小学数学三年级下册《重叠问题》教学实录与评析

新人教版小学数学三年级下册重叠问题教学实录与评析教材版本：义务教育课程标准实验教科书 数学人教版教学内容：三年级下册第九单元“数学广角”第 108 页例 1。教材分析：“重叠问题”是教材专门安排来向学生介绍一种重要的数学思想方法的，即“集合” 。教材例 1 通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决问题的办法。教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。学情分析：集合思想是数学中最基本的思想，集合理论可以说是数学的基础。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了。例如，学生在学习数数时，就常常把 1 个人、2 朵花、3 枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示，在学习认识三角形等图形时，也常常把各种不同的三角形用一个圈圈起来表示。又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。但是，这些都只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。基于此，我把知识的原点定位于两个独立的集合圈，没有采用教材例 1 统计表的呈现方式，从两个并列的集合圈引发学生的探究，更符合学生的学情。教学目标：1、让学生经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处，学会利用集合的思想方法来思考问题。2、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识。3、利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识。教学要点分析：教学重点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。教学难点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义。教学过程：一、设疑引入。1、出示通知。师：同学们，前几天我到一所小学听课，发现学校给每个班发了一份通知，请同学们看一下：（出示通知，一生读）师：根据学校的通知要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？生：（齐）11人！师：怎么算的？生：5+6 11(人)。师：你们同意这种做法吗？生：同意。师（稍顿）：真同意？生：同意！2、查看原始数据，引出重复。师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看我从三（）班记录的参加比赛的学生名单（课件出示两组学生名单） ，左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。书法比赛 绘画比赛师：请仔细观察这份参赛的学生名单，你觉得我们刚才的答案怎么样？生：错了。陈东 杨明丁刚 张伟李芳周晓 于丽杨明 王强朱雨 李芳李芳通 知为迎接2008年北京奥运会的召开，学校定于5月21日、22日下午分别举行书法、绘画比赛。要求：每班选5名同学参加书法比赛， 6名同学参加绘画比赛。实验小学教导处2008年4月21日师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？生：有重复的。师：你这里的“重复”是什么意思？生 1：有的同学参加了两项比赛。生 2：有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。师：谁重复了？有几个人重复了？生：杨明和李芳两个人重复了。师：因为有重复的，如果还是直接用5+6怎么样？生：不行了，那样的话杨明和李芳就算了2次了。3、揭示课题。师：生活中像这样有重复现象的问题，在数学上我们把它叫做重叠问题（板书课题：重叠问题） 。【评析：北宋张载曾说：“ 有不知，则有知；无不知，则无知。 ”“于无疑处有疑，方是进矣。 ”这启迪我们，激起学生内心的疑问是引发学生主动求知的动力源泉。当教师问学生“ 每个班一共要 选多少人参加这两项 比赛？” 的问题时，学生异口同声地作出了回答，声音响亮、语气肯定。 “果真是这样吗？”，随着教 师轻轻的一句反问，加上 “学生名单”的适时呈现，学生的头脑里跃出一个大大的问号过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？新情况出现了，遇到新问题了，于是研究“重叠问题” 变成了学生源自内心的学习需求。 】二、探究新知。1、激发探究欲望，明确探究要求。师：刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些?（课件出示要求:既要能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人，又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。 ）请同学们思考一下（约10秒钟后） ，大家现在有办法了吗？先不急着说，请把你想到的方法在练习纸上表示出来，行吗？你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。2、学生探究画法，师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流。3、展示交流。师：我发现咱们班同学的画法很有创意，我从中选了几份，咱们共同来分享一下。