微积分课件(导数的应用-南京大学).ppt

1、南京 *大学 高数教研室,微积分教学课件,第五章 导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,内容导航 前 言 理论基础：中值定理 一阶导数的应用 二阶导数的应用 数学建模：最优化模型,第五章 导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,前 言 本章我们进一步用导数来研究函数的特性，并由此解决一些实际问题。 导数可应用于求各种变化率，如求变速

2、直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题。 用数学解决实际问题，可统称为数学建模。 最后介绍微分的概念及应用,5-1 理论基础:中值定理,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,拉格朗日中值定理 设函数由于y=f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，则必定在（a，b）内至少存在一点x0使得,如图所示,x,y,0,b,a,x0,y=f(x),5-1 理论基础:中值定理,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法

3、 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例1 试证当x0时，有,令f(t)=ln(1+t)，则f(t)在0，x上满足拉格 朗日中值定理，则,其中,即,因为,所以,证,5-1 理论基础:中值定理,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例2 试证当,有,则yf(x)在a，b是增函数。,任,，由于,说明可用中值定理有,其中,由已知,，,故,，,证得f(x)在a，b递增。,证,在a，b存在；,应用此中值定理注意（构造）什么函数在什么区间上运用。

4、,拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,函数单调性的判定,设函数y=f(x)在a,b连续，（a,b）可导，那么,例3 判别函数 的单调性 解,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例4 求函数,的单调区间。,令,得,，,解,函数的定义域为,数轴上讨论，如图,在,区间

5、取,代入,得,在,区间取x=0,代入,得,区间取,代入,得,在,得 函数在,和,上递增；在,上递减。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,重要说明:,，,解题步骤：1.求导,；2.令,，求驻点xi,和奇点xi（y不可导的点，见下例）；,首先求出函数的定义域，因为要把函数的定义域讨论完，,技巧是只须取一好计算的点x0，这有“投石问路”的方法技巧。,确定函数单调区间的依据为：,的点）,（,.数轴上以xi（驻点、奇点可统称为分界点）分区间讨论,正负号，得

6、结论。,以及定义域外不讨论单调性；关于讨论一个区间上 符号，,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例5 确定,函数的定义域为,的单调区间。,解,由于,则无驻点；,则x=0为奇点,当x=0时,不存在，,（也可以是单调区间分界点）,讨论,得函数在,递减，,递增。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,函数的极

7、大值和极小值,定义 设函数yf(x)在（a，b）有意义，,，若x0附近的函数值都大于（或都小于）f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值），点x0叫函数f(x)的极大值点（或极小值点）。 函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点。 注意: 极值是局部概念-局部最大或最小；一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值，但可能有多个极大值和极小值。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,如何求函数的极值？

8、 如下图所示： 可见，极值与函数的单调性密切联系，极值就是函数单调区间的分界点。因而可以通过求单调区间来求极值。,x,y,0,y=f(x),x1,x2,x3,x4,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例6 求函数,的极值。,f(x)的定义域为,令,解,得驻点,讨论如图,得，当x=1时，函数有极大值f(1)=2； 当x=2时，函数有极小值f(2)=1。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章

9、求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,说明 求函数极值的方法与步骤：,令,分区间讨论,将极值点代入f(x)算出极值。,求,。,，求一阶驻点和奇点xi。,的正负号，确定单调区间,进而确定极值点。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例7 求函数,的极值。,函数的定义域为,解,令,得,讨论如图,得 函数的极小值为,，驻点,不是极值点。,5-2 一阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导

10、数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例8 求函数,的极值。,函数的定义域为,解,奇点,，驻点,讨论如图,得，函数的极大值为,，极小值为,5-3 二阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,曲线凹凸区间的判定（如图）,直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方； 曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。,x,y,0,x,y,0,a,b,b,a,y=f(x),y=f(x),a图,b图,5-

11、3 二阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,进一步观察曲线凹凸性与切线的关系 a图曲线是凹的,切线的倾斜角,为锐角，且由小变大，,是递增的，,有f(x)递增，则表明,有,递增，反之亦然，这就得到,有f(x)凹；(b）图同理有,，f(x)凸。,回忆,曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。,5-2 二阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方

12、程,例9 求,的凹凸区间和拐点。,解 函数的定义域为,，令,（为二阶驻点）,讨论如图,得 曲线在,凸，在,凹，拐点为（3，-146）。,x,3,-,+,104,52,-146,-464,6,3,-2,x,y,草图,5-3 二阶导数的应用,5-3 二阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,求曲线凹凸区间、拐点与 单调区间、极值的步骤与要点类似：,、,（2）求二阶驻点和奇点xi；,其分界点xi代回函数f(x)，并算出f(xi)，则有拐点。,（1）求,；,（3）由xi

