1_6354508_25.用凸凹函数的切线研究高考试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 用凸凹函数的切线研究高考 试题 “以直代曲” 的 思想方 法 “ 以直代曲 ” 是 微积分 最基本、最朴素的思想方法 ,“以直代曲”的思想 就 是利用直线段来近似曲线 ,这样 可 使有关曲线的问题转化到直线段上来 ,从而使 问题 得到简化 以 曲线 的切线 来近似曲线 就是典型的方法 . 母题结构 :( )若 f(x)在区间 导 ,且 f (x)在区间 调 递增 ,则 当 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 ; ( )若 f(x)在区间 且 f (x)在区间 则当 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 . 母题 解 析 :( )令 g(x)=f(x)(f(则 g (x)= f (x)(由 f (x)在区间 D 上 单调 递增 当 x f ( g (x)0 g(x)在 x调 递增 g(x) g(0 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 ;同理可证 ( ); 母题的实质是凹凸函数的性质 ,具 有明显的 几何 意义 ,如下图所示 ,当函数是凹函数时 ,函数图像均在其切线之上 (切点除外 );当函数是凸函数时 ,函数图像均在其切线之下 (切点除外 ). 子题类型 :(2014年课标 高考试题 )已知函数 f(x)=,曲线 y=f(x)在点 (0,2)处的切线与 2. ( )求 a; ( )证明 :当 ,f(x) gt(x)对任意正实数 t 成立 ; (且仅有一个正实数 得 g8( gt(任意正实数 t 成立 . 解析 :( )由 y=f(x)x)=3316 y=单调递增区间是 (- , (2,+ ),单调递减区间是 (); ( )(i)由 f (x)=f (= 曲线 y=f(x)在 x=的切线 :,即 y=gt(x)= x0时 , f (x)=0,+ )上单调递增 f(x) gt(x)对任意正实数 ( h(t)=gt( h (t)=32t)=h(31以 ,g8( gt( 41 曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线 :y=4当 x0 时 ,f(x) 4 314 31时 ,g8( gt(任意正实数 t 成立 . 点评 :母题最常见的应用是证明或构造 不等式 ,如 :若 f(x)在区间 且 f (x)在区间 则当D 时 ,f(x) f (f(若 f(x)在区间 D 上连续可导 ,且 f (x)在区间 D 上单调递增 ,则存在唯一的 x D,使得 :f(x) f (f(D);若两曲线 y=f(x),y=g(x)有公共点 ,且在该点处的切线相同 ,且 f (x)在区间 g (x)在区间 则 f(x) g(x). 子题类型 :(2015 年天津高考 理 科 试题 )已知函数 f(x)=x n N*,且 n 2. ( )讨论 f(x)的单调 性 ; ( )设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x)求证 :对于任意的 正 实数 x,都有 f(x) g(x); ( )若方程 f(x)=a(a 为实数 )有两个 正 实数根 x1,证 :|+2. 解析 :( )由 f (x)=当 f(x)的单调递增区间为 (- ,1),单调递减区间为 (1,+ ); 当 f(x)的单调递增区间为 (),单调递减区间为 (- , (1,+ ); ( )当 x0 时 ,由 f (x)=间 (0,+ )上 单调递减 对于任意的 正 实数 x, 都有 f(x)g (x); ( )由 曲线 y=f(x)在原点处的 切线方程 :y=nx,g(x)=(1n ),则 f(x) 4x, 且 f(x) ;设 nx=a,g(x)=(1n )=x3, x3=na,)1( nn a+n 11n ;不妨设 y=f(x),y= g(x)有公共点 ,且在该点处的切线相同 . ( )用 a 表示 b,并求 b 的最大值 ; ( )求证 :f(x) g(x)(x0). 3.(2007 年辽宁高考试题 )已知函数 f(x)=ex+x)+,g(x)=21 f(x). ( )证明 :当 ,g(x)在闭区间 a,b上 是减函数 ; ( )证明 :f(x)23. 4.(2015 年天津高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=4x R. ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x)求证 :对于任意的实数 x,都有 f(x) g(x); ( )若方程 f(x)=a(a 为实数 )有两个实数根 x1, 则 f (x)=2x L 的方程为 :y=( )由 f (x)=2x f (x)=3 3 当 x (0,时 ,f (x)递减 当 x (0,时 ,f(x) 且仅当 x=1时 ,等号成立 ;当 x ,1,f(x)0)处的切线相同 ,则 f(g(f (g (213b,a=023x0=a(去 ),b=25 h(x)=25 h (t)=2x(1 x)=h(= 23 b 的最大值 =23 ( )设公切线 :y=kx+m;由 f (x)=x+2a 在区间 (0,+ )上单调递增 ,g (x)=0,+ )上单调递减 f(x) M,kx+m g(x) f(x) g(x)(x0). ( )由 g(x)=)+x g (x)=2=ex+又 由 2ex+2 2 当 g(x)在 R 上是增函数 ; ( )由 g(x)在闭区间 a,b上是减函数 当 x a,b时 ,g (x) 0 2ex+0;令 h(x)=2ex+ h (x)=2 h(x)在 (- ,单调递减 ,在 ( )上单调递 增 ,故只需取 k=h(a),h(b); ( )(法一 )由 f(x)23 2ex+x)t+0 =4(ex+x)2-8( 0 ( 1;作 y=x=0 处的切线 :y=x+1 知 x+1 1 ( 1 f(x)23; (法 二 )由 f(x)23 t2+1 (+(21;设 P(x,Q(t,t),则点 P(x,曲线 y=点 Q(t,t)在直线 y=x 上 ,作 y=x=0 处的切线 :y=x+1,则 |PQ|线 y=x 与 y=x+1 的距 离 =22 |22 |21 (+(21 f(x)23. ( )由 f (x)=4f(x)的单调递增区间为 (- ,1),单调递减区间为 (1,+ ); ( )由 f (x)=4间 (- ,+