线性规划与整数规划

线性规划模型第一节线性规划模型一、线性规划及其数学模型1．线性规划问题在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，既如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效益。问题１拟定生产计划问题提出某公司生产炊事用具需要两种资源—劳动力和原材料，某公司计划生产三种不同产品，生产管理部门提供的数据如下：ＡＢＣ劳动力（小时／件）７３６原材料（千克／件）４４５利润（元／件）４２３每天可供应原材料为２００千克，每天可使用的劳动力为１５０小时，问如何安排生产计划，才能是公司总收益最大？模型建立设每天生产Ａ、Ｂ、Ｃ三种产品的件数分别为最大利润为则该问题就是在条件下，求利润的最大值。问题２运输问题问题的提出两个煤炭厂每月进煤分别为60t和100t，联合供应三个居民区三个居民区每月对煤的需求量依次为50t、70t、40t，煤厂离居民区的距离分别为10km、5km、6km，煤厂离居民区的距离分别为4km、8km、12km，如何分配供煤量才能使总运输量达到最小？模型建立设表示煤厂提供给居民区的煤量，表示总运输量，则所求问题就是在条件下，求总运输量的最小值。２．线性规划问题的特点和数学模型从以上两个实例可以看出，它们都属于一类优化问题，其共同特点是：（１）所给问题都用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量的取是非负的；（２）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示；（３）都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量的线性函数来表示，这个函数称为目标函数。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划问题的数学模型，其一般形式为：目标函数：约束条件：3.线性规划模型的标准型实际问题的线性规划模型是多种多样的，在多种多样的模型中，可规定一种形式为标准型，以便于研究和求解。（1）线性规划模型的标准型如果在线性规划模型中，有n个决策变量m个约束条件，约束条件为等式约束，决策变量非负，求目标函数的最小值，这种线性规划模型就叫做标准型。其表达式为：在标准型中，规定否则等式两端乘以“-1”，其矩阵形式为：其中，称为约束条件的系数矩阵，一般有称为价值向量；向量称为资源向量；称为决策向量；为零向量。（2）任意一线性规划模型都可以化为标准型若原模型要求目标函数实现最大化，即则即目标函数可化为这就与标准型的目标函数一致了。若原模型中的约束条件为不等式，有两种情况：①若原模型中的约束条件为不等式：左端右端，则在左端加上“非负松弛变量”使不等式化为等式：左端+非负松弛变量=右端。②若原模型中的约束条件为不等式：左端右端，则在左端减去“非负松弛变量”使不等式化为等式：左端-非负松弛变量=右端。例1将问题1的模型化为标准型。二、应用举例1．食谱问题

问题提出一饲养场饲养供实验用的动物，已知动物的生长对饲料中的三种营养成分：蛋白质、矿物质和维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质７０克，矿物质３克，维生素１０毫克。该场能买到５种饲料，各种饲料每千克的成本及所含营养成分如下表所示，请确定既能满足动物需要，又使总成本最低的饲料配方。饲料成本（元）蛋白质（克）矿物质（克）维生素（克）0.20.300.100.050.72.000.050.100.41.000.020.020.30.600.200.200.51.800.050.08设每个动物每天食用的混合饲料中所含的第种饲料的数量为千克，混合饲料的总成本为z,则上述问题的数学模型为２．连续投资问题问题提出某部门在今后五年内考虑给下列四个项目投资，项目Ａ，从第一年到第四年年初需要投资，并于次年末回收本利的115%；Ｂ项目，第三年年初需要投资，到第五年年末能回收本利125%，但规定最大投资不超过４万元；Ｃ项目，第二年年初需要投资，到第五年年末能回收本利140%，但规定最大投资不超过３万元；项目Ｄ，五年内每年年初购买公债，于当年末归还，并加利息6%。该部门现有资金10万元，问如何分配这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资金的本利总额最大？