 次测量，可算出 n 个 y 值： 每次测量的误差： 两边平方： 由于正负误差出现的概率相等，当 n足够大时，将所有 相加， 则非平方项对消而得出： 两边除以 n再开方得标准误差： 相对标准误差： 1-2 实验数据表示法 一、图示法 用几何图形把实验数据表示出来的一种方法。 主要优点 :形式直观，便于比较，能显示数据中最大或最小 值、转折点或周期性等特点。 作图注意事项： （ 1）坐标轴中的 x轴永远代表自变量， y轴永远代表因变量。 各坐标线的间距应以每一点在坐标纸上能迅速方便地找到， 一般直角坐标纸的各坐标线的间距以分格为 1， 2， 5最方便。 （ 2）坐标的最小分格应相应于被表示量的误差。 分格过细超过实验精度，会造成曲线的人为弯曲、具有虚假 精度。分格过粗又降低了实验精度，使曲线过于平直。一般 使曲线在横纵坐标之间的 方向为宜。 （ 3）对于只看变化趋势的情况，则将数据点描在图纸上即可 , 对于作为准确实验工具用的曲线图，则要按一定规矩描点。 由于实验数据都有一定的误差，因此画图时，不能简单描 点，而应用一矩形表示。矩形两边分别代表自变量和因变量 的误差，中心代表算术平均值，真值应在此矩形内。若用两 倍的标准误差作误差的合理范围，这样所得曲线介于两条虚 线间的概率为 95%。 （ 4）连接曲线时因光滑连续。 在实验测量中，有时出现一个或几个过大或过小的数据，这 时不能按主观判断加以取舍，这是错误的。对于可疑的异常 数据一般要分析出明确的物理和技术原因，然后决定取舍。 例如：用应变片测量构件应变时，个别应变数据过大或过小， 如经分析是由于应变片质量或安装（粘贴）上的原因造成异 常，则可舍去，但如果分析不出原因，则应根据统计学的偶 然误差理论来取舍处理这些可疑数据。 二、列表法 列表法就是将一组实验数据中的自变量、因变量等各个数值依一 定形式和顺序一一对应排列成表格。 主要优点： 简单易作，形式紧凑，数据易于参考比较。 列表注意事项： （ 1）自变量 X间距的选择。 一般 X为 1， 2或 5乘以 。 X不能过大 或过小，过小则表太繁且篇幅太大，过大时不准确。 （ 2）表中所有数值的有效位数应取舍合理 自变量假定其无误差，因变量的位数取决于实验精确度。 （ 3）数据分度的方法 通常由实验测得的数据，自变量或因变量的变化一般不够规 则，应用也不方便，而且原始实验数据未经处理可能包含一 些错误（如异常的可疑数据等），使表格数值不准确。数据 的分度就是将表中所列数据更有规则地排列起来，当自变量 作等间距顺序变化时，因变量亦随着渐变，这样的表应用方 便而较准确。 数据分度的方法有图示法、最小二乘法等。 图示法 先将原始实验数据在坐标纸上描点作出光滑曲 线，然 后按规则 X等间距自曲线上逐个读出 Y的数值列成表格。 三、列方程法 列方程法是用一个方程式或经验公式将实验数据表示出来。 主要优点： 形式紧凑，而且便于进行微积分运算。 工程上，常需要根据几个变量的几组实验数据，来找到这几 个变量之间的函数关系，这个函数的近似表达式叫经验公式 最常用的拟合经验公式的方法有最小二乘法 从实验数据找经验公式 根据实验数据画图 求经验公式应有的形式用实验数据去验证 根据图形和经验 及解析几何原理 若不合适，则 建立新的形式 例如： 为了测量刀具的磨损速度，做这样一个实验，每隔 一小时，测量一次刀具的厚度，得到一组实验数据。 时间 ti（ 小 时 ） 0 1 2 3 4 5 6 7 厚度 yi（ cm） 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 最小二乘法 根据实验数据建立 y与 t之间的经验公式，设 y=f（ t）。 首先确定 f（ t）的类型， 即 f（ t）可能是直线还是曲线， 为此在直角坐标系中将 线画出。 