我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。【评析：这个过程中，我们被教师的语言魅力所感染。没有声嘶力竭的叫喊，没有故作惊人的造作，没有无病装病的呻吟，教师说 得随意，学生听得 轻松，教师问得精彩，学生答得从容。如“刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现 有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？”“你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。”“我们不让画图的同学自己介 绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。 ”随处可 见教师语言功底，如清风徐来，波澜不惊。 】师（出示作品1如下图）：我们来看这位同学的方法，他这样画的意思谁看懂了?书法比赛 绘画比赛李芳 杨明 李芳 杨明丁刚 张伟 王强 周晓陈东 朱雨 于丽生：他把李芳和杨明都放在前面了，我们就能看出是他们俩重复了。师：那你觉得这种画法比刚才我的画法怎么样？生：这样能更清楚地看出谁重复了。师（出示作品2如下图）：我们再来看这位同学的方法，他这样表示你们觉得怎么样？书法比赛 绘画比赛陈东 杨明 周晓 于丽丁刚 张伟 杨明 王强李芳 朱雨 李芳生：他把重复的同学圈出来了，比刚才的方法更清楚。师（出示作品3如下图）：我们再来看这位同学的表示方法，大家觉得怎么样？书法比赛 绘画比赛丁刚 张伟 王强 周晓陈东 朱雨 于丽两项比赛杨明 李芳生1：我觉得这种方法很好。能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是杨明和李芳。生2:而且重复的两个同学他只写了一次。师：他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里，更清楚了。而且重复的两个同学他只写了一遍，比刚才两边都要写的方法更简便了。可是参加书法比赛的是几个人？生：5个人。师：那为什么圈中只有3个人呀？生：下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的，所以他们也是参加书法小组的，加起来就是5个了。师：把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里，你觉得这样表示怎么样？清楚吗？生：我觉得还是放在一个圈里比较清楚。师：大家觉得呢？生齐：放在一个圈里更清楚。师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢？（学生思考）师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来，再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来，此时出现了不规则的韦恩图“雏形” 。书法比赛 绘画比赛丁刚 张伟 王强 周晓陈东 朱雨 于丽杨明 李芳师：你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚。生2：我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人，还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。4、揭示韦恩图。师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，他就是英国的逻辑学家韦恩，在 100 多年以前，他第一个想到了这样的图，因此这种图就叫韦恩图（板书：韦恩图） ，也叫集合图。我们同学真了不起，都和韦恩想到一块去了。5、整理画法，完成板书。师:下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到黑板上来。用一个圈来表示参加书法比赛的同学，再用一个圈来表示参加绘画比赛的同学（师边说边用红笔和蓝笔画了两个交叉的椭圆） ，还是两个圈，不同的是这两个圈不是分开的，而是有一部分重叠在一块的，利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？生：既参加书法比赛又参加绘画比赛的。师：有几个人？是谁？生：杨明和李芳（师画两个小长方形表示人名） 。【评析：教师没有板书学生的姓名，而是用小长方形代替，向学生渗透了符号思想，也为日后进一步优 化韦恩图（直接用数字表示）起了重要的“ 桥梁”作用。】师：我们只把参加两项比赛的同学写了一遍，但是参加书法比赛的圈里有了吗？参加绘画比赛的圈里有了吗？这可真是一举（生答）两得！师：参加书法比赛的除了杨明和李芳还有几个人？（生：3个人。 ）应该写在哪里？生：左边。师：（在左边月牙形里画3个小长方形）同是参加书法比赛的5个同学，这3个人与这2个人有什么不同？生：这3个同学是只参加书法比赛的。这两个人不但参加了书法比赛，还参加了绘画比赛。师：那右边月牙形的这一部分表示什么？生：只参加绘画比赛的。师：有几个人？生：4 个。师：（在右边月牙形里画 4 个小长方形）同学们请看，我们只用了简单的两个圈，就清楚地表示出了这么多的信息，韦恩图好不好？韦恩的发明简单不简单？原来发明创造就这么简单！你们可以吗？其实我们每个人都可以有自己的创造！【评析：寥寥数语让学生更进一步体会到简单之美！创造之美！数学之美！使学生相信“ 我们每个人都可以有自己的 创造！” 从而激 发起学生强烈的创造意识！】6、深化对韦恩图的认识。