实二次型实用教案

1、22212311 21 323(2) ( , )2223f x x xxxxxxxx22(3)( , )f x yxxyxy2(1)( , )1f x yxxy22(4)( , )f x yxy次次型型？下下面面例例子子中中，哪哪些些是是二二不是(b shi)是不是(b shi)是1231 21 32 3(5) ( , )224f x x xxxxxx x222212341234(6) ( , ,)23f x x x xxxxx是是第1页/共40页第一页，共40页。()2ijijijjiijjix xijaaaaa把把的的系系数数分分成成同同时时令令21211 112 1 213 1 311(

2、 , ,)nnnf x xxa xa xxa xxa xx21211 11212131311(,)222nnnf x xxa xa x xa x xa x x222223232222nna xa x xa x x+2nnna x (1)22121222232322nna x xa xa x xa x x+21122nnnnnnna x xa x xa x(2)111212122212. .nnnnnnaaaaaaAaaa记系数(xsh)矩阵12nxxxx则(2)=xTAx二次型的矩阵(j zhn)形式.第2页/共40页第二页，共40页。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa

3、()ijjiaaij，TAA ，于是(ysh)，给定一个二次型，就可以得到唯一的实对称矩阵A；反之，给定一个n 阶实对称矩阵(j zhn)A，可以得到对应的二次型.12(,)Tnf x xxx A xA叫作二次型 f 的矩阵(j zhn).即A是n阶实对称矩阵. 实二次型与实对称矩阵一一对应其中，矩阵A的秩定义为二次型 f (x1, x2, , xn) = xTAx 的秩.第3页/共40页第三页，共40页。2221231121322331234122334222123123(1) ( ,)22244(2) ( ,)+42(3) ( ,)24f x x xxx xx xxx xxf x x x

4、xx xx xx xf x x xxxx(1)A124111122(2)A1(3)24A例1 写出下列(xili)二次型的矩阵.0000121200002200-1-1练习(linx)：P164例2第4页/共40页第四页，共40页。111222213111(1) (2)110222301111222AA123(2) ( , , )f x x x 2112x1 2x x1 3x x2212x2 3x x2312x212x122x x136x x22x23x例2 写出下列矩阵(j zhn)对应的二次型.123(1) ( , , )f x x x 第5页/共40页第五页，共40页。定义(dngy)6

5、.1.2 关系式111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y12,nx xx111212122212,nnnnnnccccccCccc二、线性变换与矩阵(j zhn)合同(1)称为(chn wi)由变量到变量12,ny yy的一个线性变(替)换.矩阵形式：xC y其中，C称为线性变换矩阵.1122,nnxyxyxyxy当|C|0时，称(1)式为非退化的线性变换或可逆线性变换.若C是正交矩阵，则称(1)式为正交变换.1.线性变换第6页/共40页第六页，共40页。12(,.,)Tnf x xxA xx11511200

6、1xy()()TCA Cyy()TTC AC yy在线性替换(t hun) x = Cy下，二次型是否仍化为二次型？BB是否(sh fu)对称？()TTTBC ACTTC A CTC AC= B()TTC ACyy= yT B y是关于(guny)y1, y2, , yn的二次型.对应矩阵B=CTAC定理6.1.1 二次型 f = xTAx 经过线性替换 x = C y 后，得到以 B = CTAC 为矩阵的二次型.如：二次型f=2x1x2-4x1x3+10 x2x3，在线性替换012105250AB=CTAC2220化为二次型： f ( y1, y2, y3) = 2y12 -2y22+20

7、y32矩阵的又一关系 合同若C可逆第7页/共40页第七页，共40页。2.矩阵(j zhn)的合同定义(dngy)6.1.3设矩阵A，B是两个(lin )n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得CTAC = B，则称矩阵A与B合同，记作AB显然，二次型f = xTAx在非退化线性替换 x = C y下，得到二次型：yT B y因B=CTAC，故AB(1) (2) (3), AAABBAAB BCAC矩阵的合同具有性质：(反身性)(对称性)(传递性)证(3),AB BC1122,TTC ACB C BCC2112TTCC C AC C1212()()TC CA C C第8页/共40页第八页，共40页。

8、合同矩阵还具有(jyu)下列重要性质：(1) 若AB则 r(A) = r(B).AB,.TCC ACB可可逆逆矩矩阵阵使使得得r(A) = r(B)合同(h tong)矩阵的秩相等.(2) 若AB则AT=A的充要条件是BT=B.,.TCC ACB可可逆逆矩矩阵阵使使得得由AT=ATTTBC AC=CTAC=B由BT=BCTATC = CTACAT= A(3) 若AB则当A，B可逆时，有11AB11()TC ACB1111()TC ACB1111()TC ACB(4) 若AB则TTABTC ACB()TTTC ACBTTTC A CB第9页/共40页第九页，共40页。TP APB1TPP若A与B