问题分析（１）五年中每年年初该部门拥有的资金是变化的，设表示第i年年初给第j项项目的投资额，显然（２）该部门每年的投资额等于部门年初所拥有的资金，下面分年度讨论：第一年，年初拥有资金１０万元，所以有第二年，年初拥有资金仅为项目Ｄ在第一年末回收的本息所以有第三年，年初拥有资金为所以有第四年，年初拥有资金为所以有第五年，年初拥有资金为所以有又，由题意知目标函数：模型建立将上述分析整理，可得此问题的数学模型为：3.下料问题问题的提出计划做100套钢架,每套用长为2.9米、2.1米、1.5米的圆钢各一根。设原材料长7.4米，问如何下料，才能使所用原料最少？分析最简单的做法是在每一根原料上截取三种长度不同的圆钢各一根组成一套，但浪费较大。若改为套截，则可节省原料。8种套截方案如下表：方案配件123456782.9211100002.1021032101.510130234余料0.10.30.901.10.20.81.4设按第i种方案下料的原料根数为表示总余料,则所求问题的数学模型为注:该问题的数学模型的目标函数也可以为:其中表示使用原料总根数.第二歌节碌整狐数规凉划模丧型在一示般的刻线性熄规划锐模型朝中,卸再加双上决涌策变烂量取株整的堡条件惕,所妄得到沙的一类以规划缺问题先称为亩整数惠线性装规划素.问题莲1货物皮托运找问题某公妇司拟饲用集吨装箱废托运A,腿B两种狼货物闲，每款箱的隐体积寻、重定量、桨可获得淋利润对以及枪托运乐所受泊限制怨如下毙表所晴示。次问两指种货篮物各贤运多榴少箱可获旅得最摇大利者润？货物体积（立方米/箱）重量（公斤/箱）利润（元/箱）A51002000B42501000托运限制24650一、整数捞规划锹模型设分别呜表示果这两塑种货画物的事托运县箱数晚，则迹该问尚题的巧数学懒模型为：一般沟地，状某公暮司拟永用集榨装箱齐托运n种货渗物每箱铺的体乔积、重量恰、可佩获得隐利润以及戏托运号所受比限制橡为V和M，问怎哲么装近箱可寨获得资最大虚利润心？问题后2分派颗问题分配n个人抚去完院成n项任肺务，悄第i个人磨完成样第j项任木务的守效率注为每个锐人恰像好完敢成一溪项任泛务，造如何席分配执使总没效率最大胆？设0找-1份变量则此荒问题鼠的数学榆模型涛为二、即0-兼1整数迅规划毙模型0-荡1整数经规划园模型横是整基数规烦划模仰型中忠的特唱殊情涉形，蒸它的决策而变量仅取运0或甜1。换这时又叫畜0-在1变吃量。问题守2分派迷问题就是0-有1整数桥规划膏模型问题竭3策选哭址问躺题问题酿提出某公唱司欲就在城驻市的躬东、咽西、端南三夏区建柴立门再市部钉，拟议中绩有7伐个位械置可供穗选择规，规愿定在东鹅区，朋由三个纳位置貌中至乓多选酱两个县；在西穿区，涝由两个辛个位像置中霉至少元选一株个；在南炭区，辨由两个世个位减置中寸至少速选一漏个。如果宗选用则设浅备投强资费籍用为每年衡可获膛利润界为但投海资总崇额不殖能超未过B元，它问应兆选择乳哪几栗个位缠置，茫可使蓄年利辜润最从大？模型屠建立商首先鸭引入僻0-夕1变守量则此达问题抛的数拐学模青型为习题1.恰某昼踪蝶夜服驻务的遵公交卡线路末每天匹各时读间段倦内所疯需要弃司机烟和乘爸务员饲如下表赢。设条司机穴和乘买务员买分别哈在各姜时间血区段墙一开挨始时幼上班辩，并瞧连续邻工作8小乖时。妥问该借公交纠线路涨至少堤要配届备多猜少司剩机和栽乘务忘员？班次时间段所需人数班次时间段所需人数16:00~10:0060418:00~22:0050210:00~14:0070522:00~2:0020314:00~18:006062:00~6:0030设每演人每川天只权上一荣轮班无(8艇小时她),霉第i时间麦段开肯始时犹有名人注员上米班,扁则2.倚背包报问题一个族旅行真者必柔须决甚定在挂旅途剪中要雕携带迫哪些拦物品圾,才能使彼携带竿的总悉重量财不超吹过b公斤报,以巨使总陷的“晃价值滔”最节大,涝这样丽的问寺题称为背情包问额题.差设有n件物惊品,滋第i件物求品的膝重量荐为公斤愧,携宗带的就“价汤值”为试建钢立背晨包问膊题的杆数学塞模型晴.首先确引入窃0-征1变粪量则此蚁问题统的数序学模灶型为3.副比赛华安排险问题已知忠下列岭5名敬运动馅员各竿种游爷泳项鹿目的澡成绩绸(各为5酬0米留)如垒下表娱所示猜,问源如何连从中控选拔控一个嚼参加花20育0米恼混合逢游泳桂的接力队筑,使素预期鸟成绩怒最好们.项目赵钱张王周仰泳37.332.933.837.035.4蛙泳43.433.142.234.741.8蝶泳33.328.538.930.433.6自由泳29.226.429.628.531.14.加工恩任务械安排某工筛厂用两台链机床洪加工三种不同顺的零描件.气已知娱在一还个生右产周喂期内只能易工作倘80肯机时沈;只能挽工作10悟0机厉时.炊一个称生产细周期堡内计域划加认工三种滚不同驳的零泛件分码别为研:70丧件、龄50川件、窑20初件。敞两台们机床遗加工霞每个叙零件魔的时黑间和舰