高中数学第一章坐标系1.1.1平面直角坐标系与曲线方程课件选修.pptx

1、第一章坐标系,1 平面直角坐标系,1.1平面直角坐标系与曲线方程,一,二,一、平面直角坐标系与点的坐标 在平面直角坐标系中,对于任意一点,都有唯一的有序实数对(x,y)与之对应;反之,对于任意的一个有序实数对(x,y),都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中,点和有序实数对是一一对应的.,一,二,名师点拨1.在平面上建立直角坐标系后,平面上的点与全体有序实数对之间就建立了一一对应关系,即在给定平面直角坐标系的情况下,平面上的任意一点唯一地确定一个有序实数对;反之,任意给定一个有序实数对,它也唯一地确定平面上的一个点. 2.两点间的距离公式:在平面直角坐标系内,两点P1(x1,y1),P2(

2、x2,y2) 之间的距离公式为|P1P2|=,3.中点坐标公式:在平面直角坐标系内,若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点为M(x,y),则x=,一,二,做一做1点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P的直角坐标为() A.(3,4)B.(-3,4) C.(3,-4)D.(-3,-4),解析：设点P的坐标为(x,y),答案：B,一,二,做一做2已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围是.,解析：因为第三象限内点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0,一,二,二、平面直角坐标系与曲线方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解

3、建立了如下的关系: 1.曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解. 2.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.,名师点拨求曲线方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M);(3)用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤(5)可以省略.,一,二,思考辨析

4、 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若曲线C上的点都是方程f(x,y)=0的解,则曲线C是方程f(x,y)=0的曲线. () (2)以方程x2+y2=4的解为坐标的点都是曲线“在y轴右侧到原点的距离等于2的点的集合”上的点. () (3)已知等腰三角形ABC的底边为AB,且A(-1,1),B(3,7),则顶点C的轨迹方程为x+2y-7=0. () (4)方程(x-a)2+(y-b)2=r2的曲线经过点(1,2)的充要条件是(1-a)2+(2-b)2=r2. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用坐标系解决几何问题 【例1】 已知ABCD,求证:|AC

5、|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2). 分析：解答本题可以运用坐标方法即解析法,先在ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D的坐标,再由距离公式完成证明.也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证法一(解析法) 以A为坐标原点O,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0). 设B(a,0),C(b,c),则AC的中点E ,由对称性知D(b-a,c), 所以|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2, |AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2, |AC|2+|BD|2=4a2+2b

6、2+2c2-4ab =2(2a2+b2+c2-2ab), |AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab, 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证法二(向量法),反思感悟建立平面直角坐标系的原则 1.如果图形有对称中心,那么可以选对称中心为原点. 2.如果图形有对称轴,那么可以选对称轴为坐标轴. 3.使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 在ABC中,|AB|=|AC|,BD,CE分别为两腰上的高.求证:|BD|=|CE|. 证明：如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平

7、面直角坐标系. 设B(-a,0),C(a,0),A(0,h).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求轨迹方程 【例2】 设点A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,点D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m0,且m1).当点A在单位圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标. 分析：设出点M的坐标(x,y),直接利用条件求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：如图,设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m0,且m1),可得x=x0,|y|=m|y0|,探究一,探究

8、二,探究三,思维辨析,反思感悟求轨迹的常用方法 1.直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可用求曲线方程的五个步骤直接求解. 2.定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,那么可根据定义写出轨迹方程. 3.代入法:若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1),而动点Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,x1,y1的方程组,利用x,y表示x1,y1,把x1,y1代入已知曲线方程即为所求. 4.参数法:动点P(x,y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示,消去参数即得其轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 在ABC中,若BC的

9、长度为4,中线AD的长度为3,求点A的轨迹方程.,解：取B,C所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则D(0,0),B(-2,0),C(2,0). 点A的轨迹方程为x2+y2=9(y0).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用坐标系解决实际问题 【例3】 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6 km处,丙舰在乙舰北偏西30,两舰相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远,因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴

10、救援,则行进的方位角应是多少? 分析：本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置,因此不妨用点A,B,C表示甲舰、乙舰、丙舰,建立适当的坐标系,求出商船与甲舰的坐标,解决问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：设点A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 ). 由题意得|PB|=|PC|, 则点P在线段BC的垂直平分线上.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.由于点A,B,C的相对位置一定,解决问题的关键是如何建系,将几何位置量化,根据直线与双曲线

11、方程求解. 2.运用坐标法解决实际问题的步骤:建系设点列关系式求解数学结果回答实际问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2 km,现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8 km. (1)问:农艺园的最大面积能达到多少? (2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A,且与AB成30的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问:暂不加固的部分有多长?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(1)设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围

12、墙总长为8 km,得|CA|+|CB|=4(km)|AB|=2(km),由椭圆的定义知,点C的轨迹是以点A,B为焦点,长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆(去除落在直线AB上的两点). 若以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,易知点D也在此椭圆上,要使平行四边形ACBD的面积最大,则C,D为此椭圆短轴的端点,此时,面积S=2 (km2).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视曲线方程的意义而致误 典例已知两定点A,B,且|AB|=4,动点M满足:直线MA与MB斜率之积为常数- ,求点M的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线.,探究一

13、,探究二,探究三,思维辨析,正解：以AB所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,纠错心得1.在解本题时没有考虑到式子的意义,在 中x+20,x-20,即x2,没有去掉相应的两个点. 2.在利用平面直角坐标系求轨迹问题时,往往会遇到去点或去掉图形的某一部分的情况,做这种题时要认真分析题目条件,求出准确的轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到直线l的距离是2,一条曲线也在直线l的上方,它上面的每一点到A的距离减去到直线l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.,解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点,作MBx轴,垂足是点B. 曲线在x轴的上方,y0. 根据题意得|MA|-|MB|=2,1 2 3 4,1.已知曲线C的方程为y=x(1x5),则下列四点在曲线C上的是(),答案：D,1 2 3 4,2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M(2,2)的距离,则点P的轨迹是() A.直线B.椭圆 C.双曲线D.抛物线 解析：