师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同位两个同学互相说一说。 （学生同伴互说）7、数形结合，解决问题。师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决三（）班一共有多少人参加了这两项比赛？整理算法：生1：5629（人）生2：3249（人）生3：5269（人）生4：6259（人）师：现在我们能用这么多的方法算出三（1）班参加比赛的一共是9个人，是谁帮了我们的大忙啊？生：韦恩图。师：韦恩图确实好吧？想不想用韦恩图来解决几个生活中的问题？【评析：荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。 ”此话虽有“矫枉过正 ”之嫌（把“再创造”视为学习数学的唯一正确方法），但他所推崇的“再创造”学习法确实有独特的教育价 值。 课堂上，教师先明确提出了要达成的学习目标创造一种新的记录两组学生名单的方法，使其充分体现出重叠问题中信息的特殊性。尽管学生无法在一节课内“创造”出与前辈数学家同样的韦恩图，但他们对“重叠 问题” 的理解会因 为自己的“创造”而 变得更加深刻、丰富、灵动。在此基础上，通过教师的稍加点拨， “韦恩图” 便浮出了水面！其后学生对韦恩图所表示信息的到位分析和流畅表达，解决课始问题时展现出的多样方法，与经历再创造过程所蓄积的学习智慧是息息相关的。 】三、综合应用。1、动物的问题。师出示一组动物图片：这些动物有会游泳的，有会飞的？如果让你选一种合适的集合圈，把这些动物的序号填在合适的位置，你会选哪一种？ A B 生：选B ，因为这些动物中有既会飞的也会游的。师：是什么动物？生：天鹅。师：你是分析了这些动物的特点之后决定选B的，如果没有重叠的情况选哪个合适？生：选A。师：左边这个圈表示会游泳的，右边这个圈表示会飞的，那中间的这一部分表示什么？生：既会飞又会游泳的。师：左边月牙形这部分表示什么？右边月牙形这一部分表示什么？生：只会游泳的和只会飞的。师生按照顺序共同把每种动物填在合适的位置。师：这里还有一种动物，我把它填在了这个位置（两圈外围） ，你知道这是一种怎样的动物吗？生：既不会游泳也不会飞的动物。师：这样的动物有哪些？生1：兔子生2：老虎生3：师：太多了，我们不一一去说了。原来韦恩图的外面也可以表示一种信息！【评析：借助现有的练习题中的图，增设一个巧妙的问题“ 这里还有一种动物，我把它填在了这个位置（两圈外围），你知道这是一种怎样的动物吗？” 便把集合图由“圈内”引向了“圈外”，毫不费力地将学生的视 野拓展开来。 】2、文具店的问题。出示下题：师：看到这个问题，你首先注意的是什么？你们在观察什么？生：看有没有重复的。师：你真棒，思考问题更全面了！师：可以怎么计算？（生答略）师：有很多的方法，其中的一种可以这样做（课件出示）：5537（种）【评析：教师出示众多方法中的一种，暗含了算法的优化。 】3、拓展练习，回扣课始的问题。师：课上到这里，同学们还这么有精神，真棒！下面我们再回过头来，看看那份学校的通知和我们已经解决的那个问题：每班一共要选多少人参加这两项比赛？我们一开始脱口而出的答案是 5+6=11 人，后来看到三（1）的参赛名单，发现有 2 人重复了，实际只有 9 个人。我们现在再来思考这个问题，三（1）班是9人，其它班级呢？每个班一定是9人吗？生：不一定。师：还可以是多少人？生1：8人生2：11人生3：6至11人。师：什么情况下是11人？生：没有重复的情况下。师：也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况？（板书：无重复）师：至少是多少人？生：6人。师：什么情况下是6人？生：有5人重复了，参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛。师（出示一大一小两个圈）：如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学，用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学，我这样放表示的是哪种情况？（分开的）生：没有重复的。师：这样呢？（两圈有重叠部分）生：有重复的。师：这样呢？（小圈放入大圈）生：参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛。师：同学们，这样一个我们本来觉得很简单的问题，经过我们深入地思考，原来还有这么多的学问。【评析：教师设计的应用练习从简单到复杂，从收敛到开放，从正向到逆向，既链接了丰富的课程资源，又 实现了对数学思维的层层拓展。前两道题的素材来源于课本习题，但教师对此都 进行了“二度加工”，使学生不只掌握了知识，而且受到了思想方法的熏陶。第三道题目是在课始问题基础上做出的横向（素材上）和纵向（思维上）的自然延伸，学生对“重叠问题”完成了结构化水平的自主建构。如此广度与深度兼具的数学课堂，实属难得！】四、总结延伸。师：同学们，这节课我们解决了很多问题，关于韦恩图和重叠问题，你还有新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！（学生沉思，似乎对所学的知识已全然领悟了，这时老师抛出一个新的问题。 ）师：老师这里有个问题，请看（课件出示下表） ，这是三年级一班参加课外小组的学生名单，为了研究的方便，我用他们的学号来表示。从这份名单中你发现了什么？生：我发现1号同学三个小组都参加了；2号同学参加了语文和数学小组；3号同学参加了语文和英语小组；7号同学参加了数学和英语小组。师：重叠现象更复杂了是吧？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题三（）班参加课外