从图中可见这些点的连线大致是一条直线，于是认为 f（ t）是线性函数 设： 待定常数 a、 b的选取 : 理想情况： 选取能使 经过图中各测点，但这是不可 能的，因为这些点本来就不在同一直线上。 实际情况： 只能要求 a、 b使得 在 处 的函数值与实验数据 的偏差最小。 偏差的和最小时，不能保证函数值与实验数据的偏差 也最小。因偏差有正有负，在求和时可能相互抵消 。 让偏差的绝对值之和最小。但加绝对值不便于进一步分析讨论。 根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数 a、 b的方法叫最小二乘法。 M最小的条件： 一般计算比较繁琐，可用计算机辅助计算。 解此方程组得： 拟合经验公式 ： 第二章 结构的相似性 工程中在实际构件上做实验有时很困难，那么如何用模型代替实际 构件呢？量纲分析和相似理论是研究原型与模型之间规律的基础理 论，在模型实验时必须应用这些理论来找它们之间的规律。 在工程中什么样的问题需要用到模型实验？ 1、尺寸大的构件： 如：大楼的抗震实验；水坝的强度实验等不能建好大楼 和水坝后再做实验，必须先做实验后建大楼和水坝。 2、破坏性实验： 如：坦克的破坏实验。一台坦克的造价约为 1700万元， 破坏一台造价太高，所以只能做模型破坏实验。 3、尺寸非常小的构件： 尺寸非常小的构件，在实际构件上做实验很困难， 这就需要在放大后的模型上做实验。 原型（实体） 模型 (模型实验得到的数据 ) 相似理论 2-1 相似理论 一、相似现象及相似理论的基本概念 1、相似现象： 几何相似：指形状、大小相似。 物理相似：指物理性能相似。如：热性能；粘性；弹性性能相似等。 数学相似：指描述某些现象的数学方程式相同。如：弹力中的薄膜比 拟法与扭转毫无关系，但是它们的数学方程式是相似的， 所以可用薄膜比拟法来解扭转问题。 2、相似理论的基本概念： （ 1）相似系数：两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似 系数。 如广义虎克定律： 原型： 模型： 若模型与原型相似，则相应的参数之比为常数 比例常数 相似系数。 （ 2）相似指标： 原型： 当相似系数的组合比等于 1时，模型与原型的广义虎克定律相同 若模型与原型相似，则所描述的方程必须相同 相似指标 （ 3）相似判据： 把相似指标中的相似系数换成相应的物理量 相似判据 相似判据 相似判据 （ 4）判据方程： 判据方程 模型的相似判据： 模型的相似判据： 判据方程 相似指标 相似指标 二、相似理论 1、相似第一定理 在相似现象中，相似指标为 1或相似判据为一个不变量。 在相似现象，其相似判据是相同的，是一个不变量。 2、相似第二定理 表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可转换成无量纲方 程，无量纲方程的各项即是相似判据。 因此表示某现象各物理量之间的关系方程式，都可写成相似判 据方程。 如 :广义虎克定律 3、相似第三定理 在物理方程相同的情况下，两个现象只要下面的条件相似， 则这两个现象必相似。 （ 1）几何相似 （ 2）时间相似（动态或动力学问题要求时间相似） （ 3）物理参数相似 （指 E、 、密度 等相似） （ 4）边界条件相似 （ 5）初始条件相似 （ 6）数学相似 相似定理中第一定理最重要，因为给出了相似理论的必要 条件。即相似必满足以上条件，但满足此条件不一定相似。 相似第三定理给出了相似的充分条件，即以上几方面都相 似则两个现象必相似。 相似理论是数学问题，下面把数学中的相似理论应用到弹性结构中。 三、弹性结构的相似性 例 1： 悬臂梁结构的相似性。 