圆周运动及其应用专题复习整理

1、圆周运动及其应用专题复习一、 圆周运动中的运动学分析 (1)定义：线速度大小不变的圆周运动。(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。2描述匀速圆周运动的物理量定义、意义公式、单位线速度描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)v单位：m/s角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量()单位：rad/s周期物体沿圆周运动一圈的时间(T)T，单位：sf，单位：Hz向心加速度描述速度方向变化快慢的物理量(an)方向指向圆心an2r单位：m/s23.线速度、角速度、周期、向心加速度之间的关系(1)vrr2rf。(2)anr2vr42f2r。4.常见的三种传动方式及特点(1)皮带传动：如

2、图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB。(2) 摩擦传动：如图甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB。(3) 同轴传动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即AB 【典例1】科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是()A.小齿轮逆时针转动B.小齿轮每个齿的线速度均相同C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的

3、3倍【答案】C【典例2】如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是()Aa、b和c三点的线速度大小相等Bb、c两点的线速度始终相同Cb、c两点的角速度比a点的大Db、c两点的加速度比a点的大【答案】：D二 圆周运动中的动力学分析1匀速圆周运动的向心力(1)作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。(2)大小：Fmmr2mmvm42f2r。(3)方向：始终沿半径方向指向圆心。(4)向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在

4、的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。3离心现象(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。(2)受力特点当Fnm2r时，物体做匀速圆周运动；当Fn0时，物体沿切线方向飞出；当Fnm2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动；当Fnm2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。【典例3】有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。如果增大高度h，则下列关于

5、摩托车说法正确的是()A.对侧壁的压力FN增大B.做圆周运动的周期T不变C.做圆周运动的向心力F增大D.做圆周运动的线速度增大【答案】D【典例4】 汽车与路面间的动摩擦因数为，公路某转弯处半径为R(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，问：(1)若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？(2)若将公路转弯与路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无侧向摩擦力？【答案】：(1)(2)【典例5】（2015浙江理综19）如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达

6、AB线，有如图所示的三条路线，其中路线是以O为圆心的半圆，OOr。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()A选择路线，赛车经过的路程最短B选择路线，赛车的速率最小C选择路线，赛车所用时间最短D三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等【答案】：ACD【解析】由几何关系可求得路线、的长度分别为2rr、2r2r、2r，比较可知，路线最短，A项正确；由Fmaxm可知，R越小，速率越小，因此沿路线速率最小，B项错误；沿路线、运动的速率分别为、，由三条路线长度与速率的比值比较可知，选择路线所

7、用时间最短，C项正确；由Fmaxma可知，三条线路的圆弧上赛车的向心加速度大小相等，D项正确。三圆周运动的实例分析1.凹形桥与拱形桥模型概述如图所示为凹形桥模型。当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向FNmgm规律桥对车的支持力FNmgmmg，汽车处于超重状态概述如图所示为拱形桥模型。当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向mgFNm规律桥对车的支持力FNmgmmg，汽车处于失重状态。若v，则FN0，汽车将脱离桥面做平抛运动2.火车转弯问题概述如图所示，火车转弯轨道，外高内低。火车转弯时，设转弯半径为r，若F向mgtan m，车轮与内、外侧轨道无作用力，即v规律当火车转弯时，若v，则火车车轮对外

8、侧轨道有作用力，若v，火车车轮对内侧轨道有作用力【典例6】汽车沿半径为R的圆形跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆形跑道，车速最大不能超过多少？如图所示是汽车沿圆形跑道行驶时的背影简图，试根据图中车厢的倾侧情况和左右轮胎受挤压后的形变情况判断圆形跑道的圆心位置在左侧还是在右侧？【答案】速率不能超过跑道的圆心在右侧二、水平面的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。1. 水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运

9、动的向心力。2. 水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。3. 水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。（一）火车转弯问题【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则()A内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C这时铁轨对火车的支持力等于mg/cos ；D这时铁轨对火车的支持力大于mg/cos .【答案】：A.Com（二）圆锥摆模型【典例2】(多选)如图所示，两个质量

10、不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的()A周期相同B线速度的大小相等C角速度的大小相等D向心加速度的大小相等【答案】AC【解析】设圆锥摆的高为h，则由三角形相似得mgmm2rm2rma，故vr，T2，ag.因两圆锥摆的h相同，而r不同，故两小球运动的线速度不同，角速度的大小相等，周期相同，向心加速度不同【典例3】如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()AA的速度比B的大BA与B的向心加速度大小相等C悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角

11、相等D悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小【答案】：D（三）水平面内圆周运动的临界问题1水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题。常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。2处理临界问题的解题步骤(1)判断临界状态有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过

12、程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。(2)确定临界条件判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。(3)选择物理规律当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。【三种常见临界问题】1. 与绳的弹力有关的临界问题质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fmm，解得vm。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。【典例探究】【典例1】如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，

13、一端连接质量为m1 kg的小球A，另一端连接质量为M4 kg的物体B.求：(1) 当A球沿半径为R0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为10 rad/s时，B对地面的压力为多少？(2) 要使物体B对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10 m/s2)【审题指导】由于小球A做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力提供，而绳子的拉力又改变物体B对地面的压力，因此从绳子的拉力入手是解决本题的关键，绳子的拉力是联系小球A与物体B受力情况的“桥梁”。【答案】(1) 30 N(2) 20 rad/s【解析】 (1) 对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则FTmR210.

