初升高数学衔接教材(完整)

1、第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是。,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是。（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论，去掉绝对值而解不等式一般地n个零点把数轴分为n1 段进行讨论将分段求得解集，再求它们的并集例1. 求不等式的解集例2.求不等式的解集例3.求

2、不等式的解集例4.求不等式|x2|x1|3的解集例5.解不等式|x1|2x|3x例6.已知关于x的不等式|x5|x3|a有解，求a的取值范围练习解下列含有绝对值的不等式：（1）4+x（2）|x+1|x2|（3）|x1|+|2x+1|4（4）(5)3、 因式分解乘法公式（1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）立方和公式 （4）立方差公式 （5）三数和平方公式 （6）两数和立方公式 （7）两数差立方公式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2） （3）； （4） 2提取公因式法例2

3、.分解因式： （1）（2） 3公式法例3.分解因式：（1） （2）4分组分解法例4.（1） （2）5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例5.把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）练习（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9） （10） （11）（12） (13)x22x1 （14） ； （15）； （16） ； （17）第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有:（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）

4、当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；（3）当0时，方程没有实数根(2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理2、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值。2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值.3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交

5、于两点，其中的是一元二次方程的两根。这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有。 例1.若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23例2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）0个1个2个1个或2个例3.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时例4 .抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位例5.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）且 且练习

6、1.一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x232.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 3. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；4. 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当取时，函数值为（）5、已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为第三讲 一元二次不等式的解法1、 定义：形如ax2+bx+c0（a0）（或ax2+bx+c0（a0）的不等式做关于x的一元二次不等式。 2、一元二次不等式的一般形式：a

7、x2+bx+c0（a0）或ax2+bx+c0（a0） 3、一元二次不等式的解集：=b2-4ac0=00y=ax2+bx+c0（a0）的图象ax2+bx+c=0（a0）的根x1=x2=x1= x2=-没有实数根ax2+bx+c0（a0）的解集xx1或xx2（x1x2）x-全体实数ax2+bx+c0（a0）的解集x1xx2（x1x2）无解无解4、解一元二次不等式的一般步骤：（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0（a0）（或ax2+bx+c0（a0）；（2）计算=b2-4ac；（3）如果0，求方程ax2+bx+c=0（a0）的根；若0，方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根；（4）根据上

8、表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。例1.解下列不等式：（1）4x2-4x15； （2）-x2-2x+30； （3）4x2-4x+10例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。练习1.解下列不等式：（1）4x2-4x15； （2）-x2-2x+30； （3）4x2-4x+10（3）4x2-20x25； （4）-3x2+5x-40； （5）x（1-x）x（2x-3）+102.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？

9、3.已知函数y=x23x，求使函数值大于0的x的取值范围。含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.1.二次项系数含参数a（按a的符号分类）例1.解关于的不等式：例2.解关于的不等式：2.按判别式的符号分类例3.解关于的不等式：例4.解关于的不等式：3.按方程的根的大小分类。例5.解关于的不等式：例6.解关于的不等式：练习1.解关于的不等式：2.解关于的不等式：3.解关于的不等式：4.解关于的不等式：第四讲 一元高次不等式及分式不等式的解法1.一元高次不等式的解法1.可解的一元

10、高次不等式的标准形式 （1）左边是关于x的一次因式的积； （2）右边是0； （3）各因式最高次项系数为正。2.一元高次不等式的解法 穿根法： （1）将高次不等式变形为标准形式； （2）求根，画数轴，标出根； （3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。 (4)写出所求的解集。 例1.例2.例3.例4.例5.例6.练习1.2.3.4.5.6.7.2.分式不等式的解法例1.（1）解集是否相同，为什么？（2）解集是否相同，为什么？ 通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）（2）解题方法：穿根法。解题步骤：（1）首项系数化为“正”（

11、2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。例2.解不等式：例3.解不等式：例4.解不等式：例5.解不等式：例6.解不等式： 练习解不等式：1. 2.3. 4.5.6.7.3.无理不等式的解法1、无理不等式的类型：例1.解不等式例2.解不等式例3.解不等式第五讲 集合的含义与表示1. 集合的含义2. 集合元素的三个特性3. 元素与集合的关系4. 常用的数集及其记法5. 集合的表示方法6. 集合的分类、空集例1.判断下列对象能否构成一个集合（1） 身材高大的人（2） 所有的一元二次方程（3） 直角坐标平面上纵坐标相等的点（4） 细长的矩形的全体（5）

12、 的近似值的全体（6） 所有的数学难题例2.已知集合例3.已知集合S中三个元素 三角形。例4.用适当的方法表示下列集合。（1） 的解集；（2） 不等式的解集：（3） 方程组的解集；（4） 正偶数集；例5.已知集合的取值范围。例6.下列关系中，正确的有 练习1. 已知集合,则B中所含元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.102. 已知集合中元素的个数是（ ）A.1 B.3 C.5 D.93. 已知,则集合等于（ ）A. B. C. D.4. 若集合中只有一个元素，则a=( )A.4 B.2 C.0 D.0或45. 设集合（ ）A.1 B.2 C.3 D.96. 定义集合运算：设则集合的