悬臂梁自由端受集中力作用时 X截面的弯矩： X截面的最大应力： X截面的挠度： 相似系数： 惯性矩抗弯截面模量 把相似系数分别代入弯矩、应力和挠度方程 弯矩 方程 ： 应力 方程 ： 相似指标： 挠度方程： 相似判据： 判据方程： 若要使模型与原型中应力相等 例 2、 求解各向同性的弹性结构的应力和变形 一个各向同性的弹性结构要求解其应力和变形时就必须考虑平 衡、几何、物理方程和边界条件。利用这些方程和边界条件建 立相似判据方程。若模型与原型相似，根据相似第一定理，相 似判据为一个不变量，所以根据判据方程式，可得模型与原型 诸物理量之间的关系式。 弹性结构中的相似系数有： 几何相似系数： ； 应力相似系数： 应变相似系数： ； 弹性模量相似系数： 泊松比相似系数： ； 位移相似系数： 体积力相似系数： ； 边界面力相似系数： （分布载荷） 1、平衡方程 原型（实体）： 三个平衡方程求出的相似判据均相同 代入相似系数： 相似指标为： ， 相似判据为： 判据方程为： 若不考虑体积力， 平衡方程 ： 任意常数时均符合相似条件 因此不考虑体积力时，平衡微分方程对 和 无制约关系， 只要其它条件相似，模型中的应力与原型中的应力保持相似。 2、物理方程 原型（实体）： 代入相似系数： 相似指标： 误差是不可避免的，因为模型与原型的材料不同，所以泊松比也不 会完全相同。一般情况原型是用金属材料制成的，金属材料的泊松 比 = 0.280.3, 模型是用环氧树脂材料制成的，而环氧树脂材 料的泊松比 = 0.360.38 ，所以由泊松比引起的误差不会很大。 若模型与原型相似，模型材料的泊松比必须 与原型材料的泊松比相同，否则将带来误差。 相似判据： 判据方程： 3、几何方程： 原型（实体）： 代入相似系数： 相似指标： 相似判据： 判据方程： 4、边界条件： 原型（实体）： 代入相似系数： 相似指标： 相似判据： 判据方程 ： 单位面积上的载荷 集中载荷 若表面上作用集中力，则需经下式换算 总之，若模型与原型相似，则模型与原型中的 所有物理量应满足上面所列的 5个相似判据方程。 1、平衡方程 2、物理方程 3、几何方程： 4、边界条件： 若不考虑体积力，（除 外只有三个条件） 应变换算公式 : 位移换算公式： 应力换算公式： 2-2 用量纲分析法分析结构相似 一、量纲分析的基本概念 单位：表示所度量物理量的大小。是物理量的度量标准， 它是不唯一的，能够受到人们主观意志的影响。 量纲：表示所度量物理量的类型。是物理量的物理属性， 它是唯一的，不随人的主观意志而转移。 如： 5米， 10分米， 3厘米， 11毫米等虽然它们的大小不同，但都表示长 度，属于同一种类型的物理量，因此它们的量纲相同。长度的量纲 用 L表示。 如： 10小时， 3分， 2秒等虽然它们的大小不同，但都表示时间，属于同 一种类型的物理量，因此它们的量纲相同。时间的量纲用 T表示。 物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲 1、基本量纲 通常力学中以长度、质量、时间和温度作为基本量纲， 其量纲单位分别以 L、 M、 T和 表示； 2、导出量纲： 常用的由基本量纲表示的导出量纲有： 速度 加速度 力 密度 应力 应变 泊松比 弹性模量 1、基本量纲 通常力学中以长度、力、时间和温度作为基本量纲， 其量纲单位分别以 L、 F、 T和 表示； 二、量纲一致性原理 一个正确、完善的反映客观规律的物理方程中， 各项的量纲是一致的，这就是量纲的一致性原理。 1、确定方程式中系数的量纲： 例 1： 动力学方程如下， 试： 确定方程中 k、 的物理含义。 方程式中的第一项表示力 ，其量纲为 方程式中的第二项也表示力，其中速度的量纲为 ， 所以 k的量纲为 ，表示质量随时间的变化率。 同理可知， 表示速度。 例 2：