9、正交相似(xin s),BAPPP 1,正交矩阵正交矩阵P是正交矩阵(j zhn)，即PPT=I.矩阵的三大关系：等价(dngji)、相似、合同.它们之间的关系？A与B等价ABA经过初等变换化为B.A与B相似AB,.TCC ACB可可逆逆矩矩阵阵使使得得1,.PP APB可可逆逆矩矩阵阵使使得得A与B合同AB相似等价反之不然.合同等价正交相似合同第10页/共40页第十页，共40页。三、二次型的标准(biozhn)形2221 122nnd yd yd y定义(dngy)：若二次型 xTAx 经过(jnggu)非退化线性替换，化为一个只含平方项的二次型，称此为二次型xTAx的标准形.二次型的标准形

10、的一般形式为：= yT y12nddd 二次型的标准形与对角阵一一对应第11页/共40页第十一页，共40页。1. 配方法 此方法主要(zhyo)处理变量较少的情况，方法简单，其中 包括两种类型：含平方项、不含平方项.一个二次型化为标准(biozhn)形的三种方法： 配方法、初等变换法、正交替换法.定理(dngl)6.1.3即任意一个对称矩阵必合同于一个对角形矩阵.定理6.1.2 任一实二次型，都可以经过非退化线性替换化为标准形.对任一对称矩阵A，存在可逆矩阵C，使得TC AC 见P166定理6.1.1第12页/共40页第十二页，共40页。22212311 21 32233( ,)4424f x

11、 x xxx xx xxx xx221123234 () 4()xx xxxx21232()xxx222212322 333(22 )2(2) 3xxxxx xxx222123233(22 )2()3xxxxxx11232233322 yxxxyxxyx令令112223332 xyyxyyxy例1 将下列(xili)二次型化为标准形.22223324xx xx2234()xx2222 33245xx xx即222123123( ,)23f y y yyyy标准(biozhn)形：例1等价(dngji)于：已知对称阵122222221A存在可逆矩阵C，120011001C使得TC AC10002

12、0003非退化线性替换：x = Cy第13页/共40页第十三页，共40页。1231 21 323( ,)2410f x x xx xx xx x11221233 xyyxyyxy令令22121231232() 4()10()yyyy yyy y22113392(3)4yy yy21332()2yy22213233372()2()2022yyyyy例2 将下列(xili)二次型化为标准形.解：非退化(tuhu)线性替换为：x= C1 y111 0 110001C f =22121 32322614yyy yy y22223392142yy yy222233492(7)4yy yy2320y311

13、327223233 zyyzyyzy令令311327223233 yzzyzzyzy= C2 z2221232220zzz231027 012001C x = C1C2z第14页/共40页第十四页，共40页。222123123(,)2220f z zzzzz则则标标准准形形为为：1231 0211 071100 120010 01CCC115112001可逆的第15页/共40页第十五页，共40页。3TCC AC例例求求非非奇奇异异矩矩阵阵 ，使使得得为为对对角角形形矩矩阵阵. .111122121A22211 21 322 332224xxxxxxx xx解：A所对应(duyng)的二次型为1

14、123231 11( ,) 1 221 21Txx Axx x xxx221123232 () () xx xxxx2212322 3()2xxxxx x222123233()()xxxxxx222232233()24xxxx xx112322333 y x xxyxxyx 令令11222333 xyyxyyxy 即即222123yyy11 00 110 01C111TC AC第16页/共40页第十六页，共40页。4TCC AC例例求求非非奇奇异异矩矩阵阵 ，使使得得为为对对角角形形矩矩阵阵. .012101210A1231 21 32 3( , , ) 242f x x xxxxxx x二次

15、型11221233 xyyxyyxy令令1110110001Cx=C1 y221213232262yyy yy y21332()2yy2222339222yy yy21332()2yy2223312()42yyy即11322333321 2 zyyzyyzy令令11322333321 2 yzzyzzyz231021012001C222123224zzzC= C1C2=111112001224TC AC第17页/共40页第十七页，共40页。TC AC1212()TssPPPAPPP 1112TTTsssP PP APPP 12sIP PPCAI只对A作相应(xingyng)行变换对整个(zhn

16、gg)矩阵作列变换C2. 初等变换法 由于n阶实对称矩阵(j zhn) A 必合同于对角形矩阵(j zhn)，即存在可逆矩阵(j zhn)C，使得设 C = P1 P2 Ps，Pi (i=1, 2, ,s)为初等矩阵，则(1)(2)比较两式第18页/共40页第十八页，共40页。AI化化线线性性替替换换。为为标标准准形形，并并求求出出非非退退用用初初等等变变换换法法化化二二次次型型例例122212311 21 32233( ,)4424f x x xxx xx xxx xx 122222221A解解：1221001222222211000100010-2 2-2 1002-52011000 -2

17、 2 0 2 -5 1 -2 2 0 1 0 0 0 1 10020212010000-30110C123TC AC112223332 xyyxyyxy令原二次型的标准(biozhn)形：22212323yyy第19页/共40页第十九页，共40页。2TCC AC例例 求求非非奇奇异异矩矩阵阵 ，使使得得为为对对角角形形矩矩阵阵. .110221102211022A110221102211022100010001AI解1112221102211021001100011112110221102100110001第20页/共40页第二十页，共40页。1001004001111211120011112