13、所有元素之和为（ ）A.0 B.6 C.12 D.187. 下列各组对象中不能构成集合的是（ ）A. 某中学高一（2）班的全体男生 B.某中学全校学生家长的全体B. 李明的所有家人 D.王明的所有好朋友8. 已知a,b是非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）A. 9. 已知，则B= 10. 集合= 11. 设集合，则有（ ） 12. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） 13. 已知集合，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是 14. 集合= 15. 已知集合（1） 若A中只有一个元素，求a的值；（2） 若A中有两个元素，求a的取值范围.第六讲 集合间的基本关系1.子

14、集的概念2.集合相等的定义3.真子集的定义4.子集的性质5.确定集合子集与真子集个数例1.判断集合A是否为集合B的子集。（1）（2）（3）（4）例2.写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。例3.判断下列写法是否正确。（1） (2) (3) (4)例4.已知求a的值。例5.已知集合则M与N的关系正确的是（ ） 例6.已知集合。（1） 若,求实数m的取值范围；（2） 若求A的非空真子集的个数。练习1. 已知集合则满足条件的集合C的个数（ ）A.1 B.2 C.3 D.42. 集合共有 个子集。3. 已知集合则m= 。4. 已知集合则下列关系式中正确的是（ ） 5. 设则a的取值范围是（

15、） 6. 设则A,B的关系是 7. 已知集合则实数m= 8. 集合的真子集的个数为（ ）A.9 B.8 C.7 D.69. 已知集合,集合,则满足的实数a可以取的一个值是（ ）A.0 B.1 C.2 D.310. 已知集合,则a的值不可能是（ ）A.0 B.1 C.2 D.311. 若集合求m的值。12. 已知求实数k的取值范围。13. 已知集合求实数m的取值范围。第7讲 集合的基本运算1. 并集的定义及性质2. 交集的定义及性质3. 全集、补集的定义及性质例1. 设例2. 设集合成立的a的值为 例3. 已知求实数a的取值范围。例4. 设例5. 已知集合为（ ） 例6. （1）若 (2) 若,

16、则a= 例7. 已知 例8. (1)已知集合 且,求实数a的值。（2）设全集求实数a的值。例9.已知集合若求实数m的取值范围。练习1. 若集合的子集个数为 2. 已知全集 3. 已知集合（ ） A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或34. 已知集合则a的取值范围是（ ）A. B. C. D.5. 设则实数m= 6. 已知(R为实数集)，则a的取值范围是 7. 若 8. 已知集合 9. 集合，（1）（2） 若集合求实数a的取值范围。10. 已知非空集合（1） 当a=10时，求;（2） 求能使成立的a的取值范围。11. 已知全集求x的值。12. 设全集求（1）（2） 若集合求实数a的取值范围。1

17、3. 已知集合（1） 当a=3时，求（2） 若求实数a的取值范围。第8讲 函数的概念1. 函数的定义2. 函数三要素3. 函数定义域及函数值域的求法4. 区间的概念例1. 下列图像中不能作为函数的图像的是（ ）A BCD例2. 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数。（1）（2）（3）例3. 已知（1）（2）例4. 求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）例5. 求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）例6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） 例7. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（3） 已知函数的定义域为，求函数的定义域。练习1.下列图像中不能作为函数的图像的是（

18、）ABCD2.求下列函数的定义域。（1）（2）（3）3.判断下列各组函数是否是相等函数。（1）（2）4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 。5.已知函数则实数a= 。6.已知 ，= 。7.已知函数的定义域为，则的定义域为 。8.若函数的定义域为，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.函数的定义域是，则函数的定义域为 。10.已知函数的定义域为，求函数的定义域。11.求下列函数的值域。（1）（2）（3）（4）12.已知函数。（1）求的定义域。（2）求的值。13.已知函数上有最大值2，求a的值。第9讲 函数的表示方法1. 函数的三种表示方法2. 分段函数3. 映射例1. 已知函数分别由下表给出123131123321则的值为 ；的值为 。例2. 已知，的值。例3. (1)作出函数的图像。 （2）图中的图像所表示的函数的解析式为（ ） A. B. B. D.例4.（1）：取倒数，可以构成映射吗？（2）有一个映射使集合A中的元素，映射成B中的元素，则在映射的作用下：的象是 ；的原象是 。例5.函数，若 。例6.直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是 。练习1. 设函数 。2. 已知a0,函数 ，若则a的值为 。3. 设函数，若则实数a的值是 。4. 设函数，若 。5. 已知函数，若，则实数a= 。第10讲 抽象函数解析式的求法1