14、1102 N10 N.对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力Mg、绳子的拉力FTFT、地面的支持力FN，由力的平衡条件可得FTFNMg，所以FNMgFT.将FT10 N代入上式，可得：FN410 N10 N30 N.由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30 N，方向竖直向下。2. 因静摩擦力存在最值而产生的临界问题在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当F静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所示)时

15、，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffmm，解得vm。这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。【典例2】 如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是() A. b一定比a 先开始滑动 B. a、b 所受的摩擦力始终相等C. 是b开始滑动的临界角速度 D. 当 时，a所受摩擦力的大小为kmg【答案】AC【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢

16、加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得fm2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A项正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmgm2l，可得b ，C项正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmgml，可得a ，而转盘的角速度 L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速逐渐增大，物块A相对圆盘始终未动。当增大到 时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力？如果受到静摩擦力，试确定

17、其方向。【答案】物块所受静摩擦力指向圆心【名师点睛】由于该题既涉及弹力又涉及静摩擦力，所以可利用“控制变量法”的原理，判断没有静摩擦力时，临界角速度为多大，然后与转动的角速度比较，从而判断出静摩擦力的方向。这种方法在解决有多个变力提供向心力的临界问题时常会用到。3、 竖直平面内的圆周运动1. 轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：(1) 临界条件小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。根据牛顿第二定律得，mgm

18、，即v临界.这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。(2) 小球能通过最高点的条件：当v时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。当v时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。(3) 小球不能通过最高点的条件：当v时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。（如图）2. 轻杆模型杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：(1) 临界条件由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高

19、点的临界速度是：v临界0。此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FNmg.当0v时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0FN时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。3. 两种模型分析比较如下：轻绳模型轻杆模型常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mgm得v临由小球恰能做圆周运动即得v临0讨论分析(1)过最高点时，v，FNmgm，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点v

20、，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v0时，FNmg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0v时，FNmgm，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v时，FN0(4)当v时，FNmgm，FN指向圆心并随v的增大而增大4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。（2）对杆模型，在最高点有时不知是支撑力或拉力，此时可用假设法，然后根据结果的正负再确定。（3）解答竖直平面内的圆周运动时，首先要搞清楚是什么模型，对不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。5. 竖直面内圆周运动的求解思路【典例探究】1

21、. 轻绳模型【典例1】如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA；(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。【答案】：(1)(2)3L【解析】：(1)若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有mgm解得vA。【典例2】 为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向

22、夹角为60，长为L12 m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2 m的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A 点高为h 0.9 m 的水平台面上以一定的初速度v0 水平弹出，到A 点时速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC 间的动摩擦因数均为。g取10 m/s2，求：(1) 小球初速度v0的大小；(2) 小球滑过C点时的速率vC；(3) 要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。【答案】(1) m/s(2)3 m/s(3)0R1.08 m【解析】(1) 小球做平抛运动到达A点，由平抛

23、运动规律知竖直方向有：v2gh，即：vy3 m/s因为在A点的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0vytan 30 m/s(2)从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得：mg(hL1sin )mgL1cos mgL2mvmv解得：vC3 m/s。(3) 小球刚好能通过最高点时，由牛顿第二定律有：mgm小球做圆周运动过程中，由动能定理有：2mgR1mv2mv解得：R11.08 m当小球刚好能到达与圆心等高时有：mgR2mv解得：R22.7 m当圆轨道与AB相切时：R3L2tan 601.5 m，即圆轨道的半径不能超过1.5 m综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：0R1.08 m。

24、2. 轻杆模型【典例3】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图象如图乙所示，则()A小球的质量为B当地的重力加速度大小为Cv2c时，小球对杆的弹力方向向上Dv22b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】：ACD【典例4】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A. 小球通过最高点时的最小速度 vminB. 小球通过最高点时的最小速度vmin0C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小

25、球一定无作用力D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【答案】BC【针对训练】1. 如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则()A在最高点小球的速度水平，小球既不超重也不失重B小球经过与圆心等高的位置时，处于超重状态C盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg，方向向上D该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2【答案】CD【解析】 在最高点小球的加速度为g，处于完全失重状态，A错误；小球经过与圆心等高的位置时，竖

26、直加速度为零，既不超重也不失重，B错误；在最高点有mg 解得该盒子做匀速圆周运动的速度v 该盒子做匀速圆周运动的周期为T2 选项D正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由Fmg，解得F2mg，选项C正确。2.(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r 0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0 应当满足(g 10 m/s2 )()A. 2 m/s B. 4 m/s C. 6 m/s D. 8 m/s【答案】ACD3.(多选)如图所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距 的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是()A小球的线速度不发生突变 B小球的角速度不发生突变C小球的向心加速度突然增大到原来的2倍 D绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍【答案】AC4.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过() A. g B. C. D. 【答案】B【解析】当重物转动到最高点时，对电