13、分区间讨论,符号确定凹凸区间；,5-3 二阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例10 求曲线,的凹凸区间和拐点。,解 函数的定义域为,，,有二阶奇点x=0，讨论如图,得 曲线在,凸，在,可见，二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点,凹，拐点为（0，0）,x,0,-,+,5-3 二阶导数的应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,曲线形态判

14、别方法小结,曲线增减与极值 1、,极值为增减区间分界点 2、步骤 （1）求,（2）求一阶驻点、奇点xi； （3）以xi分区间讨论,曲线凹凸与拐点 1、,拐点为凹凸区间分界点 2、步骤 （1）求,、,（2）求二阶驻点、奇点xi （3）以xi分区间讨论,；,符号确定增减区间与极值,符号确定凹凸区间与拐点,5-4 数学建模：最优化问题,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,求出某些量的最大值和最小值对于许多实际问题都显得十分重要。 例如求时间最短、利润最大、成本最低等等。相应，大

15、学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或说必须用优化思想、方法去分析解决。初等数学中用二次函数、三角函数、不等式等等方法可以求函数最值，这里我们将看到，高等数学用导数如何提供一种更有效的方法来解决许多最优化问题。,5-4 数学建模：最优化问题,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例13 求,在-3，3上的最大值和最小值。,从以上讨论可知，函数最值只可能在函数极值或区 间端点处，于是求函数最值的方法是先求f(x)的极 值可能点xi，再求f(xi)和f(a)、f(b) ，从中比

16、较出最 大的为最大值，最小的为最小值。,解,，令,得驻点,，,，,计算得f(-2)=f(2)=-15，f(0)=1，f(-3)=f(3)=10。,比较 得函数在-3，3上的最大值为f(-3)=f(3)=10， 最小值为f(-2)=f(2)=-15。,5-4 数学建模：最优化问题,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例14 生产易拉罐饮料，其容积V一定时，希望制易拉罐 的材料最省。假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，而顶 部的厚度是底、侧面厚度的三倍，试求易拉罐的高和底 面的直

17、径。市场上的易拉罐，其高和底面直径之比是否 符合你得到的结论。,解,假定易拉罐是圆柱形，设其高为h，底面圆半径为r，,，则顶的厚度为,故所需材料为,再设底、侧面金属板的厚度为,再由已知条件消去一个变元，即r、h满足约束条件,（定值）,代入上式,将,5-4 数学建模：最优化问题,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,计算,令,，解得,讨论如图,故,是f(r)唯一的极小值，因而是最小值点,此时，易拉罐的直径为,易拉罐的高为,即易拉罐的高是底面直径的一倍。市场上不少易拉罐， 如可

18、口可乐、椰汁等，与此结果近似。,r,0,-,-,5-4 数学建模：最优化问题,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值则这个极小（大）就是最小（大）值。,注意：最值与极值的关系,5-4 数学建模：最优化问题,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,4.题设中已知什

19、么条件，将其表示出来（约束条件）， 将约束条件代入目标函数消元、化简；,数学建模实用提示,1.最优化模型通常是由目标函数与约束条件构成；,2.全面分析问题，确认优化哪个量，则考虑求其函 数（目标函数）；,3.求目标函数需要依据（找）某些公式，如面积、 体积公式、路程公式、勾股定理、三角公式、牛顿 定律、浮力定律等等；,5.用导数方法求极值进而求出最值。,5-5 微分：导数的代数应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、

20、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分”则主要是导数在代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函数的近似计算如何求一个函数的改变量？ 微分的概念及思想 设函数y=f(x)的导数存在，即，由极限的概念 令，称它为函数f(x)的微分。并记 ，则,5-5 微分：导数的代数应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,例16 求函数的微分 解 需要注意： (1)微分的意义 由于，说明可以用微分求函数的 改变量，即 这里越小近似程度越好。 (2)微分的思想 如下图所示：,5-5 微分

21、：导数的代数应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,如右图所示：MT是y=f(x)在M点的切线 微分，当较小时， 可用直线MT来近似曲线MP （或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。 可见，“以直代曲”是微分的一个基本思想。 于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小的一部分”。,x,0,y,M,P,T,N,x,X+X,y=f(x),5-5 微分：导数的代数应用,精品课程 序 言 第1章 函 数 第2章 导 数 第3章 定积分 第4章 求导方法 第5章 导数应用 第6章 求积分方法 第7章 定积分应用 第8章 微分方程,(3) 微分的计算 由于，因此，“求微分就是求导数” （并且在存在的情况下，可微与