矩阵的秩的若干等价刻画论文

编号学 士 学 位 论 文矩阵的秩的若干等价刻画学生姓名 学 号 系 部 专 业 年 级 指导教师 完成日期 年 月 日学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1摘要本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有关的一些命题.关键词:矩阵;秩;等价刻画Several Equivalent Characterizations of Matrix RankAbstractFrom the Determinant, Linear Space, Linear Equations, Linear Transformation, Offset Standard, Vectors, Matrices, equivalence and decomposition of various angles to characterize the Rank of Matrix, and thus to prove these propositions and Rank of the Matrix relating to a number of propositions.Key Words：Matrix; Rank; Equivalent Characterization;学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2目 录摘要 .1ABSTRACT.1引言 .21.预备知识 .31.1 矩阵的基本概念 .31.2 矩阵秩的求法 .51.3 矩阵的相关定理 .62.矩阵的秩的等价描述 .73.关于秩的命题() .104.关于秩的命题() .125.应用 .20参考 文献 .24致谢25学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS3引言矩阵的秩是线性代数的一个根本内容,它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩阵的重要性质之一.在区分向量组的线性相关性,求矩阵的特征值,线性方程组有无解,在多项式,维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在论文 1中写了矩阵的秩的等价描述的命题,并给出了相关的证明. 本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变换、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来描写矩阵的秩的若干命题,并用这些命题来证实与矩阵的秩有关的一些命题.希望通过这些等价命题加深对线性代数的理解,对更好的掌握矩阵的秩的这一层次的理解起到帮助,使之在以后的数学学习中得到启发.1.预备知识1.1 矩阵的基本概念定义 1.1.12 数域 中 个数 排列成的 行 列数表,记Pmn1,2;1,2 ijamjnm n做 121212nmmnaaA 称为 矩阵,还可以记成 或 等.mnijn设 是 的一个矩阵, 是一个 的矩阵,将 和 的乘积ijsAaijsnBbsAB称为 ,其中ijmnCBc1221sijijijisikjabab ,2;1,mjn 负矩阵 令 ,则 的负矩阵为 .ijmnA ijnAa学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS4矩阵减法 .ijijmnABab定义 1.1.23 设 ,数 与矩阵的乘积 被记为 ,根据向量的数乘运ijmnA算,显然有 ijna=注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性运算,它们与行列式的运算定义区别很大. 矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设 皆是同型矩阵, ,为数).,ABCO(1)矩阵加法的交换律: AB(2)矩阵加法的结合律: (3 右加零矩阵律: O(4)右加负矩阵律: (5)1 乘矩阵律: 1A(6)数乘矩阵的结合律: =A(7)矩阵对数加法的分配律: (8)数对矩阵加法的分配律: B定义 1.1.34 阶子式:设 在 中任意取 行 列交错处的元素,然后kijmnAak按原来相应位置组成的 阶行列式,被称为 的一个 阶子式.1Ak例 1.1 共有 个二阶子式,并含有 4 个三阶子23-45610A23418C式,矩阵 的第一、三行,第二、四列交错处的元素所形成的二阶子式为,而 为 的一个三阶子式.因而, 矩阵 总共有 个2-01D3245601AmnAkmnC阶子式. k定义 1.1.45 令 有 阶子式不为 ,任意 阶子式(若存在的话)全ijmnar01r学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS5为 ,则 被称为矩阵 的秩,可记成 或 或秩 .0rARArankA规定:零矩阵的秩为 .0注意:(1)例如, ,则 中至少有一个 阶子式 ,全部 阶子式等Rrr0rD1r于 ,且更高阶子式均为 ,那么 是 中不等于零的子式的最高阶数. 