实数与向量相乘二实用教案

1、若k0 设设k k是一个实数，是向量，那么是一个实数，是向量，那么k k与与 相乘相乘(xin chn)(xin chn)所得的积是一个所得的积是一个 ，记作，记作 ：aaakakak k0时， 与 同方向；aka k0时，与 反方向；akaaka向量(xingling)ak的长度=ak 0a 0当当0，a或则第1页/共16页第一页，共16页。CD12a12a例例1.1.已知非零向量已知非零向量 a a，求作：，求作：2a+ a2a+ a； 12例例2.2.已知非零向量已知非零向量 a a，求作：，求作：2a- a2a- a； 52aaAB122ABaa 52aaaa522CDaa 第2页/共

2、16页第二页，共16页。（m+n)a=ma+na实数与向量相乘实数与向量相乘(xin chn)对于实数加法满足对于实数加法满足分配律分配律122aa15(2)22aa522aa51(2)22aa 设非零实数m、n，向量a 0第3页/共16页第三页，共16页。例例3. 3. 如图：已知非零向量如图：已知非零向量a,b,a,b,等式等式3(a+b)=3a+3b3(a+b)=3a+3b成立吗？试作图验证所得的结论；成立吗？试作图验证所得的结论；abbaabaabbbababOA3()OAab 33OAab B3()33abab第4页/共16页第四页，共16页。2 ab与与22ab相等相等(xingd

3、ng)吗吗?作图说明作图说明(shumng)abbaaba a b b OA2()OCab CD22OCab 2()22abab 第5页/共16页第五页，共16页。2()22abab 3()33abab设非零实数k，k(a+b)=ka+kb实数与向量相乘实数与向量相乘对于对于向量加法向量加法满足满足分配律分配律非零向量非零向量a、b第6页/共16页第六页，共16页。实数与向量相乘的实数与向量相乘的结合律结合律：对于任意非零实数：对于任意非零实数m,nm,n和非零向量和非零向量a a，总有：m(na)=(mn)aa2(3 )6aa与相等？3aaaa3aaaaaaa2(3 )=6aa第7页/共16

4、页第七页，共16页。设设m,nm,n为实数，则：为实数，则： 1)m(na)=(mn)a;1)m(na)=(mn)a; 2)(m+n)a=ma+na; 2)(m+n)a=ma+na; 3)m(a+b)=ma+mb. 3)m(a+b)=ma+mb.第8页/共16页第八页，共16页。1.计算(j sun)：(1)3 a 5b( +)33(2)aab22+()(3)( 5)4a()(4)7(b4b3aaa)()(5)5(b2b3acacc)()3a 15b+53ab22-20a-6a11b3a3b第9页/共16页第九页，共16页。2.O2.O为为ABCABC内一点，点内一点，点D,ED,E分别在边分

5、别在边ABAB和和ACAC上，且上，且 若若OB=a,OC=b,OB=a,OC=b,试用试用(shyng)a(shyng)a，b b表示向表示向 量量DE.DE.11,43ADAEABEC1143ADAEABEC，=ADAEABACDEBCDEBC1=4DEADBCAB14DEBC即BCOCOBba DEBC 又与方向相同111444DEBCba 第10页/共16页第十页，共16页。3. 3. 在在ABCABC中，中，D,E,FD,E,F分别分别(fnbi)(fnbi)为为AB,BC,CAAB,BC,CA的中的中点，点， G G为重心，求证：为重心，求证：GD+GE+GF=0. GD+GE+G

6、F=0. AFEDCBG解解:设设 ABaBCbCAc ，1+2AEABBEab 1b2BFBCCFc 1c2CDCAADa 11()(a)032GDGEGFAEBFCDbc 第11页/共16页第十一页，共16页。4.4.已知四边形已知四边形ABCDABCD是等腰梯形是等腰梯形(txng) (txng) ，E,FE,F分别是两分别是两腰腰BC,ADBC,AD的中点的中点,M,N,M,N是线段是线段EFEF上的两个点上的两个点, ,且且EM=MN=NF,EM=MN=NF,下底下底ABAB长是上底长是上底CDCD长的长的2 2倍，设倍，设AB=a AB=a ，BC=b BC=b ，求：求：AMAM

7、AMABBEEM ABa 12BEb 111 11()332 24EMEFaaa 3142ab第12页/共16页第十二页，共16页。1.实数与向量相乘对于实数加法的分配律；实数与向量相乘对于实数加法的分配律；2.2.实数与向量相乘对于实数加法的结合律实数与向量相乘对于实数加法的结合律3.3.含向量加法，减法含向量加法，减法(jinf)，数与向量相乘等，数与向量相乘等运算与多项式的运算的异同点；运算与多项式的运算的异同点； 第13页/共16页第十三页，共16页。练习练习(linx). (linx). 如图：已知如图：已知ABCABC，ADAD、BEBE、CFCF是中线，是中线， 且且BC = aBC = a，AD = mAD = m，用，用a a、m m表示下列向量（表示下列向量（1 1）ABAB；（；（2 2）CACA；（；（3 3）BEBE；（；（4 4）CF.CF.解解: 12ABADDBma 12CACDDAam 111()2221324BE BA AEmaa mma 第14页/共16页第十四页，共16页。例例4. 4. 如图：已知如图：已知ABCABC，ADAD、BEBE、CFCF是中线，是中线， 且且BC = aBC = a，AD = mAD = m，用，用a a、m m表示下列表示下列(xili)(xili)向向量（量（1 1）ABAB；（；（