数形结合在初中数学解题中的应用

1、数形结合在初中数学解题中的应用摘要：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.关键词：数学，数，形，数形结合

2、数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是知识转化为能力的桥梁，是解题过程中劈山开路、披荆斩棘的宝剑，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于知识的发生、发展和应用的过程中.初中数学新课程标准中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素数与形.新课程标准把数学的精髓数学思想纳入了基础知识范畴.数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”

3、两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.本文通过实例谈谈数形结合在解题中的应用.一、 代数问题几何化初中阶段学到的“数”,包括有有理数,实数，方程,代数式,不等式,函数解折式等.许多代数问题利用几何方法可以很容易的解决，然而由于代数关系比较抽象，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问

4、题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径.代数问题几何化是根据数的结构特征，借助数轴、借助函数图像、借助几何图形、借助数式的结构特征、借助算法数学的流程图等造出与之相适应的几何图形（图象），并利用图形（图象）的特性和规律，解决有关数的问题.例1：不等式组的解在数轴上表示为（）A、 B、C、 D、分析：先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法解：由不等式，得2x2，解得x1，由不等式，得2x4，解得x2，数轴表示的正确方法为C，图1故选C例2：计算：分析：如图1，构造面积为1的正方形，则由图形可得.解：例3.若x、y为正实数，且x+y=4,的最小值是多少?图2分析：若能考虑到分别是以x

5、、1，y、2为直角边的直角三角形斜边的长，那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题.解：如图2，线段AB=4，P为AB上一动点，设PA=x，PB=y.CA AB, DBAB,A、B为垂足，且CA=1 , BD=2 ,则PC+PD=，易知当点P、C 、D在同一条直线上时 ，PC+PD最小.作CE垂直DB的延长线于E.，易知EC =4，ED =2 +1 =3，故PC+PD=DC=5，故的最小值为5.图3例4. 求方程组的解的个数？分析：把两个方程分别变形为和，则方程组的解的个数就变成了抛物线和直线的交点个数了.解：函数与函数的图像如图3：根据图像的交点个数就可以判定方程组的解的个数为2. 例5.

6、A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调动总运费最少？图4分析：此题涉及到的已知数据较多，学生容易张冠李戴，造成数据上的混乱，借助如图4进行处理，就可避免这一点. 解：设由A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200x）吨，从B城运往C乡（240x）吨，运往D乡（60+x）吨，总运费为y元.依题意得：y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(x+60)=4x+10040，（）由于一次函数

7、的值是随着x的增大而增大，所以当x=0时，y的值最小，此时y=10040（元）.所以：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨，从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨时运费最少，最少运费是10040元.例6. 已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）A、0 B、1 C、2 D、3分析：利用二次函数的图象解决交点,在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值图5解：函数的图象如图5：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，k=3故选D.对于代数问题，往往借助几何图形，靠图形直观来“支持”抽象的思维过程，数与形在一定条件下是可以

8、互相转化的，由数化形是根据数的结构特征，造出与之相适应的几何图形（图象），并利用图形（图象）的特性和规律，借助几何图形可以使代数问题更简单，更直观;数形结合是寻找解决问题途径的种思维方法.二、 几何问题代数化初中阶段学到的“形”可以是点线，面，角，三角形，四边形，圆等，更多的“形”体现在函数图象方面.几何问题代数化是将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或清除图形的推理部分，使要解决的形的问题转化为对数量关系的讨论.图6借用代数方法解决,解题方法就易于寻找，解题过程也变得比较简便，因为几何题显然由形较直观，但若遇到已知和结论之间相距较远的问题，解题途径常常不易找到，因而用代数方法解题，思维就

9、比较明确，有规律，因此也就容易找到解题方法。例7.如图6,已知电线杆AB垂直于地面，它的影子恰好在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45角，A=60, CD4m, BC m，求电线杆AB的长分析: 设法将AB转化到直角三角形中去解.解:延长AD交地面于E，过D作DFCE，垂足为F 图7例8. 如图7，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR、BOP、CRQ的面积分别是S1=1、S2=3、S3=1，求正方形OPQR的边长. 分析:正方形OPQR的边OR与ABC的边BC平行,OP、RQ都与BC边上的高AD平行,这都可以构成相似三角形,从而用比例来解题,但是本题利用面积列方程会更加简单点.解

10、: 设正方形OPQR的边长为x，作ABC的BC边上的高AD，交OR于F .在RtAOR中，由S1=1，OR= x，得AF=.同理BP=，QC=由SABC= S1+ S2+ S3+S正方形OPQR，得图8例9.如图8.点C为AB的中点,以BC为一边作正方形BCDE,以BD为半径,点B为圆心作圆,与AB及其延长线相交于H、K.求证:AHAK=2AC2. 分析:本题用几何方法当然可以证明,但是比较麻烦,若把它转化成代数问题来解决,就显得简捷了.证明:设BC=x,则AC=BC=x,BD=xAH=2x-x,AK=2x+xAKAK=（2x-x）（2x+x）=2x2=2AC例10. 已知：三角形三边长a、b

11、、c满足，试确定三角形的形状. 分析:本题通过因式分解,利用完全平方式即可解决.解： a=b，b=c，c=a 即a=b=c此三角形是等边三角形.例11.如图9.已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b（ab）,P为AB边上的一动点,直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.图9分析:设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示,即可用不等式（当且仅当a=b时取等号）来求最小值.解:设AP=x 当且仅当,即时,AP+BQ取最小值.例12.如图10,的直径AB与弦CD相交于点P,且PA=5,PB=1,求弦CD的长. 图10分析:根据图形的特点,把有关数据集中到直角三角形中,借助勾股定理或

12、三角函数,把几何计算转化为代数运算.解:过点O作于点E,则CE=ED,连接OC.PA=5,PB=1,AB=5+1=6,且OC=3.OP=3-1=2在，OE=OPsin60o=.在对于几何问题，利用数理的严谨性，利用数轴、坐标系、不等式、面积、距离、角度、勾股定理、三角函数、线段比例等把几何问题转化成代数问题.通过观察图形或绘制，挖掘图形中蕴含的数量关系,用代数的方法达到几何计算和证明的目的三、 结束语仅有数的分析或形的直观都不易单独解决的问题.数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法.数形结合是解决具体问题的“向导”.数形结合作为一种思维策略，常可以作为寻求解法的一个思路，或在思路受阻时寻求出路的突破口.数形结合最大的特点就是模型化，直观化，几何方法具有直观、形象的优势，用简单直观的图形代替冗长的代数推理.代数方法具有解答过程严密、规范、思路清晰，避呆板单调解法之短. 数与形在内容上互相联系，方法上互相渗透，在一定条件下互相转化. 数形结合是数学中基本而又重要的思想，是解答数学题的的一种常用方法与技巧.数学家华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非.”可见数形结合能扬数之长、取形之优,使得数与形珠联璧合、相映生辉.参考文献：1 李勇新、滕文凯等编著 中学数学