0 (2) .TA(3) . , Rmin(4)若 且 ,则 .反之,如 ,则 因此, 是0RAnRAm0RAn方阵 可逆的充要条件.A(5) 矩阵行向量的秩被称为矩阵的行秩; 矩阵列向量的秩被称为矩阵的列秩.(6)向量组的线性极大无关组中所具有向量的个数被称为这个向量组的秩.1.2 矩阵秩的求法1.2.1 子式判别法(定义)例 1.2 设阶梯形的矩阵 ,求 .123407BRB解 由于 ,存在一个二阶子式不等于 ,然而任何三阶子式都等于 ,120B00则 .R结论:阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数.例如 , , , ,1230A120B10C125340D.38170E学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS63,2,R3,2,3RABCDRE一般地,行阶梯形矩阵的秩就是其“非零行的行数”也被称为“台阶数”.例 1.3 设 ,如果 ,求1a3Aa解 .3RA2a1=10或 .a21.2.2 用初等变换法求矩阵的秩定理 16 矩阵初等变换不变更矩阵的秩,即 则ABR注 1) 只变更此行列式的符号.ijr2) 是 中对应行（或列）的 倍.ikAk3) 是将行列式的某一行（列）的全部元素的 倍加到另一行（列）的ij k相对应元素上.1.2.3 求矩阵 的秩方法 1)矩阵 可利用初等行变换化为阶梯形矩阵 .AB2)阶梯形矩阵 非零行的行数被称为矩阵 的秩.BA例 1.4 求 .10243-6-R2102-4102-421- rAR学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS71.3 矩阵的相关定理(1) Binet-Cauchy 定理 7 设 和 分别为 和 矩阵,如果 ,则有ABnmnm,1 1212| nimniiBi其中 表示 的第 行和第 列所决定的子式.12 nAiiA, 12, nii(2)Laplace 定理 8 若 为 阶方阵,对任意选定的 行 ,则有k12, kii1112 1212| () kn kijj kniiMjjjjii其中 表示 的余子式.21 kiiMjj12 kiiAjj(3)维数定理 9 3121212dimi dimi(d)iWWW2.矩阵的秩的等价描述设 ,那么 的非零子式的最高阶数 被称为矩阵 的秩,用 表示,以mnAF rAR下是矩阵秩的等价描写的一组命题 1.设 ,则 ,nr中不为零子式的最大阶数是 ;r中有一个 阶子式不等于零,所有 阶子式都等于零;A+1中有一个 阶子式不等于零,所有 阶子式都等于零;r等价于 ;0E学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS8存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ,使得mPnQ0rEPA的行向量组的极大线性无关组所含的向量个数是 个;A的列向量组的极大线性无关组所含的向量个数是 个;r是 的行空间的维数;r是 的列空间的维数;方程组 含有 个独立的方程,剩下的方程是这些方程的线性组合; 0Xr方程组 的解空间的维数为 ;Anr设 维线性空间 的一个基为 , 维线性空间 的一个基为nV12,n mW,从 到 的线性映射 的矩阵为 ,12,m WTA即 ,则 的像空间 的维数是 ;12 , nmT mITr设有线性映射 ; AdiFXIr，存在 型的列满秩矩阵 和 型的行满秩矩阵 ,使 成立. rPrnQ AP存在 个线性无关的 , 个线性无关的112,rF,使得 .12,mF 12rA证明:由秩的定义易知(1) (2) (3) (4).(1) (5).因为 ,故可将 经过一系列的初等变换可化成 .然而Rr 0rE这一系列的初等变换可以用 阶初等矩阵 和 阶初等矩阵m12, tPn表示,使得 ,12, sQ2120rt sEPAQ 令 ,由初等变换矩阵可逆知: 可逆.2112,t sP ,PQ(1) (5).由 为可逆矩阵,使得 ,得 ,这相当0rP110rEA学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS9于 由 经过一系列的初等变换而得;又因为矩阵的秩不会由初等变换而改变,A0rE所以 .R(1) (6).设 , 为行向量,由于 ,由命题(2) 知存在 阶子式12TTmAi RArr,且所有 ,即有 所在的 行线性不相关,且任意 个行向量都线性相0rD10rrD1r关,因此 的行向量组的一个极大无关组就是 所在的 行,从而 的行向量组的秩为Ar A.r(1) (6).由 的行向量组的秩为 ,依据向量组线性无关的条件可知,这 个行r向量所在的行的 阶子式不为零,且全部 阶子都为零,故 .r1rRAr(1) (7)的证明和(1) (6)的证明类似.(1) (8)设 的行向量组为 ,由它们所生成的行空间为: A12,TTm12, mLR显然