20_6354420_35.逐项比较法巧证一类数列积型不等式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 逐项比较法巧证一类数列积型不等式 证明一类数列 积型 不等式 的 通法 证明不等式 g(n) f(n)(其中 , 前 ,f(n),g(n)都 是关于 ,可 统一使用 逐项比较 法 解决 . 母题结构 :己知 项 数列 前 n 项 积 ,f(n),g(n)都 是关于 n 的非常数函数 ,证明 :g(n) f(n); 解 题 程序 :构造数列 x1=f(1),当 n 2 时 ,1( )(nf y1=g(1),当 n 2 时 ,1( )(ng g(n) f(n),即要证 g(n) f(n),只须证 :子题类型 :(1985 年广东高考试题 )设 n 2,n N*,证明 :(1+31)(1+51) (1+121n)2 12 n. 解析 :因 (1+31)(1+51) (1+121n)2 12 n (1+11)(1+31)(1+51) (1+121n) 12 n ;令 +121n,数列 前n 项积 = 12 n ,则 2 12 nn;an2n 14 2n 成立 (1+11)(1+31)(1+51) (1+121n)=an12 n . 点评 :己知 是 正项 数列 前 ,若 an 证明 积 型数列不等式的基础 . 子题类型 :(1998 年全国高考 理科 试题 )已知数列 等差数列 ,b1+ +45. ( )求数列 通项 ( )设数列 通项 an=+(其中 a0,且 a 1),记 前 n 项和 ,试比较 的大小 ,并证明你的结论 . 解析 :( )由 b1+ +45 b1+9 8 ( )由 Sn=1+1)(1+41) (1+231n),31=3n ;先证 (1+1)(1+41) (1+231n)3 13 n ;令 +231n=23 13列 前 3 13 n ,则 23 13 xn3 13 23 13 (3(3n+1)(3 95n9成立 (1+1)(1+41) (1+231n)=xn 13 n ;所以 ,当 a1 时 ,1;当 00)切线 点为 Pn(xn,( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :2 12 nn2 4n4立 ;故由 f(x)f(0)=0 2 x 2 n121n. 点评 :该题中引伸表现第 ( )问 ,采 用换元 x=h(n),把待证 不等式 转化为 不等式 f(x)g(x),然 后 利用导数证明 . 1.(1998 年全国高考文 科 试题 )己知数列 等差数列 ,b1+ +00.( )求数列 通项 ( )设数列 通项 an=+记 前 n 项和 ,试比较 的大小 ,并证明你的结论 . 2.(2009年山东高考试题 )等比数列 前 n,己知对任意的 n N*,点 (n,在函数 y=bx+r(b0,且 b 1,b,的图象上 .( )求 ( )当 b=2 时 ,记 ()(n N+),证明 :对任意的 n N+,不等式11 2211 1n 成立 . 3.(2008 年福建高考试题 )己知函数 f(x)=ln(x+1) )求 f(x)的单调区间 ; ( )记 f(x)在区间 0,n(n N*)上的最小值为 an=+n)(i)如果对一切 n,不等式22 求实数 c 的取值范围 ; (证 :12242 1231 ( )由 b1+ +00 b1+0 9 ( )由 an=+ 数列 前 n 项 和 =21,则 12以 ,an12(12212 124立 Sn=a1+ +anx1+ +1. ( )由 Sn=bn+r a1=b+r,当 n 2 时 ,数列 公比为 b,首项 a1=b+r r=( )由 ( )知 ,n;令 xn= = ,数列 前 n 项 积 = 1n ,则 ,所以 ,xn (2n+1)24n(n+1)成立11 2211 =xn1n . ( )f(x)的 定义域是 ( ),f (x)=111f(x)在 ()上 单调递增 ,在 (0,+ )上 单调 递减 ; ( )由 ( )知 ,f(x)在区间 0,n单调 递减 bn=f(n)=ln(n+1)an=+n)n; (i)由22 c 2n ( 2n - n ) cnn n 2 22 c 1.故 c 的取值范围 是 (- ,1