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第四章第四章 差分方程方法差分方程方法3 *常系数线性差分方程;差分方程的平衡点及其稳定性;连续模型的差分方法;案例分析:最优捕鱼问题。4 *一一 .常系数线性差分方程常系数线性差分方程1.常系数线性齐次差分方程 5 *(1) 特征根为单根1.常系数线性齐次差分方程 6 *(2) 特征根为重根1.常系数线性齐次差分方程 7 *(3) 特征根为复根1.常系数线性齐次差分方程 8 *2.常系数线性非齐次差分方程 一一 .常系数线性差分方程常系数线性差分方程9 *2.常系数线性非齐次差分方程 一一 .常系数线性差分方程常系数线性差分方程10 *二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点11 *二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性2. 一阶线性常系数差分方程组的平衡点12 *二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性3.二阶线性常系数差分方程的平衡点二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性4.一阶非线性差分方程的平衡点*14 *三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法1. 微分的差分方法15 *三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法2. 定积分的差分方法 16 *三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法2. 定积分的差分方法 (1)复化的梯形公式:17 *三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法2. 定积分的差分方法 类似地:复化辛甫生( Simpson)公式 ;复化柯特斯( Cotes)公式等。(详见教材) ( 2)复化梯形公式:18 *1. 问题的提出四、案例四、案例 :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题假 设 鱼 可分 为 4个年 龄组 :称 1、 2、 3、 4 龄鱼。各年 龄组 每条 鱼 的平均重量分 别为 5.07, 11.55,17.86, 22.99(克);各年 龄组鱼 的自然死亡率均 为0.8(1/年); 这 种 鱼为 季 节 性集中 产 卵繁殖, 产 卵孵化期 为 每年的最后 4个月,平均每条 4龄鱼 的 产 卵量 为 (个), 3龄鱼 的 产 卵量 为这 个数的一半, 2龄 和 龄鱼 不 产 卵。卵孵化并成活为 1龄鱼,成活率( 1龄鱼条数与产卵量 n之比)为 19 *渔业部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变,即 固定努力量 捕捞,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数称为 捕捞强度系数 。通常使用 13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞3,4龄鱼,其两个捕捞系数之比为 0.42:1。1. 问题的提出四、案例四、案例 :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题20 *( 1)建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞 (即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(总重量)。1. 问题的提出四、案例四、案例 :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题21 *2. 模型的假设四、案例四、案例 :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题( 3)所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程,成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼;( 4)产卵发生于后四个月之初,产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后;( 1)只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化,不考虑鱼群迁入与迁出;( 2)各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡;2. 模型的假设四、案例四、案例 :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题( 6)四龄以上的鱼全部死亡;( 7)采用 固定努力量捕捞 即捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数,比例系数为 捕捞强度系数 。( 5)相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的 ; *23 *3. 模型的建立与求解四、案例四、案例 :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题( 1)无捕捞时鱼群的自然增长模型 ! 无捕捞时鱼群会无限的增长吗 ?No!I dont know!各龄鱼都不会无限地增长!24 *( 1)无捕捞时鱼群的自然增长模型3、模型的建立与求解25 *(2) 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解26 *(2) 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕
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