18、1112001C1141TC AC1112110221102100110001112111001401212000-1-1-11第21页/共40页第二十一页，共40页。矩阵C是正交矩阵的线性替换(t hun) x = C y，称为正交替换(t hun).定理(dngl)6.1.4Tnx Ax任任一一 元元实实二二次次型型都都可可以以经经过过一一个个正正交交替替换换化化为为标标准准形形2221122nnyyy12,nAn 其其中中为为 的的 个个特特征征值值. .证 因实对称矩阵必与对角(du jio)矩阵正交相似，12TnAP=P AP=1P 12,nAn 为为 的的 个个特特征征值值. .3

19、. 正交替(变) 换法CTC=I即存在正交矩阵P，使得2221122nnyyy正交替换x=Py()TTyP AP y二次型 xTAx第22页/共40页第二十二页，共40页。123121323(,)f x x xx xx xx x110221102211022A解：二次型的矩阵(j zhn)为112211221122IA 21(1)()212311,.2A 得得 的的特特征征值值例1 用正交替换法将二次型化标准(biozhn)形，并写出所作的正交替换.第23页/共40页第二十三页，共40页。(1,1,1)T111(,)333T31.2 - -对对应应的的特特征征向向量量为为 ，116211262

20、6,.112211221122IA 111112211122111221 010 110 00特征向量：单位(dnwi)化：正交单位(dnwi)化：正交矩阵(j zhn)：11132611132612036P正交替换x=Py:11232123313111326111326136xyyyxyyyxyy二次型的标准形：222123yyy第24页/共40页第二十四页，共40页。四、二次型的规范(gufn)形2222221212 ()pppryyyyyyrn定义6.1.4 如果一个二次型的标准形中平方项的系数(xsh)只是1,-1或0则称这样的标准形为二次型的规范形.二次型的规范(gufn)形的形状为

21、222123yyy任一二次型都可经过非退化线性替换化为规范形(1)式(r是二次型的秩).且规范形是由二次型本身唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关. (惯性定理)123121323(,)f x x xx xx xx x如：是二次型的规范形.定理6.1.5定义6.1.5 在二次型的规范形中， 正项的个数p称为该二次型的正惯性指数； 负项的个数r-p称为该二次型的负惯性指数； 它们的差: p-( r-p)称为二次型的符号差.(1)第25页/共40页第二十五页，共40页。22221234,yyyy例如(lr) 一个四元二次型的规范形为则该二次型的秩为4，正惯性(gunxng)指数为2，负惯性(gu

22、nxng)指数为2，符号差为0.例1 将二次型化为规范形.222123123(,)24f x x xxxx解：令11233222yxyxyx即1123321212xyxyxy规范形：222123yyy该二次型的秩 r =3，正惯性指数p=2,r-p=1，符号差为1.第26页/共40页第二十六页，共40页。定义(dngy)6.2.1 设实二次型12(,)0Tnf x xxx Ax，第二节 正定(zhn dn)二次型与正定(zhn dn)矩阵一、二次型的分类(fn li)12(,),Tnf x xxx AxA为n阶实对称矩阵.若对于任意的非零向量 x ，都有( 0)0第31页/共40页第三十一页，

23、共40页。定理(dngl)6.2.3证： 对于(duy)A所对应的二次型xTAx，0(1,2, ).iinn阶实对称矩阵(j zhn)A正定A的所有特征值都大于零.可经过正交替换 x = Cy,化为标准形：2221122nnyyy其中，12,n 是矩阵A的全部特征值.所以，矩阵A正定二次型xTAx正定(1)标准形(1)中定理6.2.4 对称矩阵A正定A的一切顺序主子式都大于零. 相当重要！第32页/共40页第三十二页，共40页。111212122212nnnnnnnaaaaaaAaaa 定义(dngy)6.2.2111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa1212(1),Akkkk

24、nAk由 的第 ， ， ， 行及 ， ， ， 列交叉位置上的元素所构成的 阶子式称为 的 阶顺序主子式，.kA记作111,Aa111222122,aaAaa1112133212223313233,aaaAaaaaaan阶方阵(fn zhn)第33页/共40页第三十三页，共40页。例如(lr) 121221111A的各阶顺序(shnx)主子式为11 A21112 A1212211113 A1 010110111 1 第34页/共40页第三十四页，共40页。例3 判别下列二次型是否(sh fu)为正定二次型233222312121321525445),(xxxxxxxxxxxxf 解 二次型的矩阵(j zhn)为522251215A, 051 A52252 A=210,5121522253 A880所以(suy)，A正定，为正定二次型为正定二次型即即),(321xxxf第35页/共40页第三十五页，共40页。例4 t 满足(mnz)什么条件时，二次型 2221231231 21 323( ,)5224f x x xxxxt x xx xx x是正定(zhn dn)的. 解： 二次型的矩阵(j zhn)为